山东省青岛市市北区中考数学一模试卷含答案解析

山东省青岛市市北区中考数学一模试卷含答案解析

‎2015年山东省青岛市市北区中考数学一模试卷 ‎　‎ 一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎1．﹣6的相反数是（　　）‎ A．6 B．﹣6 C．﹣ D．‎ ‎2．下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎3．直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（　　）‎ A．r＜6 B．r=6 C．r＞6 D．r≥6‎ ‎4．如图所示的几何体的俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．从青岛到济南有南线和北线两条高速公路，南线全长400千米，北线全长320千米．甲、乙两辆客车分别有南线和北线从青岛同时驶往济南，已知客车甲在南线高速公路上行驶的平均速度比客车乙在北线高速公路上快20千米/小时，两车恰好同时到达济南．若设客车乙从青岛到济南的平均速度是x千米/小时，则根据题意可得方程（　　）‎ A． = B． = C． +20= D． =‎ ‎6．如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=（　　）‎ A．2：5：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．4：10：25‎ ‎7．在同一直角坐标系中，函数y=kx2﹣k和y=kx+k（k≠0）的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎9．计算：﹣ +（π﹣3）0+=　　　　　　．‎ ‎10．2014年，青岛市全年全市实现生产总值（GDP）8692.1亿，这个数用科学记数法表示为　　　　　　．‎ ‎11．如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，△AOB的三个顶点都在格点上，以O为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，若把△AOB绕着点O顺时针旋转90°，得到△A1OB1，则点B旋转后的对应点B1的坐标为　　　　　　．‎ ‎12．如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分．已知抛物线的对称轴为x=2，它与x轴的一个交点是（﹣1，0）．则抛物线与x轴的另一个交点是　　　　　　；a+b+c　　　　　　0（填“＜或=或＞”）‎ ‎13．如图，在方格纸中，以每个小方格的边长为单位1，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，请你提供一个符合条件的点P，使△ABC与以E、P、D为顶点的三角形相似，则点P所在的格点坐标可以是　　　　　　．‎ ‎14．如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△BnCnMn的面积为Sn，则Sn=　　　　　　．（用含n的式子表示）‎ ‎　‎ 三、解答题（共10小题，满分78分）‎ ‎15．作图题 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．‎ 如图，已知△ABC，求作其外接圆的圆心．‎ ‎16．（1）化简：（1+）•‎ ‎（2）已知A（﹣4，﹣2）和B（a，4）是反比例函数y=的图象上的两点，求k值和点B的坐标．‎ ‎17．2011年北京春季房地产展示交易会期间，某公司对参加本次房交会的消费者的年收入和打算购买住房面积这两项内容进行了随机调查，共发放100份问卷，并全部收回．统计相关数据后，制成了如下的统计表和统计图：‎ 消费者年收入统计表 年收入（万元）‎ ‎4.8‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎24‎ 被调查的消费者数（人）‎ ‎10‎ ‎50‎ ‎30‎ ‎9‎ ‎1‎ 请你根据以上信息，回答下列问题：‎ ‎（1）补全统计表和统计图；‎ ‎（2）打算购买住房面积小于100平方米的消费者人数占被调查人数的百分比为　　　　　　；‎ ‎（3）求被调查的消费者平均每人年收入为多少万元？‎ ‎18．在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成16份），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券10元．‎ ‎（1）求每转动一次转盘所获购物券金额的平均数；‎ ‎（2）如果你在该商场消费125元，你会选择转转盘还是直接获得购物券？说明理由．‎ ‎19．如图，数学课外活动小组测电视塔AB的高度，他们在点C处测得塔顶B的仰角为45°，自C点沿AC方向前进40米到达点E，在点E处测得B的仰角为37°（A、C、E三点在一条直线上）．求电视塔的高度h．（结果精确到0.1米，参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）‎ ‎20．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．