2017-2018学年河南省西华县第一高级中学高二下学期期末考试数学（文）试题-解析版

2017-2018学年河南省西华县第一高级中学高二下学期期末考试数学（文）试题-解析版

绝密★启用前 河南省西华县第一高级中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．若，其中为虚数单位，则复数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：要求复数，应先求复数，用复数运算律可得=，因为，所以 =，共轭复数与复数实部相等，虚部互为相反数。所以。‎ 详解：因为=‎ ‎ 所以 ‎ ‎ 故选A。‎ 点睛：复数的运算注意运算律，复数的加、减、乘与二项式的加、减、乘类似，期间注意。本题考查复数的乘法及共轭复数。‎ ‎2．函数的一个零点所在区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：求函数零点所在的区间，利用零点存在性定理。故先判断在定义域连续。再求得 ，‎ ‎。进而可得。可得函数的一个零点所在区间为。‎ 详解：因为在定义域连续。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以， ‎ ‎ 所以函数的一个零点所在区间为。‎ 故选B。‎ 点睛：求函数零点所在的区间，利用零点存在性定理。函数在区间上为连续函数，若，则函数在区间上至少存在一个零点。若函数在区间上为单调函数，若，则函数在区间上只有一个零点。‎ ‎3．下列有关线性回归分析的四个命题：‎ ‎①线性回归直线必过样本数据的中心点；‎ ‎②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；‎ ‎③当相关性系数时，两个变量正相关；‎ ‎④如果两个变量的相关性越强，则相关性系数就越接近于.‎ 其中真命题的个数为（ ）‎ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据线性回归方程的几何特征及残差,相关指数的概论,逐一分析四个答案的正误,可得答案.‎ 详解：①线性回归直线必过样本数据的中心点（）,故①正确; ②回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点,故②错误; ③当相关性系数时,则两个变量正相关,故③正确; ④如果两个变量的相关性越强,则相关性系数r就越接近于1或-1,故④错误. ‎ 故真命题的个数为2个, 所以B选项是正确的 点睛：本题以命题的真假判断为载体,考查了相关关系,回归分析,相关指数等知识点,难度不大,属于基础题.‎ ‎4．某单位招聘员工，有名应聘者参加笔试，随机抽查了其中名应聘者笔试试卷，统计他们的成绩如下表：‎ 分数段 人数 ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ 若按笔试成绩择优录取名参加面试，由此可预测参加面试的分数线为（ ）‎ A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据从名应聘者，按笔试成绩择优录取名参加面试，可以求出录取的比例为。进而求出随机抽查的名应聘者能录取的人数为。再由名应聘者的成绩表可知，能录取的4人都在80分之上。可预测参加面试的分数线为80分。‎ 详解：因为有名应聘者参加笔试，按笔试成绩择优录取名参加面试，‎ 所以录取的比例为。‎ 随机抽查的名应聘者能录取的人数为。‎ 由名应聘者的成绩表可知，能录取的4人都在80分之上。‎ 故可预测参加面试的分数线为80分。‎ 故选C。‎ 点睛：分层抽样应先确定抽样的比例，再根据须抽取的个体数和抽样比例可得各段抽取的个体数。本题考查分层抽样及学生的转化能力。‎ ‎5．已知变量与正相关，且由观测数据算得样本的平均数，‎ ‎，且有观察的数据所得的线性回归方程可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由变量与正相关，可得回归方程中的系数大于0。排除选项A、B。根据样本点中心在回归直线上，将样本的平均数，代入选项C、D中的方程，可排除选项C。‎ 详解：因为变量与正相关，所以回归方程中的系数大于0.‎ ‎ 排除选项A、B。‎ ‎ 因为样本的平均数，，‎ 所以样本点中心为。‎ 将，，代入中可得，‎ 故排除C。‎ 将，，代入中可得。‎ 故选D。‎ 点睛：对于回归直线方程，当变量与正相关时，；当变量与负相关时，。回归直线一定经过样本点中心。‎ ‎6．过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，如，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：在中，已知，，用表示另外两边可得 ， 。然后由椭圆定义可得，进而可求得。‎ 详解：在中，， ‎ ‎ ， 。‎ ‎ 由椭圆定义可得 即 ‎ ‎ 所以 ‎ 故选B。‎ 点睛：求圆锥曲线的离心率，应从条件得到关于的关系式。解题过程注意的关系。‎ ‎（1）直接根据题意建立的等式求解；‎ ‎（2）借助平面几何关系建立的等式求解；‎ ‎（3）利用圆锥曲线的相关细则建立的等式求解；‎ ‎（4）运用数形结合建立的等式求解。‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内可填入的条件是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】模拟程序的运行，可得， ； ， ； ， ； ， ； ， ，则判断框内可填入的条件是，故选C.‎ ‎8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】该几何体是由半球和长方体组成的组合体；其中半球的体积为；长方体的体积为，则该几何体的体积为，故选A.