【数学】北京市东城区2019-2020学年高二下学期期末统一检测试题

【数学】北京市东城区2019-2020学年高二下学期期末统一检测试题

北京市东城区2019-2020学年 高二下学期期末统一检测试题 本试卷共4页，共100分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无试效。考结束后，将答题卡一并交回。‎ 第一部分（选择题共40分）‎ 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎(1) 展开式中各项系数之和为 ‎ ‎ ‎（2）已知函数y＝f（x）在处的导数为1，则 ‎（3）若变量x，y之间是线性相关关系，则由以下数据表得到的回归直线必过定点 ‎（A) (2，6)‎ ‎(B) (3，8)‎ ‎(C) (4，9)‎ ‎（D）（5，10）‎ ‎（4）3位老师和4名学生站成一排，要求任意两位老师都不相邻，则不同的排法种数为 ‎ ‎ ‎（5）已知随机变量X服从二项分布，即X～B（n，p），且E（X）＝2，D（X）＝1．6，则二项分布的参数n，p的值为 ‎（6）设两个正态分布和的密度曲线如图所示，则有 ‎（7）某小组有5名男生、3名女生，从中任选3名同学参加活动，若X表示选出女生的人数，则 ‎（8）若从1，2，3，…， 9这9个整数中同时取3个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有 ‎（A）36种 ‎（B）40种 ‎（C）44种 ‎（D） 48种 ‎ ‎ ‎(9)设函数f(x)在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是 ‎(A)f(x)有极大值f(－2)‎ ‎（B） f（x）有极小值f（－2）‎ ‎(C)f(x)有极大值f(1)‎ ‎(D)f(x)有极小值f(1)‎ ‎（10）某企业拟建造一个容器（不计厚度，长度单位：米），该容器的底部为圆柱形，高为1，底面半径为r，上部为半径为r的半球形，按照设计要求容器的体积为立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每平方米建造费用为4万元，则该容器的建造费用最小时，半径r的值为 第二部分（非选择题共60分）‎ 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。‎ ‎（11）在的展开式中，的系数为________（用数字作答）‎ ‎（12）给出下列三个结论：‎ ‎ ‎ ‎①若，则 ‎②若，则；‎ ‎③若，则．‎ 其中正确结论的序号是________‎ ‎（13）盒子中有4个白球和3个红球，现从盒子中依次不放回地抽取2个球，那么在第一次抽出白球的条件下，第二次抽出红球的概率是________‎ ‎（14）某年级举办线上小型音乐会，由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目丙必须排在节目乙的下一个，则该小型音乐会节目演出顺序的编排方案共有________种． （用数字作答）‎ ‎（15）已知函数，若f（m）＝g（n）成立，则n－m的最小值为________‎ 三、解答题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎（16） （本小题8分）‎ 已知函数 ‎(Ⅰ)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；‎ ‎(Ⅱ)求f(x)的单调区间．‎ ‎ ‎ ‎(17) （本小题8分）‎ 为了迎接冬奥会，某中学推广冰上运动，从全校学生中随机抽取了100人，统计是否爱好冰上运动，得到如下的列表：‎ 参考附表：‎ 参考公式：，其中n＝a＋b＋c＋d ‎(I) 补全2x2 联表；‎ ‎（Ⅱ）能否在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为“爱好冰上运动与性别有关"？请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎(18)(本小题8分)‎ ‎2020年5月1日起，《北京市垃圾分类管理条例》正式实施，某社区随机对200种垃圾辨识度进行了随机调查，经分类整理得到下表：‎ 辨识率是指：一类垃圾中辨识准确度高的数量与该类垃圾的种类数的比值．‎ ‎（Ⅰ）从社区调查的200种垃圾中随机选取一种，求这种垃圾辨识度高的概率；‎ ‎（Ⅱ）从可回收物中有放回的抽取三种垃圾，记X为其中辨识度高的垃圾种数，求X的分布列和数学期望．