‎ ‎（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把化简后的结果填写在表格中：‎ 销售单价（元）‎ x 销售量y（件）‎ ‎　　　　　　‎ 销售玩具获得利润w（元）‎ ‎　　　　　　‎ ‎（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．‎ ‎21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE，与AC相交于点F．‎ ‎（1）求证：△ADE≌△CDE；‎ ‎（2）若∠B=30°，判断并证明四边形ADCE的形状．‎ ‎22．在一条笔直的公路上有A、B两地，甲骑自行车从A地到B地；乙骑自行车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回，如图是甲、乙两人离B地的距离y（km）与行驶时x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：‎ ‎（1）写出A、B两地之间的距离；‎ ‎（2）求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；‎ ‎（3）若两人之间保持的距离不超过3km时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围．‎ ‎23．如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，AB=a，CD=b（a≠b），点E、F分别是AD、BC上的点，且EF∥AB，设EF到CD、AB的距离分别为d1、d2．‎ ‎[初步尝试]‎ 小亮同学在对这一图形进行研究时，发现如下事实：‎ ‎（1）当=时，有EF=；‎ ‎（2）当=时，有EF=．‎ 该同学思考研究（2）的过程如下：‎ 作DG∥BC，交AB于G，作DM⊥AB于点M，交EF于点N．‎ 显然HF=CD=b，AG=AB﹣CD=a﹣b．‎ 易证，△DEH∽△DAG，可得=，‎ 即， =‎ 而由=，得==，‎ 代入上式，则=．‎ 解得EH=（a﹣b）‎ ‎∴EF=EH+HF=b+（a﹣b）=‎ ‎[类比发现]‎ 沿用上述图形和已知条件，请自主完成进一步的研究发现：‎ 当=时，EF=　　　　　　；‎ 当=时，EF=　　　　　　；‎ 当=时，EF=　　　　　　；‎ 当=时，EF=　　　　　　．（其中m、n均为正整数，下同）‎ ‎[推广证明]‎ 当=时，EF=　　　　　　；‎ 请证明你的结论．‎ ‎[实际应用]‎ 请结合所给情景，创设一个需要采用下面的全部信息求解的问题．‎ ‎[情景]‎ 如图2，有一块四边形耕地ABCD，AD∥BC，AD=100米，BC=300米，AB=500米，在AB上取点E，使AE=200米，以点E处为起点开挖平行于两底的水渠EF，与CD边相交于点F．‎ ‎[问题]‎ ‎　　　　　　？（提问即可，不必求解）‎ ‎24．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，CD⊥BC，AB=2，BC=CD=4，AC、BD交于点O，在线段BC上，动点M以每秒1个单位长度的速度从点C出发向点B做匀速运动，同时动点N从点B出发向点C做匀速运动，当点M、N其中一点停止运动时，另一点也停止运动，分别过点M、N做BC的垂线，分别交AC、BD于点E、F，连接EF．若运动时间为x秒，在运动过程中四边形EMNF总为矩形（点M、N重合除外）．‎ ‎（1）求点N的运动速度；‎ ‎（2）当x为多少时，矩形EMNF为正方形？‎ ‎（3）当x为多少时，矩形EMNF的面积S最大？并求出最大值．‎ ‎　‎ ‎2015年山东省青岛市市北区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎1．﹣6的相反数是（　　）‎ A．6 B．﹣6 C．﹣ D．‎ ‎【考点】相反数．‎ ‎【分析】根据只有符号不同的两数叫做互为相反数解答．‎ ‎【解答】解：实数﹣6的相反数是6．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了实数的性质，熟记相反数的定义是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【考点】中心对称图形；轴对称图形．‎ ‎【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．‎ ‎【解答】解：第一个图形，是轴对称图形但也是中心对称图形；‎ 第二个图形，是轴对称图形，不是中心对称图形；‎ 第三个图形，不是轴对称图形，是中心对称图形；‎ 第四个图形，是轴对称图形，也是中心对称图形．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．‎ ‎　‎ ‎3．直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（　　）‎ A．r＜6 B．r=6 C．r＞6 D．r≥6‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【专题】探究型．‎ ‎【分析】直接根据直线与圆的位置关系进行判断即可．‎ ‎【解答】解：∵直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离d=6，‎ ‎∴r＞6．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．直线l和⊙O相交⇔d＜r ‎　‎ ‎4．如图所示的几何体的俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单组合体的三视图．