高考试题——文数

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2009 年普通高等学校招生全国统一考试试卷题 文科数学 第Ⅰ卷（选择题） 本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 参考公式： 如果事件 互斥，那么 球的表面积公式 如果事件 相互独立，那么 其中 表示球的半径 球的体积公式 如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 次的概率 其中 表示球的半径 一．选择题 （1）已知全集 U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M ={1，3，5，7}，N ={5，6，7}，则 Cu( M N)= (A) {5，7} （B） {2，4} （C）{2.4.8} （D）{1，3，5，6，7} （2）函数 y= (x 0)的反函数是 （A） （x 0） （B） （x 0） （B） （x 0） （D） （x 0） （3） 函数 y= 的图像 （A） 关于原点对称 （B）关于主线 对称 （C） 关于 轴对称 （D）关于直线 对称 （4）已知△ABC 中， ，则 (A) (B) (C) (D) （5） 已知正四棱柱 中， = ， 为 重点，则异面直线 与 所形成角的余弦值为 A B， ( ) ( ) ( )P A B P A P B+ = + 24πS R= A B， R ( ) ( ) ( )P A B P A P B=  A P 34 π3V R= n k R ( ) (1 ) ( 01,2 )k k n k n nP k C P P k n−= − = ， ， ，  x− ≤ 2y x= ≥ 2y x= − ≥ 2y x= ≤ 2y x= − ≤ 2 2log 2 xy x −= + y x= − y y x= 12cot 5A = − cos A = 12 13 5 13 5 13 − 12 13 − 1 1 1 1ABCD A B C D− 1AA 2AB E 1AA BE 1CD （A） (B) (C) (D) （6） 已知向量 a = (2,1)， a·b = 10，︱a + b ︱= ，则︱b ︱= （A） （B） （C）5 （D）25 （7）设 则 （A） （B） （C） （D） （8）双曲线 的渐近线与圆 相切，则 r= （A） （B）2 （C）3 （D）6 （ 9 ） 若 将 函 数 的 图 像 向 右 平 移 个 单 位 长 度 后 ， 与 函 数 的图像重合，则 的最小值为 (A) (B) (C) (D) （10）甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有 （A）6 种 （B）12 种 （C）24 种 （D）30 种 （11）已知直线 与抛物线 C: 相交 A、B 两点，F 为 C 的焦点。 若 ,则 k= (A) (B) (C) (D) （12）纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现在沿该正 方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是 （A）南 （B）北 （C）西 （D）下 第Ⅱ卷（非选择题） 10 10 1 5 3 10 10 3 5 5 2 5 10 2lg , (lg ) , lg ,a e b e c e= = = a b c> > a c b> > c a b> > c b a> > 136 22 =− yx )0()3( 222 >=+− rryx 3 )0)(4tan( >+= ωπωxy 6 π )6tan( πω += xy ω 6 1 4 1 3 1 2 1 )0)(2( >+= kxky xy 82 = FBFA 2= 3 1 3 2 3 2 3 22 本卷共 10 小题，共 90 分。 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填写在答题卡上相应位置的横 线上. （13）设等比数列{ }的前 n 项和为 。若 ，则 = × （14） 的展开式中 的系数为 × （15）已知圆 O： 和点 A（1，2），则过 A 且与圆 O 相切的直线与两坐标轴围成 的三角形的面积等于 × （16）设 OA 是球 O 的半径，M 是 OA 的中点，过 M 且与 OA 成 45°角的平面截球 O 的表面 得到圆 C。若圆 C 的面积等于 ，则球 O 的表面积等于 × 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。解 答过程写在答题卡的相应位置。 （17）（本小题满分 10 分） 已知等差数列{ }中， 求{ }前 n 项和 . （18）（本小题满分 12 分） 设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c， , ，求 B. （19）（本小题满分 12 分） 如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB⊥AC,D、E 分别为 AA1、B1C 的中点，DE⊥平面 BCC1 （Ⅰ）证明：AB=AC （Ⅱ）设二面角 A-BD-C 为 60°,求 B1C 与平面 BCD 所成的角的大小 na ns 361 4,1 ssa == 4a 4)( xyyx − 33 yx 522 =+ yx 4 7π na ,0,16 6473 =+−= aaaa na ns 2 3cos)cos( =+− BCA acb =2 （20）（本小题满分 12 分） 某车间甲组有 10 名工人，其中有 4 名女工人；乙组有 10 名工人，其中有 6 名女工人。 现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取 4 名工人进行 技术考核。 （Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数； （Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率； （Ⅲ）求抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人的概率。 （21）（本小题满分 12 分） (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若当 x≥0 时，f(x)>0 恒成立，求 a 的取值范围。 （22）（本小题满分 12 分） （Ⅰ）求 a,b 的值； （Ⅱ）C 上是否存在点 P，使得当 l 绕 F 转到某一位置时，有 成立？ 若存在，求出所有的 P 的坐标与 l 的方程；若不存在，说明理由。 aaxxaxxf 244)1(3 1)( 23 +++−= )0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x 3 3 2 2 →→→ += OBOAOP 设函数 ，其中常数 a>1 已知椭圆 C: 的离心率为 ，过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 2 2两点，当 l 的斜率为 1 时，坐标原点 O 到 l 的距离为 2009 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案和评分参考 一．选择题 （1）C （2）B （3）A （4）D （5）C （6）C （7）B （8）A （9）D （10）C （11）D （12）B 二．填空题 （13）3 （14）6 （15） （16）8π 三．解答题 17． 解： 设 的公差为 ，则 即 解得 因此 （18）解： 由 cos（A C）+cosB= 及 B=π （A+C）得 cos（A C） cos（A+C）= ， cosAcosC+sinAsinC （cosAcosC sinAsinC）= , sinAsinC= . 又由 =ac 及正弦定理得 25 4 { }na d ( )( )1 1 1 1 2 6 16 3 5 0 a d a d a d a d  + + = − + + + = 2 2 1 1 1 8 12 16 4 a da d a d  + + = −  = − 1 18, 8 2, 2 a a d d = − =   = = −  或 ( ) ( ) ( ) ( )8 1 9 8 1 9n nS n n n n n S n n n n n= − + − = − = − − = − −，或 − 3 2 − − − 3 2 − − 3 2 3 4 2b 2sin sin sin ,B A C= 故 ， 或 （舍去）， 于是 B= 或 B= . 又由 知 或 所 以 B = 。 （19）解法一：（Ⅰ）取 BC 中点 F，连接 EF，则 EF ，从而 EF DA。 连接 AF，则 ADEF 为平行四边形，从而 AF//DE。又 DE⊥平面 ，故 AF⊥平面 ，从 而 AF⊥BC，即 AF 为 BC 的垂直平分线，所以 AB=AC。 （Ⅱ）作 AG⊥BD，垂足为 G，连接 CG。由三垂线定理知 CG⊥BD，故∠AGC 为二面角 A-BD-C 的 平面角。由题设知，∠AGC=600.. 设 AC=2，则 AG= 。又 AB=2，BC= ，故 AF= 。 由 得 2AD= ，解得 AD= 。 故 AD=AF。又 AD⊥AF，所以四边形 ADEF 为正方形。 因为 BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故 BC⊥平面 DEF，因此平面 BCD⊥平面 DEF。 连接 AE、DF，设 AE∩DF=H，则 EH⊥DF，EH⊥平面 BCD。 连接 CH，则∠ECH 为 与平面 BCD 所成的角。 因 ADEF 为正方形，AD= ，故 EH=1，又 EC= =2， 所以∠ECH=300，即 与平面 BCD 所成的角为 300. 解法二： 2 3sin 4B = 3sin 2B = 3sin 2B = − 3 π 2 3 π 2b ac= ab ≤ cb ≤ 3 π 1 2 1B B 1BCC 1BCC 2 3 2 2 2 AB AD AG BD⋅ = ⋅ 2 22 . 