‎ ‎9．函数对任意，满足，如果方程恰有个实根，则所有这些实根之和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由 的对称轴为的实根关于对称 ，故选B.‎ ‎10．用反证法证明命题“设，为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）‎ A. 方程没有实根 B. 方程至多有一个实根 C. 方程至多有两个实根 D. 方程恰好有两个实根 ‎【答案】A ‎【解析】分析：反证法证明命题时，假设结论不成立。至少有一个的对立情况为没有。故假设为方程没有实根。‎ 详解：结论“方程至少有一个实根”的假设是“方程 没有实根。”‎ 点睛：反证法证明命题时，应假设结论不成立，即结论的否定成立。常见否定词语的否定形式如下：‎ 结论词 没有 至少有一个 至多一个 不大于 不等于 不存在 反设词 有 一个也没有 至少两个 大于 等于 存在 ‎11．已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，，则，，的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ‎ 由已知得在 是减函数， 是偶函数，， ，即 ，故选B.‎ ‎12．若函数在上不单调，则的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先求函数的定义域为。和函数的单调性有关，应先求导函数。求导得。令与，求得函数的增区间为，减区间为。由函数在上不单调，可得区间不是任一个单调区间的子集。所以或 进而求得所求范围。‎ 详解：函数的定义域为。‎ ‎ 因为 ‎ ‎ 令，即 ‎ 解得 ‎ 令，即 解得或 ‎ 所以函数的增区间为，减区间为。‎ ‎ 因为函数在上不单调，‎ 所以或 ‎ 解得或 ‎ 故选D。‎ 点睛：由函数的单调性求参数的取值范围的问题，和函数的导函数有关。‎ ‎⑴ 函数在区间上为增函数（减函数），则（）在区间上恒成立，转化为不等式恒成立，可求参数的取值范围。‎ ‎⑵ 函数在区间上为单调函数，则则或在区间上恒成立，转化为不等式恒成立，可求参数的取值范围。‎ ‎⑶函数在区间上不单调，可由区间不是函数的单调区间的子集来求参数的取值范围。‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．某高校为调查名学生每周的自习时间（单位：小时），从中随机抽查了名学生每周的自习时间，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，.根据直方图，估计这名学生中每周的自习时间不少于小时的人数是__________．‎ ‎【答案】. ‎ ‎【解析】分析：要求这名学生中每周的自习时间不少于小时的人数，应先求自习时间在，，三个分组的频率。由直方图可得这三组的频率为。进而可得这名学生中每周的自习时间不少于小时的人数是。‎ 详解：由直方图可得自习时间在，，三个分组的频率为 。‎ 所以这名学生中每周的自习时间不少于小时的人数是。 ‎ 点睛：由频率直方图求各组的频率，小矩形的面积为该组的频率，即小矩形的高乘以组距。本题考查学生的转化能力、计算能力。‎ ‎14．已知函数的图象在点处的切线方程是，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由函数的图象在点处的切线方程是，则，且，所以．‎ 考点：导数的几何意义．‎ ‎15．已知，，若，，使得，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：由若，，使得，可得。用观察法可得函数在区间上为增函数，进而求得。函数 在区间上为减函数，求得。进而可得。求得实数的取值范围是。‎ 详解：函数在区间上为增函数，‎ 所以。‎ 因为函数 在区间上为减函数，‎ 所以。‎ 由若，，使得，可得 ‎ 即 ，解得。‎ 所以实数的取值范围是。‎ 点睛：不等式的恒成立可用分离变量法。若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也是求最值。一般有：‎ ‎ ⑴ 为参数）恒成立 ‎ ‎⑵为参数）恒成立 。‎ ‎⑶若 ， ，使得 成立。应转化为，再结合不等式恒成立来解。‎ ‎16．观察下列的图形中小正方形的个数，则第个图中有__________个小正方形.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】解：‎ 解：由题意可得，f（1）=2+1‎ f（2）=3+2+1‎ f（3）=4+3+2+1‎ f（4）=5+4+3+2+1‎ f（5）=6+5+4+3+2+1‎ ‎…‎ f（n）=（n+1）+n+（n-1）+…+1=(n+2)(n+1)/2=‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知是递增的等差数列，，是方程的根.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1).‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（I）由题意易求得，继而可求得公差，即可求得结果；‎ ‎（II）由（I）易知所以即可利用错位相减法求得结果．‎ 试题解析：（I）方程的两根为2,3，由题意得 设数列的公差为d，则故从而 所以的通项公式为 ‎（II）设的前n项和为由（I）知则 两式相减得 所以 考点：等差数列的性质；错位相减法的应用．‎ ‎18．已知函数，（其中，，‎ ‎）的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）当时，求的值域.