【数学】湖北省武汉为明学校2019-2020学年高一上学期第一次阶段考试试题 （解析版）

【数学】湖北省武汉为明学校2019-2020学年高一上学期第一次阶段考试试题 （解析版）

www.ks5u.com 湖北省武汉为明学校2019-2020学年 高一上学期第一次阶段考试试题 ‎1.已知全集，集合，集合，则集合（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】,所以，故选A.‎ ‎2.下列各组函数中，表示相等函数的是（ ）‎ A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 ‎【答案】C ‎【解析】逐一考查所给的函数：‎ A.的定义域为R，的定义域为，不是同一个函数；‎ B.的定义域为R，的定义域为，不是同一个函数；‎ C.与的定义域都是全体实数，对应法则一致，是同一个函数；‎ D.的定义域为R，的定义域为，不是同一个函数；‎ 本题选择C选项.‎ ‎3.设，则其中最大的数是 （ ）‎ A. a B. b C. c D. d ‎【答案】C ‎【解析】由题,, ,‎ ‎,.‎ 因为.故最大的数为.‎ 故选：C ‎4.已知是R上的奇函数，且当时，，则当时，的解析式是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】令，则，所以，又是上的奇函数，‎ 所以，故选D.‎ ‎5.已知函数=,则等于（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵=∴‎ ‎∴，故选A ‎6.设集合，，如果，则的值为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得直线与直线平行，‎ 则：，据此解方程有：.‎ 本题选择C选项.‎ ‎7.若函数（且）的图象不经过第一象限，则有（ ）‎ A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 ‎【答案】C ‎【解析】函数图象不经过第一象限，则指数函数单调递减，即，‎ 且当时，，求解不等式可得：，‎ 综上可得：且.‎ 本题选择C选项.‎ ‎8.已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时，函数单调递增，则：，解得，‎ 指数函数单调递增，则，‎ 且当时，应该有，解得，‎ 则a的值范围是.‎ 本题选择D选项.‎ ‎9.如图在△AOB中，点，点E在射线OB上自O开始移动．设，过E作OB的垂线l，记△AOB在直线l左边部分的面积为S，则函数的图象是（)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】当0≤x≤2时，△OEF的高EFx，‎ ‎∴Sx•xx2；‎ 当2＜x≤3时，△BEF的高EF＝3﹣x，‎ ‎∴S3×1（3﹣x）•（3﹣x）x2+3x﹣3；‎ 当x＞3时，S．‎ ‎∴S，‎ 函数图象如图所示．‎ 故选D．‎ ‎10.设为偶函数，且在上是减函数，，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】为偶函数，且在上是减函数，，‎ 所以 在上是增函数，，因此 ‎ ,选C.‎ ‎11.给定全集，非空集合满足，，且集合中的最大元素小于集合 中的最小元素，则称为的一个有序子集对，若，则的有序子集对 的个数为（ ）‎ A. 16 B. 17 C. 18 D. 19‎ ‎【答案】B ‎【解析】 时，的个数是 ‎ 时，的个数是 ‎ 时，的个数是1，‎ ‎ 时，的个数是 ‎ 时，的个数是1，‎ ‎ 时，的个数是1，‎ ‎ 时，的个数是1，‎ ‎ 的有序子集对的个数为：17个，‎ ‎12.设函数的定义域为，若所有点 构成一个正方形区域，则的值为 ( )‎ A. B. C. D. 不能确定 ‎【答案】B ‎【解析】定义域是的解集，‎ 的根为x1与x2，‎ 由题意可知：，‎ 值域为，‎ 由，得到故选B．‎ 二、填空题：‎ ‎13.函数的定义域为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数有意义，则：，‎ 求解关于实数的不等式组可得：，‎ 则不等式的解集为：.‎ ‎14.下列关系正确的有__________.‎ ‎①；②；③；④.‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】逐一考试所给的关系：‎ ‎①；②；‎ ‎③表示的集合为点集，所表示的集合是数集，题中的结论错误；‎ ‎④.