2019届二轮复习第20讲　坐标系与参数方程学案（全国通用）

2019届二轮复习第20讲　坐标系与参数方程学案（全国通用）

第20讲　坐标系与参数方程 ‎1.[2016·全国卷Ⅰ 在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=acost,‎y=1+asint(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.‎ ‎(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.‎ ‎[试做 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2.[2017·全国卷Ⅲ 在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为x=2+t,‎y=kt(t为参数),直线l2‎ 的参数方程为x=-2+m,‎y=‎mk(m为参数).设l1与l2的交点为P,当 变化时,P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)写出C的普通方程;‎ ‎(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos θ+sin θ)-‎2‎=0,M为l3与C的交点,求M的极径.‎ ‎[试做 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　命题角度　坐标系与参数方程 ‎(1)利用x=ρcos θ,y=ρsin θ以及ρ2=x2+y2可将极坐标方程与直角坐标方程互化.‎ ‎(2)化参数方程为普通方程的关键是消参,可以利用加减消元法、平方消元法、代入法等.在参数方程与普通方程的互化过程中,必须使两种方程中的x,y的取值范围保持一致.‎ ‎(3)解决极坐标问题的一般思路:‎ ‎①将曲线的极坐标方程联立,再根据限制条件求出极坐标;‎ ‎②在对极坐标的意义和应用不太熟悉的时候,可将极坐标方程化为直角坐标方程,求出交点坐标,再将其化为极坐标.‎ ‎(4)解决坐标系与参数方程中求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,一般方法是先分别化为普通方程或直角坐标方程后再求解,也可直接利用极坐标的几何意义求解,解题时要结合题目自身特点,灵活选择方程的类型.‎ 解答1极坐标与简单曲线的极坐标方程 ‎1 在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x+‎3‎y=5‎3‎,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4sin θ.‎ ‎(1)求直线l的极坐标方程和圆C的直角坐标方程;‎ ‎(2)射线OP:θ=π‎6‎(ρ≥0)与圆C的交点为O,A,与直线l的交点为B,求线段AB的长.‎ ‎[听课笔记 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【考场点拨】‎ 将直角坐标方程化为极坐标方程时,只要运用公式x=ρcos θ及y=ρsin θ,直接代入并化简即可;‎ ‎ 将极坐标方程化为直角坐标方程时,常用极坐标方程两边同乘(或同除以)ρ,将极坐标方程构造成含有ρsin θ,ρcos θ,ρ2的形式,然后利用公式代换化简得到直角坐标方程.‎ ‎【自我检测】‎ 以平面直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且在两种坐标系中取相同的长度单位.曲线C的极坐标方程是ρ2=‎16‎‎1+3cos‎2‎θ.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)设曲线C与x轴正半轴及y轴正半轴交于点M,N,在第一象限内任取曲线C上一点P,求四边形OMPN面积的最大值.‎ 解答2简单曲线的参数方程 ‎2 已知曲线C的极坐标方程是ρ-4sin θ=0,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l过点M(1,0),倾斜角为‎3π‎4‎.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程;‎ ‎(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,求 MA + MB 的值.‎ ‎[听课笔记 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【考场点拨】‎ 高考中直线参数方程问题的注意点:‎ ‎(1)利用直线的参数方程x=x‎0‎+tcosθ,‎y=y‎0‎+tsinθ(t为参数)中参数的几何意义求解时,若A,B为直线上两点,其对应的参数分别为t1,t2,线段AB的中点为M,点M所对应的参数为t0,P(x0,y0),则以下结论在解题中经常用到:①t0=t‎1‎‎+‎t‎2‎‎2‎;② AB = t2-t1 ;③ PA · PB = t1·t2 .‎ ‎(2)用参数方程的几何意义解题时,参数方程必须是标准形式,即满足参数t前面的系数的平方和等于1,否则会出现错误.‎ ‎【自我检测】‎ 在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=1+tcosθ,‎y=‎3‎+tsinθ,‎t为参数,θ∈[0,π).