‎ ‎【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．‎ ‎【解答】解：从上面看是一个有直径的圆环，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形事俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图．‎ ‎　‎ ‎5．从青岛到济南有南线和北线两条高速公路，南线全长400千米，北线全长320千米．甲、乙两辆客车分别有南线和北线从青岛同时驶往济南，已知客车甲在南线高速公路上行驶的平均速度比客车乙在北线高速公路上快20千米/小时，两车恰好同时到达济南．若设客车乙从青岛到济南的平均速度是x千米/小时，则根据题意可得方程（　　）‎ A． = B． = C． +20= D． =‎ ‎【考点】由实际问题抽象出分式方程．‎ ‎【分析】设客车乙从青岛到济南的平均速度是x千米/小时，则客车甲从青岛到济南的平均速度是（x+20）千米/小时，根据题意可得，甲走400千米跟乙走320千米所用的时间相等，据此列方程即可．‎ ‎【解答】解：设客车乙从青岛到济南的平均速度是x千米/小时，则客车甲从青岛到济南的平均速度是（x+20）千米/小时，‎ 由题意得， =．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．‎ ‎　‎ ‎6．如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=（　　）‎ A．2：5：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．4：10：25‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的面积；平行四边形的性质．‎ ‎【专题】计算题；压轴题．‎ ‎【分析】根据平行四边形的性质求出DC=AB，DC∥AB，求出DE：AB=2：5，根据相似三角形的判定推出△DEF∽△BAF，求出△DEF和△ABF的面积比，根据三角形的面积公式求出△DEF和△EBF的面积比，即可求出答案．‎ ‎【解答】解：根据图形知：△DEF的边DF和△BFE的边BF上的高相等，并设这个高为h，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴DC=AB，DC∥AB，‎ ‎∵DE：EC=2：3，‎ ‎∴DE：AB=2：5，‎ ‎∵DC∥AB，‎ ‎∴△DEF∽△BAF，‎ ‎∴==， ==，‎ ‎∴====‎ ‎∴S△DEF：S△EBF：S△ABF=4：10：25，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积，平行四边形的性质的应用，关键是求出和的值，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，若两三角形不相似，求面积比应根据三角形的面积公式求．‎ ‎　‎ ‎7．在同一直角坐标系中，函数y=kx2﹣k和y=kx+k（k≠0）的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．‎ ‎【分析】可先根据一次函数的图象判断k的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．‎ ‎【解答】解：A、由一次函数y=kx+k的图象可得：k＞0，此时二次函数y=kx2﹣kx的图象应该开口向上，错误；‎ B、由一次函数y=kx+k图象可知，k＞0，此时二次函数y=kx2﹣kx的图象顶点应在y轴的负半轴，错误；‎ C、由一次函数y=kx+k可知，y随x增大而减小时，直线与y轴交于负半轴，错误；‎ D、正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查的是一次函数和二次函数的图象，应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标．‎ ‎　‎ ‎8．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理．‎ ‎【专题】几何综合题；压轴题．‎ ‎【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△ABG≌Rt△AFG；在直角△ECG中，根据勾股定理可证BG=GC；通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF；由于S△FGC=S△GCE﹣S△FEC，求得面积比较即可．‎ ‎【解答】解：①正确．‎ 理由：‎ ‎∵AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，‎ ‎∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；‎ ‎②正确．‎ 理由：‎ EF=DE=CD=2，设BG=FG=x，则CG=6﹣x．‎ 在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6﹣x）2+42=（x+2）2，‎ 解得x=3．‎ ‎∴BG=3=6﹣3=GC；‎ ‎③正确．‎ 理由：‎ ‎∵CG=BG，BG=GF，‎ ‎∴CG=GF，‎ ‎∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．