九年级数学上册 章末专题整合21 一元二次方程教学 新版新人教版

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章末专题整合 专题一 专题二 专题三 专题四 专题一 一元二次方程的相关概念 例 1 　 关于 x 的方程 x 2 - ( k+ 1) x- 6 = 0 的一个根是 2, 求 k 的值和方程的另一根 . 分析 : 根据方程的根可以使方程左右两边相等 , 将 x= 2 代入原方程 , 可求出 k 的值 , 进而可通过解方程求出另一根 . 解 : 把 x= 2 代入 x 2 - ( k+ 1) x- 6 = 0, 得 4 - 2( k+ 1) - 6 = 0, 解得 k=- 2, 解方程 x 2 +x- 6 = 0, 解得 x 1 = 2, x 2 =- 3 . 答 : k=- 2, 方程的另一个根为 - 3 . 专题一 专题二 专题三 专题四 解答这类与方程的解有关的问题 , 一般先把方程的根代入方程确定未知的字母的值后 , 再根据题目的要求解答其他问题 . 专题一 专题二 专题三 专题四 专题二 一元二次方程的解法 例 2 　 解方程 : x 2 + 2 x- 15 = 0 . 分析 : 观察这个方程的特点 , 利用公式法或因式分解法或配方法都可以求出方程的解 . 解 : 解法一 : ∵ a= 1, b= 2, c=- 15, Δ= 2 2 - 4 × 1 × ( - 15) = 64 > 0, ∴ x 1 = 3, x 2 =- 5 . 解法二 :( x- 3)( x+ 5) = 0, ∴ x 1 = 3, x 2 =- 5 . 解法三 : x 2 + 2 x= 15, x 2 + 2 x+ 1 = 15 + 1, ( x+ 1) 2 = 4 2 , x+ 1 = ± 4, ∴ x 1 = 3, x 2 =- 5 . 专题一 专题二 专题三 专题四 一元二次方程解法选取的基本原则 : (1) 当一个方程的二次项系数为 1, 一次项系数为偶数时适合用配方法 . (2) 当方程的两边有公因式或易于写成左边是两个因式的积 , 右边是 0 的形式时 , 就可利用因式分解法来解 . (3) 在上述两种方法都很难求解的情况下可考虑利用公式法求解 . 专题一 专题二 专题三 专题四 专题 三 一元二次方程的判别式及根与系 数的关系   例 3 　 已知关于 x 的一元二次方程 x 2 + (2 m- 3) x+m 2 = 0 有两个实数根 x 1 和 x 2 . (1) 求实数 m 的取值范围 ; 分析 : (1) 根据一元二次方程 x 2 + (2 m- 3) x+m 2 = 0 有两个实数根得到 Δ= (2 m- 3) 2 - 4 m 2 =- 12 m+ 9 ≥ 0, 求出 m 的取值范围 ; (2) 首先根据根与系数的关系得到 x 1 +x 2 = 3 - 2 m , x 1 x 2 =m 2 , 然后得到 , 求出 m 的值即可 . 专题一 专题二 专题三 专题四 专题一 专题二 专题三 专题四 解答本题的关键是把 转化为关于 m 的一元二次方程 , 解方程求出字母 m 的值后只有满足 Δ ≥ 0 的才是符合要求的答案 . 专题一 专题二 专题三 专题四 专题四 一元二次方程的应用 例 4 　 某市百货大楼服装柜在销售中发现 :“ 七彩 ” 牌童装平均每天可售出 30 件 , 每件盈利 50 元 . 为了迎接元旦 , 商场决定采取适当的降价措施 , 扩大销售量 , 增加盈利 , 尽量减少库存 . 经市场调查发现 : 如果每件童装降价 1 元 , 那么平均每天就可多售出 1 件 . 要想平均每天销售这种童装盈利 1 564 元 , 那么每件童装应降价多少元 ? 专题一 专题二 专题三 专题四 分析 : 设每件童装应降价 x 元 , 原来平均每天可售出 30 件 , 每件盈利 50 元 , 现在每件童装降价 1 元 , 那么平均每天就可多售出 1 件 . 要想平均每天销售这种童装盈利 1 564 元 , 由此即可列出方程 (50 -x )(30 +x ) = 1 564, 解方程就可以求出应降价多少元 . 解 : 设每件童装应降价 x 元 , 则 (50 -x )(30 +x ) = 1 564, 解得 x 1 = 4, x 2 = 16 . 因为要扩大销售量 , 增加盈利 , 减少库存 , 所以 x 只取 16 . 答 : 每件童装应降价 16 元 . 专题一 专题二 专题三 专题四 解答这类应用问题 , 首先找到关键描述语 , 找到等量关系 , 然后准确地列出一元二次方程是解决问题的关键 . 最后要注意根据实际判断所求的解是否符合题意 , 舍去不合题意的解