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=8sinθ+π‎6‎.‎ ‎(1)求圆C的圆心的直角坐标;‎ ‎(2)设点P(1,‎3‎),若直线l与圆C交于A,B两点,求证: PA · PB 为定值,并求出该定值.‎ 解答3极坐标与参数方程的综合应用 ‎3 在直角坐标系xOy中,曲线C1:x=3cosθ,‎y=sinθ(θ为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ(cos θ-sin θ)=4.‎ ‎(1)写出曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)若曲线C1上有一动点M,曲线C2上有一动点N,求 MN 最小时M点的坐标.‎ ‎[听课笔记 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【考场点拨】‎ 高考中利用参数解题的几点应用:‎ ‎(1)在圆锥曲线截直线的弦长问题中的应用.这类问题通常是过某一定点作一直线与圆锥曲线相交于A,B两点,所求问题与定点到A,B两点的距离有关,主要利用定点在直线AB上以及参数t的几何意义,结合根与系数的关系进行处理.‎ ‎(2)解决中点问题.可利用t0=t‎1‎‎+‎t‎2‎‎2‎结合t的几何意义去解决.‎ ‎(3)与直线有关的最值、范围问题.这类问题主要是线段的两个端点在圆锥曲线上,求相应的最大值和最小值问题.解决此类问题时可以先利用参数方程中的参数去表示,然后利用三角函数的相关知识求解.‎ ‎【自我检测】‎ 以平面直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,并在两种坐标系中取相同的长度单位.曲线C1的极坐标方程为ρsin2θ-4cos θ=0,曲线C2的参数方程为x=-1+2cosφ,‎y=2sinφ(φ为参数).‎ ‎(1)求曲线C1的直角坐标方程及曲线C2的普通方程;‎ ‎(2)已知点P‎1‎‎2‎,0,直线l的参数方程为x=‎1‎‎2‎+‎2‎‎2‎t,‎y=‎2‎‎2‎t(t为参数),设直线l与曲线C1 交于M,N两点,求‎1‎‎ PM ‎+‎1‎‎ PN ‎的值.‎ 模块七　选考模块 第20讲　坐标系与参数方程 ‎ 典型真题研析 ‎1.解:(1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.‎ 将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.‎ ‎(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组 ρ‎2‎‎-2ρsinθ+1-a‎2‎=0,‎ρ=4cosθ.‎ 若ρ≠0,则由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,由已知tan θ=2,‎ 可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.‎ 当a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上,‎ 所以a=1.‎ ‎2.解:(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y= (x-2),消去参数m得l2的普通方程l2:y=‎1‎k(x+2).‎ 设P(x,y),由题设得y=k(x-2),‎y=‎1‎k(x+2),‎消去 得x2-y2=4(y≠0),‎ 所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0).‎ ‎(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π).‎ 联立ρ‎2‎‎(cos‎2‎θ-sin‎2‎θ)=4,‎ρ(cosθ+sinθ)-‎2‎=0,‎得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ).‎ 故tan θ=-‎1‎‎3‎,从而cos2θ=‎9‎‎10‎,sin2θ=‎1‎‎10‎.‎ 代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,所以交点M的极径为‎5‎.‎ ‎ 考点考法探究 解答1‎ ‎ 例1　解:(1)在x+‎3‎y=5‎3‎中,令x=ρcos θ,y=ρsin θ,‎ 得ρcos θ+‎3‎ρsin θ=5‎3‎,化简得2ρsinθ+π‎6‎=5‎3‎,‎ 即为直线l的极坐标方程.‎ 由ρ=4sin θ得ρ2=4ρsin θ,又ρ2=x2+y2,y=ρsin θ,所以x2+y2=4y,‎ 即x2+(y-2)2=4,即为圆C的直角坐标方程.‎ ‎(2)由题知ρA=4sinπ‎6‎=2,‎ ρB=‎5‎‎3‎‎2sin(π‎6‎+π‎6‎)‎=5,‎ 所以 AB = ρA-ρB =3.‎ ‎【自我检测】‎ 解:(1)ρ2=‎16‎‎1+3cos‎2‎θ可变形为ρ2+3ρ2cos2θ=16,‎ 又∵ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,‎ ‎∴x2+y2+3x2=16,‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎16‎=1.