2 3 AD + 2 1B C 2 1 1 2 B C 1B C （Ⅰ）以 A 为坐标原点，射线 AB 为 x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系 A—xyz。 设 B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则 （1，0，2c）,E（ ， ，c）. 于是 =（ ， ，0）， =（-1，b,0）.由 DE⊥平面 知 DE⊥BC， =0，求 得 b=1，所以 AB=AC。 （Ⅱ）设平面 BCD 的法向量 则 又 =（-1，1， 0）， =（-1，0，c）,故 令 x=1, 则 y=1, z= , =(1,1, ). 又平面 的法向量 =（0，1，0） 由二面角 为 60°知， =60°， 故 °，求得 于是 ， ， ° 所以 与平面 所成的角为 30° （20）解： （I）由于甲、乙两组各有 10 名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取 4 名工人进行技术考核，则从每组各抽取 2 名工人。 （II）记 表示事件：从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人，则 （III） 表示事件：从甲组抽取的 2 名工人中恰有 名男工人， 表示事件：从乙组抽取的 2 名工人中恰有 名男工人， 表示事件：抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人。 1B 1 2 2 b DE → 1 2 2 b BC → 1BCC DE BC → → ⋅ ( , , ),AN x y z → = 0, 0.AN BC AN BD → → → → ⋅ = ⋅ = BC → 0=+− yx BD → 0=+− czx 1 c AN → 1 c ABD AC CBDA −− ACAN， 60cos⋅⋅=⋅ ACANACAN 2 1c = ），，（ 211=AN ），， 211(1 −=CB 2 1cos 1 1 1 = ⋅ ⋅= CBAN CBANCBAN， 601 =CBAN， CB1 BCD A 15 8)( 2 10 1 6 1 4 == C CCAP iA i 210 ，，=i jB j 210j ，，= B 与 独立， ，且 故 （21）解： （I） 由 知，当 时， ，故 在区间 是增函数； 当 时， ，故 在区间 是减函数； 当 时， ，故 在区间 是增函数。 综上，当 时， 在区间 和 是增函数，在区间 是减函 数。 （II）由（I）知，当 时， 在 或 处取得最小值。 由假设知 即 解得 1a 2′ xf )(xf )2,(−∞ ax 22 << 0)( <′ xf )(xf )2,2( a ax 2> 0)( >′ xf )(xf ),2( +∞a 1>a )(xf )2,(−∞ ),2( +∞a )2,2( a 0≥x )(xf ax 2= 0=x aaaaaaaf 2424)2)(1()2(3 1)2( 23 +⋅++−= aaa 2443 4 23 ++−= af 24)0( =    > > > ,0)0( ,0)2( 1 f af a       > >−+− > .024 ,0)6)(3(3 4 ,1 a aaa a a ( ),0,cF l Ocyx ,0=−− l 故 ， 由 得 ， = （Ⅱ）C 上存在点 ，使得当 绕 转到某一位置时，有 成立。 由 （Ⅰ）知 C 的方程为 + =6. 设 (ⅰ) 　C 成立的充要条件是 ， 且 整理得 故 ① 将 于是 , = , 代入①解得， ，此时 于是 = ， 即 因此， 当 时， ， ； 22 00 cc =−− 2 2 2 =c 1=c 3 3== a ce 3=a 22 cab −= 2 P l F OBOAOP += 22x 23y ).,(),,( 2211 yxByxA )1( −= xkylxl 的方程为轴时，设不垂直当 OBOAOPP +=使上的点 ）点的坐标为（ 2121 , yyxxP ++ 6)(3)(2 2 21 2 21 =+++ yyxx 6643232 2121 2 2 2 2 2 1 2 1 =+++++ yyxxyxyx 632,632 2 2 2 2 2 1 2 1 =+=+ yxyxCBA 上，即在、又 0332 2121 =++ yyxx 并化简得代入 ,632)1( 22 =+−= yxxky 0636)32( 2222 =−+−+ kxkxk 2 2 21 32 6 k kxx +=+ 21xx 2 2 32 63 k k + − 2 2 21 2 21 32 4)2)(1( k kxxkyy + −=−−= 22 =k 2 3 21 =+ xx )2( 2121 −+=+ xxkyy 2 k− )2,2 3( kP − 2−=k )2 2,2 3(P 022 =−+ yxl的方程为 当 时， ， 。 （ⅱ）当 垂直于 轴时，由 知，C 上不存在点 P 使 成立。 综上，C 上存在点 使 成立，此时 的方程为 2=k )2 2,2 3( −P 022 =−− yxl的方程为 l x )0,2(=+ OBOA OBOAOP += )2 2,2 3( ±P OBOAOP += l 022 =−± yx