2020年中考数学总复习 第16讲 相似三角形 新版 新人教版

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第16讲 相似三角形 一、 知识清单梳理 知识点一：比例线段 ‎ 关键点拨与对应举例 1. 比例 线段 在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．‎ 列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱.‎ ‎2.比例 的基本性质 ‎(1)基本性质：⇔ ad＝bc；（b、d≠0）‎ ‎(2)合比性质：⇔＝；（b、d≠0）‎ ‎(3)等比性质：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔‎ ‎＝k.（b、d、···、n≠0）‎ 已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中 的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b代入求解.‎ 例：若，则 .‎ ‎3.平行线分线段成比例定理 ‎（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 ‎ 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则.‎ 利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解.‎ 例：如图，已知D，E分别是△ABC的边BC和AC上的点，AE=2，CE=3，要使DE∥AB，那么BC：CD应等于 .‎ ‎（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的 延长 线)，所得的对应线段成比例.‎ 即如图所示，若AB∥CD，则.‎ ‎（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．‎ 如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.‎ ‎4.黄金分割 点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．‎ 例：把长为‎10cm的线段进行黄金分割，那么较长线段长为 cm．‎ 知识点二 ：相似三角形的性质与判定 ‎5.相似三角形的判定 ‎(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).‎ 如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，‎ 则△ABC∽△DEF.‎ 判定三角形相似的思路：①条件中若有平行 线，可用平行线找出相等的角而判定；②条 件中若有 一对等角，可再找一对等角或再找 夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中 若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件 中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证 明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有 等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等 或找底、腰对应成比例.‎ ‎(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A＝∠D，，则△ABC∽△DEF.‎ ‎(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若，则△ABC∽△DEF.‎ ‎6.相似 三角形的性质 ‎(1)对应角相等，对应边成比例．‎ ‎(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．‎ ‎(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．‎ 例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为9：4.‎ ‎(2) 如图，DE∥BC， AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG=1：2. ‎ ‎7.相似三角形的基本模型 ‎（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.‎ ‎（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.‎ 二、经典试做 ‎1．已知△ABC∽△DEF，∠A＝80°，∠B＝20°，‎ 那么△DEF的各角的度数分别是______________．‎ ‎2．如图27211，直线CD∥EF，若OE＝7，CE＝4，则＝________.‎ ‎ ‎ ‎ 图27211‎ ‎3．已知△ABC∽△A′B′C′，如果AC＝6，A′C′＝2.4，那么△A′B′C′与△ABC的相似比为________．‎ ‎4．如图若∠BAD＝∠CAE，∠E＝∠C，则________∽________.‎ ‎5．如图27213，DE∥FG∥BC，图中共有相似三角形(　　)‎ A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 ‎ 图27213‎ ‎ 6．在△ABC和△A′B′C′中，有下列条件：‎ ‎①＝；②＝；③∠A＝∠A′；④∠C＝∠C′.‎ 如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有(　　)‎ A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 ‎7．如图27214，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，求证：AD2＝CD·BD.‎ ‎ 9．如图27215，已知△ABC，延长BC到点D，使CD＝BC.‎ ‎ 取AB的中点F，连接FD交AC于点E.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若AB＝a，FB＝EC，求AC的长．‎ ‎ 图27215‎ ‎10．如图27216，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.‎ ‎(1)求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎(2)求出△BDE的面积S与x之间的函数关系式；‎ ‎(3)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少？‎ ‎4．已知△ABC和△DEF相似且对应中线的比为3∶4，则△ABC和△DEF的周长比为____________．‎ ‎5．高为‎3米的木箱在地面上的影长为‎12米，此时测得一建筑物在水面上的影长为‎36米，则该建筑物的高度为______米．‎ ‎7．如图27226，直立在B处的标杆AB＝‎2.4 m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上(点F，B，D也在同一条直线上)．已知BD＝‎8 m，FB＝‎2.5 m，人高EF＝‎1.5 m，求树高CD.‎ ‎ 图27226‎ ‎9．如图在▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE＝CD.‎ ‎(1)求证：△ABF∽△CEB；‎ ‎(2)若△DEF的面积为2，求▱ABCD的面积．‎ ‎ 图27228‎ ‎9．如图27315，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．‎ ‎(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1∶2；‎ ‎(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C的周长(结果保留根号)．‎ 图27315‎