‎ 综上可得：关系正确的有②④.‎ ‎15.已知集合，，若，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】由解得或，所以，因为，所以可能，分别分析，当即时，符合题意，再有根与系数的关系知，时，符合题意，不符合题意，故填或 ‎16.已知函数，若存在实数，（），使的定义域为时，值域为，则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由反比例函数的性质可知，函数单调递减，‎ 则原问题等价于函数区间上存在实数满足：，‎ 则函数与函数有两个不相等的正实数根，‎ 即区间上有两个零点，整理可得：，‎ 令，原问题转化为：‎ ‎，与二次函数在区间上有两个交点，‎ 绘制二次函数图象如图所示，观察可得，实数的取值范围是.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.设全集为R，集合，.‎ ‎（1）分别求，；‎ ‎（2）已知，若，求实数的取值范围构成的集合.‎ ‎【解】（1）‎ ‎（2）由题意集合，∴，∴，∴.‎ ‎18.计算：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）已知，其中，求的值.‎ ‎【详解】（1）原式 ‎（2）∵，∴，∴，‎ 则，‎ ‎∵，∴，∴，‎ 又，∴，‎ ‎∴，‎ ‎19.已知.‎ ‎（1）判断函数的奇偶性，并进行证明；‎ ‎（2）解关于的不等式.‎ ‎【解】（1）函数为奇函数，‎ 以下为证明：，‎ ‎，‎ ‎∴为奇函数.‎ ‎（2），‎ ‎∵在上单调递增，‎ ‎∴在上单调递减，‎ ‎∴在上单调递增.‎ ‎∴ ‎ ‎ ，‎ 即，∴.‎ ‎20.‎ ‎ 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．‎ ‎（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；‎ ‎（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．‎ ‎【解】（1）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，‎ 设v（x）=ax+b，再由已知得，解得 故函数v（x）的表达式为 ‎（2）依题并由（1）可得 当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200‎ 当20≤x≤200时，‎ 当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．‎ 所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．‎ 综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，‎ 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．‎ 答：（1）函数v（x）的表达式 ‎（2）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．‎ ‎21.已知（，）.‎ ‎（1）请用定义证明，函数在上单调递减，在上单调递增；‎ ‎（2）（），对任意，，总有 成立，求取值范围.‎ ‎【解】（1）任取，，且，‎ 则，‎ 当，时，，∴，‎ 即在上单调递增.‎ ‎（2）令，则，.‎ 令，，‎ 原命题等价于对于恒成立.‎ ‎①时，在上单调递增，在上单调递增，或为常数函数.‎ ‎∴此时在上单调递增，‎ ‎， ，‎ ‎，解得（舍去）.‎ ‎②时，由①可得在上单调递增，‎ 此时，‎ 解得，∴.‎ ‎③时，由①可得在上单调递减，在上单调递 增.‎ ‎∵，∴，‎ ‎，‎ ‎，解得，∴.‎ 综上，的取值范围为.‎ ‎22.已知定义域为的函数同时满足以下三个条件：‎ ‎（1） 对任意的，总有；（2）；（3） 若，，且，则有成立，则称为“友谊函数”，请解答下列各题：‎ ‎（1）若已知为“友谊函数”，求的值；‎ ‎（2）函数在区间上是否为“友谊函数”？并给出理由.‎ ‎（3）已知为“友谊函数”，假定存在，使得且， 求证：.‎ ‎【解】（1）取得， ‎ 又由，得 ‎（2）显然在上满足 ①；②.③若，，且，‎ 则有，‎ 故满足条件（1）、（2）、（3），所以为友谊函数.‎ ‎（3）任给其中，且有，不妨设 所以：.‎ 下面证明：若，则有或 若，则，这与矛盾；‎ 若，则，这与矛盾；‎ 综上所述：‎