‎ ‎(2)由已知和(1)可得M(2,0),N(0,4),设P(2cos α,4sin α),α∈0,π‎2‎,‎ 则S四边形OMPN=S△OMP+S△ONP=‎1‎‎2‎×2×4sin α+‎1‎‎2‎×4×2cos α=4sin α+4cos α=4‎2‎sinα+π‎4‎,‎ 由α∈0,π‎2‎,得α+π‎4‎∈π‎4‎,‎3π‎4‎,‎ 于是4‎2‎sinα+π‎4‎≤4‎2‎,当且仅当α+π‎4‎=π‎2‎,即α=π‎4‎时取等号,‎ ‎∴四边形OMPN面积的最大值为4‎2‎.‎ 解答2‎ ‎ 例2　解:(1)因为ρ-4sin θ=0,所以ρ2=4ρsin θ,所以x2+y2=4y,即曲线C的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4.‎ 直线l的参数方程为x=1+tcos‎3π‎4‎,‎y=tsin‎3π‎4‎(t为参数),‎ 即x=1-‎2‎‎2‎t,‎y=‎2‎‎2‎t(t为参数).‎ ‎(2)设点A,B对应的参数分别为t1,t2,‎ 将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得1-‎2‎‎2‎t2+‎2‎‎2‎t-22=4,‎ 整理得t2-3‎2‎t+1=0,所以t‎1‎‎+t‎2‎=3‎2‎,‎t‎1‎‎·t‎2‎=1,‎ 所以t1>0,t2>0,‎ 所以 MA + MB = t1 + t2 =t1+t2=3‎2‎.‎ ‎【自我检测】‎ 解:(1)由ρ=8sinθ+π‎6‎得ρ2=4‎3‎ρsin θ+4ρcos θ,所以圆C的直角坐标方程为x2+y2-4x-4‎3‎y=0,圆心C的坐标为(2,2‎3‎).‎ ‎(2) 证明:将x=1+tcosθ,‎y=‎3‎+tsinθ代入x2+y2-4x-4‎3‎y=0,‎ 整理得t2-(2‎3‎sin θ+2cos θ)t-12=0,‎ 设点A,B所对应的参数分别为t1,t2,则t1t2=-12,‎ ‎∵P(1,‎3‎),∴ PA · PB = t1t2 =12,为定值.‎ 解答3‎ ‎ 例3　解:(1)由题知曲线C1的普通方程为x‎2‎‎9‎+y2=1.‎ 由ρ(cos θ-sin θ)=4及x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐标方程为x-y-4=0.‎ ‎(2)设M(3cos α,sin α),结合图像可知, MN 的最小值即为点M到直线C2的距离的最小值.‎ ‎∵点M到直线C2的距离d=‎ 3cosα-sinα-4 ‎‎2‎=‎ ‎10‎cos(α+φ)-4 ‎‎2‎,其中tan φ=‎1‎‎3‎,‎ ‎∴当cos(α+φ)=1时,d最小,即 MN 最小.‎ 此时,3cos α-sin α=‎10‎,结合sin2α+cos2α=1可得cos α=‎3‎‎10‎‎10‎,sin α=-‎10‎‎10‎.‎ 即此时M点的坐标为‎9‎‎10‎‎10‎,-‎10‎‎10‎.‎ ‎【自我检测】‎ 解:(1)因为ρsin2θ-4cos θ=0,‎ 所以ρ2sin2θ-4ρcos θ=0,所以y2=4x,即曲线C1的直角坐标方程为y2=4x.‎ 因为x=-1+2cosφ,‎y=2sinφ,‎所以(x+1)2+y2=4,即曲线C2的普通方程为(x+1)2+y2=4.‎ ‎(2)将直线l的参数方程x=‎1‎‎2‎+‎2‎‎2‎t,‎y=‎2‎‎2‎t代入y2=4x,整理得t2-4‎2‎t-4=0,‎ 设M,N两点对应的参数分别为t1,t2,‎ 则t1+t2=4‎2‎,t1t2=-4,‎ 所以‎1‎‎ PM ‎+‎1‎‎ PN ‎=‎1‎‎ t‎1‎ ‎+‎1‎‎ t‎2‎ ‎=‎ t‎1‎ + t‎2‎ ‎‎ t‎1‎t‎2‎ ‎=‎ t‎1‎-t‎2‎ ‎‎ t‎1‎t‎2‎ ‎=‎(t‎1‎+t‎2‎‎)‎‎2‎-4‎t‎1‎t‎2‎‎ t‎1‎t‎2‎ ‎=‎3‎.‎ ‎[备选理由 在解决取值范围问题时常用三角函数,备用例1是对例3应用的一个补充.‎ 例1　[配例3使用 在平面直角坐标系xOy中,直线l经过点P(-3,0),其倾斜角为α,以原点O为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且在两种坐标系中取相同的长度单位,已知曲线C的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-3=0.‎ ‎(1)若直线l与曲线C有公共点,求倾斜角α的取值范围;‎ ‎(2)设M(x,y)为曲线C上任意一点,求x+y的取值范围.‎ 解:(1)将曲线C的极坐标方程ρ2-2ρcos θ-3=0化为直角坐标方程为x2+y2-2x-3=0,‎ 直线l的参数方程为x=-3+tcosα,‎y=tsinα(t为参数),‎ 将直线l的参数方程代入x2+y2-2x-3=0,整理得t2-8tcos α+12=0,‎ ‎∵直线l与曲线C有公共点,∴Δ=64cos2α-48≥0,‎ ‎∴cos α≥‎3‎‎2‎或cos α≤-‎3‎‎2‎,又∵α∈[0,π),‎ ‎∴α的取值范围是0,π‎6‎∪‎5π‎6‎,π.‎ ‎(2)曲线C的直角坐标方程x2+y2-2x-3=0可化为(x-1)2+y2=4,‎ 其参数方程为x=1+2cosθ,‎y=2sinθ(θ为参数).‎ ‎∵M(x,y)为曲线C上任意一点,‎ ‎∴x+y=1+2cos θ+2sin θ=1+2‎2‎sinθ+π‎4‎,‎ ‎∴x+y的取值范围是[1-2‎2‎,1+2‎2‎ .‎