【数学】2019届一轮复习人教A版 对数与对数函数 学案
第6讲 对数与对数函数
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1 对数的定义
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
考点2 对数的运算法则
如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN，
(2)loga＝logaM－logaN，
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
考点3 对数函数的图象与性质
考点4 反函数
指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
[必会结论]
1．对数的性质(a＞0且a≠1)
(1)loga1＝0；(2)logaa＝1；(3)alogaN＝N.
2．换底公式及其推论
(1)logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)；
(2)logab·logba＝1，即logab＝；
(3)logambn＝logab；
(4)logab·logbc·logcd＝logad.
3．对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．
故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
[考点自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.( )
(2)logax·logay＝loga(x＋y)．( )
(3)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( )
(4)函数y＝ln 与y＝ln (1＋x)－ln (1－x)的定义域相同．( )
(5)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，，函数图象只在第一、四象限．( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2．[2018·广东深圳模拟]已知a＝0.30.3，b＝1.20.3，c＝log1.20.3，则a，b，c的大小关系为( )
A．c
1，
c＝log1.20.3<0，∴c0)，则loga＝________.
答案 3
解析 因为a＝(a>0)，所以a＝＝3，故loga＝log3＝3.
5．[2018·陕西模拟]已知4a＝2，lg x＝a，则x＝________.
答案
解析 ∵4a＝22a＝2，∴a＝.∵lg x＝，∴x＝.
6．[2015·天津高考]已知a>0，b>0，ab＝8，则当a的值为________时，log2a·log2(2b)取得最大值．
答案 4
解析 由于a>0，b>0，ab＝8，所以a＝，所以log2a·log2(2b)＝
log2·log2(2b)＝(3－log2b)·(1＋log2b)＝－(log2b)2＋2log2b＋3＝－(log2b－1)2＋4，当b＝2时，有最大值4，此时a＝4.
板块二 典例探究·考向突破
考向 对数的化简与求值
例 1 (1)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2的值为________．
答案 3
解析 原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(1＋lg 2)＋lg2 2＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 2＋lg 5)＝2＋lg 5＋lg 2＝3.
(2)已知3a＝4b＝，则＋＝________.
答案 2
解析 因为3a＝4b＝，所以a＝log3，
b＝log4，＝log3，＝log4，
所以＋＝log3＋log4＝log12＝2.
(3)[2016·浙江高考]已知a>b>1.若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.
答案 4 2
解析 由于a>b>1，则logab∈(0,1)，因为logab＋logba＝，即logab＋＝，所以logab＝或logab＝2(舍去)，所以a＝b，即a＝b2，所以ab＝(b2)b＝b2b＝ba，所以a＝2b，b2＝2b，所以b＝2(b＝0舍去)，a＝4.
触类旁通
对数运算的一般思路
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；
(2)将同底对数的和、差、倍合并；
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
【变式训练1】 (1)计算：lg 5(lg 8＋lg 1000)＋(lg 2)2＋lg ＋lg 0.06＝________.
答案 1
解析 原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2＋lg ＝3lg 5·lg 2＋3lg 5＋3(lg 2)2－2＝3lg 2＋3lg 5－2＝1.
(2)计算：(log32＋log92)·(log43＋log83)＝________.
答案
解析 原式＝·＝log32·log23＝.
考向 对数函数的图象及应用
例 2 当02，解得a>，
∴0时，f(x)>f(0)＝0，且f′(x)>0，
g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0，∴g(x)在[0，＋∞)上递增．
a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，由对数函数y＝log2x的性质，知3＝
log28>log25.1>log24＝2>20.8，∴c>a>b.故选C.
命题角度2 解简单的对数不等式
例 4 [2018·西安模拟]已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f＝0，则不等式f(logx)>0的解集为________．
答案 ∪(2，＋∞)
解析 ∵f(x)是R上的偶函数，
∴它的图象关于y轴对称．
∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在(－∞，0]上为减函数，
由f＝0，得f＝0.
∴f(logx)>0⇒logx<－或logx>⇒x>2或00，得x>3或x<1.
故函数定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．
令u＝x2－4x＋3，对称轴为x＝2，
则u在(－∞，1)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增．
又y＝logu在(0，＋∞)上单调递减，
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是(3，＋∞)．
(2)令g(x)＝x2－2ax＋3，要使f(x)在(－∞，2)上为增函数，应使g(x)在(－∞，2)上单调递减，且恒大于0.
因为即a无解．
所以不存在实数a，使f(x)在(－∞，2)上为增函数．
触类旁通
对数函数性质及应用中应注意的问题
(1)比较对数值大小时，若底数相同，构造相应的对数函数，利用单调性求解；若底数不同，可以找中间量，也可以用换底公式化成同底的对数再比较．
(2)解简单的对数不等式时，先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．
(3)利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．
核心规律
1.指数式a b＝N与对数式logaN＝b的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键．
2.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定．
3.研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．
4.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．
满分策略
1.在运算性质logaMn＝nlogaM中，要特别注意条件，当n∈N*，且n为偶数时，在无M＞0的条件下应为logaMn＝nloga|M|.