‎ ‎（19） （本小题8分）‎ 已知函数．‎ ‎(Ⅰ)求f(x)的极值；‎ ‎（Ⅱ）若函数在定义域内有三个零点，求实数a的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎(20)(本小题8分)‎ 设集合，若X是的子集，把X中所有数的和称为X的“容量”（规定空集的容量为0），若 X的容量为奇（偶）数，则称X为的奇（偶）子集．‎ ‎（Ⅰ）当n＝3时，写出的所有奇子集；‎ ‎（Ⅱ）求证：当n≥3时，的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和；‎ ‎（Ⅲ）当n≥3时，求的所有奇子集的容量之和．‎ ‎ ‎ 参考答案 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）‎ ‎（1）A （2）B （3）B （4）D （5）D ‎（6）C （7）C （8）B （9）A （10）C 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）‎ ‎（11） （12）①③ （13） ‎ ‎（14） （15）‎ 注：（12）题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得4分，不选或错选得0分，其他得2分。‎ 三、解答题（共5小题，共40分）‎ ‎（16）（共8分）‎ 解：由题意可知函数的定义域为． ‎ ‎（Ⅰ）因为，‎ 所以， ………1分 ‎． ………2分 因为， ………3分 所以曲线在点处的切线方程为．………4分 ‎（Ⅱ） 的定义域为． ………5分 因为， ‎ 由，得，． ………6分 ‎ ‎ 因为函数的定义域为，‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 单调递减 极小值 单调递增 ‎ ………7分 所以，的单调递增区间为，‎ 的单调递减区间为． ………8分 ‎（17）（共8分）‎ 解：（Ⅰ）‎ 爱好 不爱好 共计 男生 女生 共计 共需要填6个空，对2个空 ……1分 对4个空 ………2分 全对 ………4分 ‎（Ⅱ）由题可知，‎ ‎，经过计算，，………7分 参照附表，所以在犯错误的概率不超过的前提下，‎ 可以认为“爱好冰上运动与性别有关”． ………8分 ‎ ‎ ‎（18）（共8分）‎ 解：（Ⅰ）由题意可知，样本中垃圾种类一共种，‎ 辨识度高的垃圾种数是：．………1分 所求概率为． ………3分 ‎ ‎（Ⅱ）的可能取值为． ………4分 依题意可知，．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎． ………6分 所以的分布列为 ‎………7分 ‎． ………………8分 ‎（19）（共8分）‎ 解：由题意可知函数的定义域为．‎ ‎（Ⅰ）因为，‎ 所以． ………1分 ‎ ‎ 由，得，． ………2分 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 单调递增 ‎ ‎ 单调递减 单调递增 ‎ ………3分 因此，当时，有极大值，并且极大值为；‎ 当时，有极小值，并且极小值为． ‎ ‎………4分（全对给1分）‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以．‎ 所以为一个零点．‎ 所以“函数在定义域内有三个零点”可以转化为 ‎“方程有两个非零实根”． ………5分 令，则，‎ 所以，当时，，在上单调递减；‎ 当时，，在上单调递增．‎ 当时，有最小值． ………6分 若方程有两个非零实根，则，即．‎ 又，，恒成立，不存在零点，………7分 ‎ ‎ 所以．‎ 综上，．‎ 所以当时，函数在定义域内有三个零点．‎ ‎………8分 ‎（20）（共8分）‎ ‎（Ⅰ）解：当时，．‎ 的所有奇子集为． ………3分（少写或写错扣1分）‎ ‎（Ⅱ）证明：首先证明的奇子集与偶子集个数相等．‎ 设奇数，对于的每个奇子集，‎ 当时，取且．‎ 当时，取，则为的偶子集．‎ 反之，亦然．‎ 所以，的奇子集与偶子集是一一对应的．‎ 所以，的奇子集与偶子集个数相等．‎ 对于，，含的的子集共有个， …4分 其中必有一半是奇子集，一半是偶子集，从而对于每个数，在奇子集的和与偶子集的和中，所占的个数是一样的．‎ 所以的所有奇子集的容量的和与所有偶子集的容量的和相等． …6分 ‎（Ⅲ）解：由于每个元素在奇子集中都出现次，故奇子集的容量和为 ‎． ………8分 ‎①‎ ‎ ‎ ‎ ‎