【数学】河南省十所名校2021届高三上学期毕业班尖子生第二次考试（12月）试题（文）（解析版）

【数学】河南省十所名校2021届高三上学期毕业班尖子生第二次考试（12月）试题（文）（解析版）

河南省十所名校 2021 届高三上学期毕业班尖子生第二次 考试（12 月）数学试题（文） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．已知集合 A＝{x｜1＜x≤2}，B＝{x｜y＝ln（－6x2＋13x－5）}，则 A∩B＝( ) A．[1， 5 3 ] B．（ 1 2 ，2] C．（1， 5 3 ） D．（ 5 3 ，2） 2．若实数 a，b 满足 a＋b＞2，则下列结论中一定正确的是( ) A．a，b 都大于 1 B．a，b 中至多有一个大于 1 C．a，b 中一个大于 1，一个小于 1 D．a，b 中至少有一个大于 1 3．已知命题 p： x ∈（0， 2  ），x－sinx＞0，命题 q： x ∈R， 2 2 1sin cos3 3 3 x x＋ ＝ ，则 ( ) A．p∨q 是假命题 B．p∧q 是真命题 C．p∨（ q ）是假命题 D．p∧（ q ）是真命题 4．已知正项等比数列{ na }的前 n 项和为 nS ，且 4S ＝ 210S ， 5a ＝ 27 ，则 1a ＝( ) A． 1 3 B． 3 3 C． 3 D．3 5．计算 21 cos 70 1 cos40   － ＋ ＝( ) A． 4 5 B． 3 4 C． 2 3 D． 1 2 6．已知等边 △ ABC 的边长是 1，点 M 满足 1 1 3 3AM AB AC   ＝ ＋ ，则 MB  · MC  ＝( ) A．－ 1 12 B．－ 1 6 C．－ 1 3 D．－ 1 2 7．已知 2＜x＜4，－3＜y＜－1，则 2 x x y－ 的取值范围是( ) A．（ 1 10 ， 1 4 ） B．（ 1 4 ， 2 3 ） C．（ 1 5 ，1） D．（ 2 3 ，2） 8．有以下四个函数：①y＝－x·sin（－x），②y＝x·cos（－x），③ 1 sin2y x x＝ － ，④y＝cosx2．它 们的部分图象大致如下，按照图象的顺序，对应的函数解析式依次为( ) A．①④②③ B．④①③② C．①③②④ D．②④①③ 9．已知等差数列{ na }的公差为 d （ d ≠ 0 ），前 n 项和为 nS ，数列{ nb }满足 1b ＝ 3S ， 1nb ＋ ＝ 3 3nS ＋ － 3nS ， n N∈ ，则“ 1b ， 2b ， 5b 依次成等比数列”的充要条件是( ) A． 1a d＝ B． 1 3 2a d＝ C． 1 2a d＝ D． 1 2 da＝ 10．已知单位向量 e1，e2 的夹角为 6  ，则（te1＋e2）·（e1＋te2），t∈R 的最小值为( ) A．－ 3 3 B．－ 3 4 C．0 D． 3 2 11．对任意 x∈R 都有 f（x）＋2f（－x）＝3cos2x－sin2x，将函数 f（x）的图象向左平移 t （t＞0）个单位长度后，得到函数 g（x）的图象，若 g（x）＝ 8g x    － － ，则实数 t 的最小值为( ) A． 3 8  B． 5 8  C． 3 16  D． 5 16  12．函数   1 2 log 3sin 2 xf x x ＝ － 的零点个数为( ) A．3 B．4 C．5 D．7 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．函数   tan 2 6 xf x     ＝ ＋ 的最小正周期为__________． 14．若数列{ na }的通项公式为    1 1n na n＝ － － ，其前 n 项和为 nS ，则 2021S ＝__________． 15．已知 x，y 满足约束条件 1 0 2 2 0 0 x y x y y    ＋ － ≤ ， ＋ ＋ ≥ ， ≤ ， 且 z＝ax－by（a＞0，b＞0）的最大值为 1，则 2 1 a b ＋ 的最小值为__________． 16．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a＝ 2 ，A＝ 3 4  ，若 b c ＋ 有最 大 值，则实数  的取值范围是__________． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10 分） 已知数列{ na }是递增的等差数列，且 1a ＝1， 3 5 91a a ＝ ． （Ⅰ）求{ na }的通项公式； （Ⅱ）求正整数 m ，使得 1 2 5 123m m m ma a a a＋ ＋ ＋＋ ＋ ＋…＋ ＝ ． 18．（12 分） 在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 b2＋c2－a2＝ 3 bc． （Ⅰ）求角 A 的大小； （Ⅱ）若△ABC 的外接圆的半径为 2，求△ABC 面积的最大值． 19．（12 分） 已知函数 f（x）＝x3＋2ax2－4x＋4，a∈R． （Ⅰ）若曲线 y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线过原点，求 a 的值； （Ⅱ）若 f（x）在（0，1）上有极值点，求 a 的取值范围． 21．（12 分） 如图所示，在锐角△ABC 中，AB＝5，BC＝3，△ABC 的面积为 3 6 ，点 D 在 BC 的 延长线上，过 B 点作 BC 的垂线与 DA 的延长线交于点 E． （Ⅰ）求 AC 的长； （Ⅱ）若△BDE 是等腰直角三角形，求 DE 的长． 21．（12 分） 设数列{ na }的前 n 项和为 nS ，且 2S ＝10 ， 1na ＋ ＝3 nS ＋2 ．数列{ nb }满足 1b ＝ 1a ， 1nb ＋ － nb ＝ 2 2 1 1 log logn na a ＋ ． （Ⅰ）求{ na }的通项公式． （Ⅱ）是否存在正整数 m ， k （ m ≠ k ），使得 2b ， mb ， kb 成等差数列?若存在，求出 m ， k 的值；若不存在，请说明理由． 22．（12 分） 已知函数 f（x）＝－mx＋lnx＋1，g（x）＝cosx＋xsinx－1． （Ⅰ）讨论函数 f（x）的单调区间与极值； （Ⅱ）若 m＞ 1 2 ，对任意 x1∈[1，2]，总存在 x2∈[0， ]，使得不等式 f（x1）－g（x2）＞ 1 成立，试求实数 m 的取值范围． 参考答案