2.指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．
3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.
板块三 启智培优·破译高考
创新交汇系列2——有关对数运算的创新应用问题
[2017·北京高考]根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是( )
(参考数据：lg 3≈0.48)
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
解题视点 首先要读懂题意，搞清其本质就是利用对数来比较两个数的大小，然后根据相关公式计算．
解析 由题意，lg＝lg＝lg 3361－lg 1080
＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28.
又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93，
故与最接近的是1093.故选D.
答案 D
答题启示 在解决对数的化简与求值问题时，要理解并灵活运用对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式，同时还要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化.
跟踪训练
里氏震级M的计算公式为M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的________倍．
答案 6 10000
解析 根据题意，由lg 1000－lg 0.001＝6得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震的最大振幅为A9，则lg A9－lg 0.001＝9，解得A9＝106，同理5级地震的最大振幅A5＝
102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍．
板块四 模拟演练·提能增分
[A级 基础达标]
1．[2018·广东湛江模拟]函数f(x)＝的定义域是( )
A．(0，e) B．(0，e]
C．[e，＋∞) D．(e，＋∞)
答案 B
解析 要使函数f(x)＝有意义，则
解得01,00，log5b＝a，lg b＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是( )
A．d＝ac B．a＝cd C．c＝ad D．d＝a＋c
答案 B
解析 由已知得5a＝b,10c＝b，∴5a＝10c，∵5d＝10，∴5dc＝10c，则5dc＝5a，∴dc＝a.故选B.
4．[2018·西安模拟]已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )
A．01.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－10且u(x)在该区间单调递增．解x2－2x－8＝(x－4)(x＋2)>0，得x<－2或x>4；u(x)＝x2－2x－8的图象开口向上，对称轴为x＝1，所以x>4时u(x)单调递增，所以f(x)＝ln (x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D.
7．[2018·安徽江淮联考]已知a>0，b>0，且a≠1，则“logab>0”是“(a－1)(b－1)>0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 a>0，b>0且a≠1，若logab>0，则a>1，b>1或00；若(a－1)(b－1)>0，则或则a>1，b>1或00，∴“logab>0”是“(a－1)(b－1)>0”的充分必要条件．
8．[2015·浙江高考]若a＝log43，则2a＋2－a＝________.
答案
解析 原式＝2log43＋2－log43＝＋＝.
9．已知函数f(n)＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，定义使f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)为整数的数k(k∈N*)叫做企盼数，则在区间[1,2017]内这样的企盼数共有________个．
答案 9
解析 令g(k)＝f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)，
∵f(k)＝logk＋1(k＋2)＝，∴g(k)＝××…×＝＝log2(k＋2)．要使g(k)成为企盼数，则k＋2＝2n，n∈N*.∵
k∈[1,2017]，∴(k＋2)∈[3,2019]，即2n∈[3,2019]．∵22＝4,210＝1024,211＝2048，∴可取n＝2,3，…，10.因此在区间[1,2017]内这样的企盼数共有9个．
10．已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．
答案
解析 当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数，由于f(x)>1恒成立，所以f(x)min＝loga(8－2a)>1,8－2a>a，即a<，故11恒成立，所以f(x)min＝loga(8－a)>1，且8－2a>0，所以a>4，且a<4，故这样的a不存在．
综上可知，实数a的取值范围是.
[B级 知能提升]
1．若f(x)＝lg (x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为( )
A．[1,2) B．[1,2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
答案 A
解析 令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1,2)．故选A.
2．[2018·河北监测]设a＝log32，b＝ln 2，c＝5，则( )
A．alog3＝，所以c0，故A＝＝7.
4．[2018·福建六校联考]已知函数f(x)＝loga(x＋2)＋loga(4－x)(a>0且a≠1)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)在区间[0,3]上的最小值为－2，求实数a的值．
解 (1)依题意得解得－21，则loga5≤logat≤loga9，
∴f(x)min＝loga5＝－2，则a2＝<1(舍去)，
若00，且a≠1)
的最大值是1，最小值是－，求a的值．
解 由题意知f(x)＝(logax＋1)·(logax＋2)
＝(logx＋3logax＋2)
＝2－.
当f(x)取最小值－时，logax＝－.
又∵x∈[2,8]，∴a∈(0,1)．
∵f(x)是关于logax的二次函数，
∴函数f(x)的最大值必在x＝2或x＝8时取得．
若2－＝1，则a＝2，
此时f(x)取得最小值时，
x＝(2)＝∉[2,8]，舍去．
若2－＝1，则a＝，
此时f(x)取得最小值时，x＝＝2∈[2,8]，符合题意，∴a＝.