‎ ‎【答案】(1).‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由函数最低点为得，由轴上相邻两个交点之间距离为，得， 即，所以.又因为在图象上，得 即故，又 所以，即可求的解析式；‎ ‎（2）因为，所以，当即时，取最大值，当即时，取最小值，即可求的值域.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由函数最低点为得，‎ 由轴上相邻两个交点之间距离为，得， 即，所以.‎ 又因为在图象上，得 即 故，所以，‎ 又，所以.故.‎ ‎（2）因为，所以，‎ 当即时，取最大值，‎ 当即时，取最小值，故的值域为.‎ 点睛：本题要熟练掌握五点作图法的过程，由题意得出A，w,的值，由整体思想，熟练应用正弦函数的图象很容易解决函数的值域.‎ ‎19．某地区年至年农村居民家庭人均纯收入（单位：千元）的数据如表：‎ 年份 ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ 年份代号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 人均纯收入 ‎2.9‎ ‎3.3‎ ‎3.6‎ ‎4.4‎ ‎4.8‎ ‎5.2‎ ‎5.9‎ ‎（1）求关于的线性回归方程；‎ ‎（2）利用（1）中的回归方程，分析年至年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区年农村居民家庭人均纯收入.‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：‎ ‎.‎ 参考数据：.‎ ‎【答案】(1).‎ ‎（2）故年至年该地区居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加千元.‎ 约为千元.‎ ‎【解析】分析：(1)由表中的数据可分别求得公式中的分子、分母，先求，，进而可得 ‎，‎ ‎.代入公式即可求得，再由求得，求得回归方程为. （2）由回归方程为.中的系数，可知两变量为正相关，进而可得年至年该地区居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加千元。年的年份代号，故可将代入回归方程为.可求得，进而预测该地区年该地区居民家庭人均纯收入约为千元.‎ 详解：（1）由所给数据计算得 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎，，‎ 所求回归方程为.‎ ‎（2）由（1）知，，故年至年该地区居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加千元.‎ 将年的年份代号代入（1）的回归方程，得，‎ 故预测该地区年该地区居民家庭人均纯收入约为千元.‎ 点睛：⑴ 求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实标意义。否则， 求出的回归直线方程毫无意义。 因此，对一组数据作线性回归分析时， 应先看其散点图是否成线性。‎ ‎⑵求回归直线方程，关键在于正确地求出系数。由于求的计算量较大，计算时仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生失误．‎ ‎20．某学校课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级名学生某次考试成绩（百分制）如下表所示：‎ 序号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 数学成绩 ‎95‎ ‎75‎ ‎80‎ ‎94‎ ‎92‎ ‎65‎ ‎67‎ ‎84‎ ‎98‎ ‎71‎ 物理成绩 ‎90‎ ‎63‎ ‎72‎ ‎87‎ ‎91‎ ‎71‎ ‎58‎ ‎82‎ ‎93‎ ‎81‎ 序号 ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 数学成绩 ‎67‎ ‎93‎ ‎64‎ ‎78‎ ‎77‎ ‎90‎ ‎57‎ ‎83‎ ‎72‎ ‎83‎ 物理成绩 ‎77‎ ‎82‎ ‎48‎ ‎85‎ ‎69‎ ‎91‎ ‎61‎ ‎84‎ ‎78‎ ‎86‎ 若数学成绩分以上为优秀，物理成绩分（含分）以上为优秀.‎ ‎（Ⅰ）根据上表完成下面的列联表：‎ 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 物理成绩优秀 物理成绩不优秀 ‎12‎ 合计 ‎20‎ ‎（Ⅱ）根据题（Ⅰ）中表格的数据计算，有多少的把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系？‎ ‎（Ⅲ）若按下面的方法从这人中抽取人来了解有关情况：将一个标有数字，，，，，的正六面体骰子连续投掷两次，记朝上的两个数字的乘积为被抽取人的序号，试求：抽到号的概率.‎ 参考数据公式：①独立性检验临界值表 ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎②独立性检验随机变量值的计算公式：.‎ ‎【答案】(1)列联表见解析.‎ ‎（2）我们有的把握认为：学生的数学成绩与物理成绩之间有关系.‎ ‎ (3).‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）从高二年级名学生某次考试成绩表，可数出数学、物理成绩优秀人数，可完成列联表。（Ⅱ）根据列联表中的数据和公式：，可求得，因为。