甘肃省金昌市永昌县第四中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题

甘肃省金昌市永昌县第四中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题

高二年级（理科）数学 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.）‎ ‎1.已知，则下列不等式：①；②；③.其中不成立的个数是（ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由不等式的性质，可举一正一负的例子对三个不等式进行判断.‎ ‎【详解】由题意可令a＝1，b＝﹣1，此时①不对，②不对，‎ ‎③ab＝﹣1，此时有，故③不对．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查不等关系与不等式，解题的关键是找到合适的反例说明问题不成立，如果成立则需证明.‎ ‎2.若“，则”逆否命题是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题 ‎【详解】由题意，原命题的结论的否定：若x2≤y2，原命题的条件的否定为x≤y，‎ 所以逆否命题是若x2≤y2，则x≤y，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查四种命题的关系判断，考查基本知识的应用．‎ ‎3.“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确选项.‎ ‎【详解】当“”时，如，，故不能推出“” .当“”时，必然有“”.故“”是“”的必要不充分条件.‎ ‎【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查含有绝对值的不等式，属于基础题.‎ ‎4.不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将不等式等价转化后，由一元二次不等式的解法求出解集．‎ ‎【详解】由得，‎ 即，解得， 所以不等式的解集是，故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查分式不等式的转化，一元二次不等式的解法，注意分母不为零，属于基础题．‎ ‎5.已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：命题的否定为命题：，∵命题为假命题，∴命题为真命题，即恒成立，∴，解得，故答案为A.‎ 考点：命题的真假判断与应用.‎ ‎【方法点睛】本题考查含量词的命题的否定形式、考查命题与命题真假相反、考查二次不等式恒成立的充要条件从开口方向及对称轴上考虑．特称命题的否定为全称命题，将变为，结论否定写出命题的否定；利用命题与命题真假相反得到为真命题；令判别式小于等于求出即可．‎ ‎6.已知且，则的最大值等于 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵a，b∈R＋，∴1＝a＋b≥2，∴ab≤，当且仅当a＝b＝时等号成立．选B.‎ ‎7.椭圆上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为（ ）‎ A. 5 B. ‎6 ‎C. 7 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的定义可得点P到两个焦点的距离之和为‎2a＝10，再由点P到一个焦点的距离为2，可得点P到另一个焦点的距离．‎ ‎【详解】由椭圆，可得a＝5、b＝1，设它的两个焦点分别为F、F′，‎ 再由椭圆的定义可得|PF|+|PF'|＝‎2a＝10，由于点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为8，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的定义和标准方程的应用，属于中档题．‎ ‎8.已知双曲线的离心率为，焦点是，，则双曲线方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意e=2，c=4，‎ 由e=，可解得a=2，‎ 又b2=c2﹣a2，解得b2=12‎ 所以双曲线的方程为．‎ 故答案为 ．‎ 故答案选A.‎ ‎9.正数满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先用基本不等式求最小值，再根据配方法求二次函数的最大值.‎ ‎【详解】，‎ ‎ ‎ 当且仅当，即时，“=”成立，‎ 若不等式对任意实数恒成立，‎ 则，‎ 即对任意实数恒成立，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 实数的取值范围是.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式与二次不等式恒成立.‎ ‎10.不等式组所表示的平面区域的面积等于 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在坐标平面中画出可行域，求出直线与直线的交点后可求面积.‎ ‎【详解】不等式组对应的可行域如图所示：‎ 由得到，两条直线的纵截距分别为和 ‎，故不等式组对应的可行域的面积为，故选C.‎ ‎【点睛】平面区域面积的计算，关键是确定区域是由什么图形确定的，如果是规范图形，则利用面积公式计算，如果不是规范图形，则需要把其分割成规范图形分别计算．‎ ‎11.在上定义运算：，则满足的实数的取值范围为（ ）‎ A B. ‎ C. 或 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按照定义，先写出常规不等式形式，再解一元二次不等式即可求出．‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴，∴.‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查新定义应用以及一元二次不等式的解法．‎ ‎12.设双曲的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设该双曲线方程为得点B（0，b），焦点为F（c，0），直线FB的斜率为,由垂直直线的斜率之积等于-1，建立关于a、b、c的等式，变形整理为关于离心率e的方程，解之即可得到该双曲线的离心率.‎ ‎【详解】‎ 设该双曲线方程为可得它的渐近线方程为，焦点为F（c，0），点B（0，b）是虚轴的一个端点，∴直线FB的斜率为，‎ ‎∵直线FB与直线互相垂直，,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 双曲线的离心率e＞1，‎ ‎∴e=,故选D.‎ 考点：双曲线的简单性质 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13.命题“”的否定是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定是特称命题，写出结论.‎ ‎【详解】原命题是全称命题，故其否定是特称命题，所以原命题的否定是“”.‎ ‎【点睛】本小题主要考查全称命题的否定是特称命题，除了形式上的否定外，还要注意否定结论，属于基础题.‎ ‎14.