‎ 又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；‎ ‎∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF，‎ ‎∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，‎ ‎∴AG∥CF；‎ ‎④错误．‎ 理由：‎ ‎∵S△GCE=GC•CE=×3×4=6‎ ‎∵GF=3，EF=2，△GFC和△FCE等高，‎ ‎∴S△GFC：S△FCE=3：2，‎ ‎∴S△GFC=×6=≠3．‎ 故④不正确．‎ ‎∴正确的个数有3个．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．‎ ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎9．计算：﹣ +（π﹣3）0+=　﹣2　．‎ ‎【考点】实数的运算；零指数幂．‎ ‎【分析】分别根据数的开方法则及0指数幂的运算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．‎ ‎【解答】解：原式=﹣6+1+3‎ ‎=﹣2．‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎【点评】本题考查的是实数的运算，熟知数的开方法则及0指数幂的运算法则是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．2014年，青岛市全年全市实现生产总值（GDP）8692.1亿，这个数用科学记数法表示为　8.6921×1011　．‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：将8692.1亿用科学记数法表示为：8.6921×1011．‎ 故答案为：8.6921×1011．‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎11．如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，△AOB的三个顶点都在格点上，以O为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，若把△AOB绕着点O顺时针旋转90°，得到△A1OB1，则点B旋转后的对应点B1的坐标为　（4，2）　．‎ ‎【考点】坐标与图形变化-旋转．‎ ‎【分析】作BC⊥y轴，B1D⊥x轴，根据△BOC≌△B1OD，求出OD、B1D的长，得到答案．‎ ‎【解答】解：如图，作BC⊥y轴，B1D⊥x轴，‎ 由题意得，△BOC≌△B1OD，‎ ‎∴OD=OC=4，B1D=BC=2，‎ ‎∴点B1的坐标为：（4，2），‎ 故答案为：（4，2）．‎ ‎【点评】本题考查的是旋转的旋转和三角形全等的性质，正确理解旋转的旋转中心、旋转角和旋转分析是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分．已知抛物线的对称轴为x=2，它与x轴的一个交点是（﹣1，0）．则抛物线与x轴的另一个交点是　（5，0）　；a+b+c　＜　0（填“＜或=或＞”）‎ ‎【考点】二次函数图象与系数的关系．‎ ‎【分析】根据抛物线的对称轴为x=2，它与x轴的一个交点是（﹣1，0），求出另一个交点；根据x=1时，y＜0，确定a+b+c的符号．‎ ‎【解答】解：∵对称轴为x=2，它与x轴的一个交点是（﹣1，0），‎ ‎∴另一个交点为（5，0），‎ ‎∵当x=1时，y＜0，‎ ‎∴a+b+c＜0．‎ 故答案为：（5，0）；＜．‎ ‎【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，灵活运用抛物线的对称性和抛物线上点的特点是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎13．如图，在方格纸中，以每个小方格的边长为单位1，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，请你提供一个符合条件的点P，使△ABC与以E、P、D为顶点的三角形相似，则点P所在的格点坐标可以是　（3，6）　．‎ ‎【考点】相似三角形的判定；坐标与图形性质．‎ ‎【分析】利用∠PDE=90°，=可判断△PDE∽△BAC，根据相似比计算出PD，从而得到一个符合条件的点P的坐标．‎ ‎【解答】解：AB=3，AC=4，∠BAC=90°，DE=4，‎ 若∠PDE=90°，=时，△PDE∽△BAC，即=，解得PD=6，‎ 此时P点坐标为（3，6），‎ 所以当点P坐标为（3，6）时，使△ABC与以E、P、D为顶点的三角形相似．‎ 故答案为（3，6）．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．也考查了坐标与图形性质．‎ ‎　‎ ‎14．如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△BnCnMn的面积为Sn，则Sn=　　．（用含n的式子表示）‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质．‎ ‎【专题】压轴题；规律型．