因为的概率约为，所以我们有的把握认为：学生的数学成绩与物理成绩之间有关系. （Ⅲ）因为正六面体骰子标的数有，，，，，。积为12有以下情况：。‎ 所以抽到号有种，，，。总的基本事件有36种。进而可得抽到号的概率.‎ 详解：（Ⅰ）表格为 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 物理成绩优秀 ‎5‎ ‎2‎ ‎7‎ 物理成绩不优秀 ‎1‎ ‎12‎ ‎13‎ 合计 ‎6‎ ‎14‎ ‎20‎ ‎（Ⅱ）提出假设：学生的数学成绩与物理成绩之间没有关系.根据上述列联表可以求得，当成立时，的概率约为，而这里，‎ 所以我们有的把握认为：学生的数学成绩与物理成绩之间有关系.‎ ‎（Ⅲ）抽到号有种，，，‎ 基本事件有种，，，‎ ‎，，，‎ ‎，，，‎ ‎，，，‎ ‎，，，‎ ‎，，，‎ 所以，抽到号的概率.‎ 点睛：⑴独立性检验问题，关键在于正确地求出随机变量的值。由于求随机变量的计算量较大，计算时仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生失误．‎ ‎⑵ 古典概型求概率，关键求对事件包含的基本事件数。‎ ‎21．已知函数，其中 ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若对成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 当时，的单调减区间为，没有增区间；当时，的单调增区间为，单调减区间为.‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）求函数的单调性，应先求函数的定义域。函数的定义域为。。求函数的单调区间，令，则。因为定义域为，所以。解此不等式和的正负有关。 ‎ ‎ 故分和 两种情况讨论。当时，因为，进而可得在上是减函数；当时，由，可得，进而得。所以当时，，时，，进而可得在上是减函数，在上是增函数。‎ ‎（Ⅱ）由对成立可得对成立，分离变量可得时，恒成立。构造函数，只需即可，所以求导可得函数的单调性，进而求其最大值，可得实数的取值范围.‎ 详解：（Ⅰ）定义域为，，‎ 当时，，在上是减函数，‎ 当时，由得，‎ 当时，，时，，‎ ‎∴在上是减函数，在上是增函数，‎ 综上，当时，的单调减区间为，没有增区间.‎ 当时，的单调增区间为，单调减区间为.‎ ‎（Ⅱ）化为，∴时，，‎ 令，∴，‎ 当时，，∴.‎ ‎∴在上是减函数，∴即.‎ 点睛：⑴对于含参数的函数的单调性，应先求函数的的定义域，然后求，再解，当不等式的的解集不确实时，应根据不等式的类型进行讨论；‎ ‎⑵不等式的恒成立可用分离变量法。若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也是求最值。一般有：‎ ‎① 为参数）恒成立 ‎ ‎②为参数）恒成立 。‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程为（为参数）以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线交曲线于，两点，求.‎ ‎【答案】(1).‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）先把曲线的参数方程（为参数）消去参数变成普通方程，将代入，化简可得。（Ⅱ）直线化为直角坐标方程为，求，即求直线与圆相交的弦长，圆半径为，由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离为，。再由弦长公式求得弦长为.‎ 详解：（Ⅰ）∵曲线的参数方程为（为参数）‎ ‎∴曲线的普通方程为 曲线表示以为圆心，为半径的圆.‎ 将代入并化简得：‎ 即曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）∵直线的直角坐标方程为；‎ ‎∴圆心到直线的距离为，∴弦长为.‎ 点睛：⑴曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，注意公式和 ‎ 的运用；‎ ‎ ⑵ 直线与曲线交于，两点，求。可将方程转化为直角坐标方程，利用解析几何方法解决。‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数 ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ）对及，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1).‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）由得.解含两个绝对值号的不等式，应讨论去掉绝对值号，。分三种情况解不等式即可。当时，由，解得；当时，不成立；当时，由，解得.三种情况取并集即得不等式的解集为. （Ⅱ），不等式恒成立，只需，不等式 。因为，所以根据基本不等式可得。对，。由函数解析式可得对，，进而可求，根据三角不等式可得，进而可得 ，解不等式可得所求范围。‎ 详解：（Ⅰ）‎ 当时，由，解得；‎ 当时，不成立；‎ 当时，由，解得.‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以.‎ 由题意知对，，‎ 即，‎ 因为，‎ 所以，解得.‎ 点睛：⑴ 绝对值不等式解法的基本思路是：去掉绝对值号，把它转化为一般的不等式求解，转化的方法一般有：①绝对值定义法；②平方法；③零点区域法。‎ ‎⑵ 不等式的恒成立可用分离变量法。若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也是求最值。一般有：‎ ‎① 为参数）恒成立 ‎ ‎②为参数）恒成立 。‎