若不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】(－∞，－4)∪(4，＋∞)‎ ‎【解析】‎ 分析：不等式的解集不是空集，只需相应方程有两个不同的根即可．‎ 详解：∵的解集不是空集， 有两个不同的实数根， 则需，或.‎ 即答案为.‎ 点睛：本题是考查二次函数，二次不等式，二次方程间的相互转化和相互应用，这是函数中综合性较强的问题，需熟练掌握 ‎15.已知x，y满足条件，则目标函数的最大值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：画出可行域，如下图所示，将目标函数变形为，当取到最大值时，直线的纵截距最大，故将直线向上平移到过点C时，目标函数取到最大值，，得，故．‎ 考点：线性规划．‎ ‎16.若过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1，l2分别与x轴，y轴交于A，B两点，则AB中点M的轨迹方程为________．‎ ‎【答案】x＋y－1＝0‎ ‎【解析】‎ 设直线l1的方程是y－1＝k(x－1)，则直线l2的方程是y－1＝－(x－1)，所以直线l1与x轴的交点为A(1－，0)，l2与y轴的交点为B(0,1＋)，设AB的中点为M(x，y)，则有，两式相加消去k得x＋y＝1，‎ 即x＋y－1＝0，所以AB中点M的轨迹方程为x＋y－1＝0．‎ 三、解答题（本题共6小题，共70分.）‎ ‎17.求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.‎ ‎【答案】顶点坐标(－3，0)，(3，0)；焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)；实轴长6，虚轴长是4，离心率，渐近线方程：.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将双曲线，化为标准方程，求得，结合双曲线的几何性质，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，将双曲线，化为标准方程，‎ 可得，则， ‎ 所以双曲线的顶点为A1(－3，0)，A2(3，0)，‎ 焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，‎ 实轴长是‎2a＝6，虚轴长是2b＝4， ‎ 离心率，渐近线方程：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎18.已知在平面直角坐标系中的一个椭圆的中心在原点，左焦点为，且右顶点为．设点的坐标是.‎ ‎(1)求该椭圆的标准方程； ‎ ‎(2)若是椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程．‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知条件求得的值，结合求得的值，由此求得椭圆方程.‎ ‎（2）设出的坐标，根据中点坐标公式表示点坐标，由此用的坐标表示点坐标，将此坐标代入椭圆方程，由此求得点的轨迹方程.‎ ‎【详解】(1)因为,所以所以椭圆标准方程为.‎ ‎(2)设，由中点坐标公式，得，所以.又因为，所以即为中点的轨迹方程．‎ ‎【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查相关点法求轨迹方程，属于中档题.‎ ‎19.若不等式的解集是，‎ ‎ (1) 求的值；‎ ‎ (2) 求不等式的解集.‎ ‎【答案】（1）（2）{x|}‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知不等式的解集得到=0的两个实数根为和2，利用韦达定理即可求出的值；（2）直接利用一元二次不等式的解法求解即可.‎ ‎【详解】解：（1）依题意可得：=0的两个实数根为和2，‎ ‎ 由韦达定理得：，解得：；. ‎ ‎ （2） 则不等式，可化为，‎ ‎ 解得 {x|}，‎ ‎ 故不等式的解集{x|}．.‎ ‎【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解集与一元二次不等式的根之间的关系，以及一元二次不等式的解法与韦达定理的应用，属于简单题.‎ ‎20.设有两个命题：的解集为R；q：函数是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求得p真q真时，实数m的取值范围，依题意，知p真q假，或p假q真，分别解之，取并即可．‎ ‎【详解】命题：p：x2﹣2x+2≥m的解集为R⇔m≤[（x﹣1）2+1]min＝1恒成立，即m≤1；‎ 命题q：函数f（x）＝﹣（7﹣‎3m）x是减函数⇔7﹣‎3m＞1，解得：m＜2；‎ 若这两个命题中有且只有一个是真命题，则p真q假，或p假q真．‎ 若p真q假，则，解得：m∈∅；‎ 若p假q真，则，解得：1＜m＜2；‎ 综上所述，实数m的取值范围为（1，2）．‎ ‎【点睛】本题考查命题真假判断与应用，考查复合命题的真假判断与恒成立问题，考查分类讨论思想与方程思想，属于中档题．‎ ‎21.已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.‎ ‎(1)若a＝2，试求函数y＝(x>0)的最小值；‎ ‎(2)对于任意的x∈[0，2]，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据基本不等式求最值，注意等号取法，（2）先化简不等式，再根据二次函数图像确定满足条件的不等式，解不等式得结果.‎ ‎【详解】(1)依题意得y===x+-4.‎ 因为x>0,所以x+≥2.当且仅当x=时,‎ 即x=1时,等号成立.所以y≥-2.‎ 所以当x=1时,y=的最小值为-2.‎ ‎(2)因为f(x)-a=x2-2ax-1,‎ 所以要使得“对任意的x∈[0,2],不等式f(x)≤a成立”只要“x2-2ax-1≤0在[0,2]恒成立”.‎ 不妨设g(x)=x2-2ax-1,‎ 则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可.‎ 所以　即 解得a≥,则a的取值范围为.‎ ‎【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎22.设直线与椭圆相交于两个不同的点.‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，求 ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将直线y＝x+b 与椭圆联立，利用△＞0，即可求；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），当b＝1 时，可求A，B的坐标，利用两点间距离公式可求结果.‎ ‎【详解】（1）将y＝x+b 代入，消去y，整理得3x2+4bx+2b2﹣2＝0．①‎ 因为直线y＝x+b 与椭圆 相交于A，B 两个不同的点，‎ ‎∴△＝16b2﹣12（2b2﹣2）＝24﹣8b2＞0‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），当b＝1 时，方程①为3x2+4x＝0．‎ 解得,此时 ‎【点睛】‎ 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查直线与椭圆相交所得弦长问题，考查计算能力，属于基础题.‎