‎ ‎【分析】由n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，即可求得△B1C1Mn的面积，又由BnCn∥B1C1，即可得△BnCnMn∽△B1C1Mn，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答案．‎ ‎【解答】解：∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，‎ ‎∴S1=×B1C1×B1M1=×1×=，‎ S△B1C1M2=×B1C1×B1M2=×1×=，‎ S△B1C1M3=×B1C1×B1M3=×1×=，‎ S△B1C1M4=×B1C1×B1M4=×1×=，‎ S△B1C1Mn=×B1C1×B1Mn=×1×=，‎ ‎∵BnCn∥B1C1，‎ ‎∴△BnCnMn∽△B1C1Mn，‎ ‎∴S△BnCnMn：S△B1C1Mn=（）2=（）2，‎ 即Sn： =，‎ ‎∴Sn=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及直角三角形面积的公式．此题难度较大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（共10小题，满分78分）‎ ‎15．作图题 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．‎ 如图，已知△ABC，求作其外接圆的圆心．‎ ‎【考点】作图—复杂作图；三角形的外接圆与外心．‎ ‎【专题】作图题．‎ ‎【分析】先分别作BC和AB的垂直平分线l、l′，直线l与l′相交于点O，然后以点O为圆心，OA为半径作⊙O即可．‎ ‎【解答】解：如图，点O为所求．‎ ‎【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．‎ ‎　‎ ‎16．（1）化简：（1+）•‎ ‎（2）已知A（﹣4，﹣2）和B（a，4）是反比例函数y=的图象上的两点，求k值和点B的坐标．‎ ‎【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；分式的混合运算．‎ ‎【分析】（1）先算括号里面的，再算乘法即可；‎ ‎（2）先根据点A在反比例函数y=的图象上求出k的值，再把点B（a，4）代入求出a的值即可．‎ ‎【解答】解：（1）原式=•‎ ‎=；‎ ‎（2）∵A（﹣4，﹣2）和B（a，4）是反比例函数y=的图象上的两点，‎ ‎∴﹣2=，解得k=8，‎ ‎∴反比例函数的解析式为y=，‎ ‎∴4=，解得a=2．‎ ‎【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混和运算的法则是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．2011年北京春季房地产展示交易会期间，某公司对参加本次房交会的消费者的年收入和打算购买住房面积这两项内容进行了随机调查，共发放100份问卷，并全部收回．统计相关数据后，制成了如下的统计表和统计图：‎ 消费者年收入统计表 年收入（万元）‎ ‎4.8‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎24‎ 被调查的消费者数（人）‎ ‎10‎ ‎50‎ ‎30‎ ‎9‎ ‎1‎ 请你根据以上信息，回答下列问题：‎ ‎（1）补全统计表和统计图；‎ ‎（2）打算购买住房面积小于100平方米的消费者人数占被调查人数的百分比为　52%　；‎ ‎（3）求被调查的消费者平均每人年收入为多少万元？‎ ‎【考点】频数（率）分布直方图；统计表；算术平均数．‎ ‎【专题】计算题；图表型．‎ ‎【分析】（1）被调查的100人减去其他收入的人数即可得到 年收入在6万元的人数；‎ ‎（2）用小于100的人数除以总人数即可得到小于100平米的所占比例；‎ ‎（3）用加权平均数计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）100﹣10﹣30﹣9﹣1=50人，‎ ‎∴年收入为6万元的有50人；‎ 如图；‎ ‎（2）由统计图可知打算购买住房面积小于100平方米的消费者人数为52人，‎ ‎∴52÷100=52%；‎ ‎（3）‎ ‎=7.5（万元）．‎ 故被调查的消费者平均每人年收入为7.5万元．‎ ‎【点评】本题考查了条形统计图的相关知识，解题的关键是根据条形统计图求出除去年收入在6万元以下的人数．‎ ‎　‎ ‎18．在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成16份），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券10元．‎ ‎（1）求每转动一次转盘所获购物券金额的平均数；‎ ‎（2）如果你在该商场消费125元，你会选择转转盘还是直接获得购物券？说明理由．‎ ‎【考点】概率的意义．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．‎ ‎【解答】解：（1）50×+30×+20×=11.875（元）；‎ ‎（2）∵11.875元＞10元，‎ ‎∴选择转转盘．‎ ‎【点评】关键是得到转一次转盘得到奖券的平均金额．‎ ‎　‎ ‎19．如图，数学课外活动小组测电视塔AB的高度，他们在点C处测得塔顶B的仰角为45°，自C点沿AC方向前进40米到达点E，在点E处测得B的仰角为37°（A、C、E三点在一条直线上）．求电视塔的高度h．（结果精确到0.1米，参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ ‎【分析】在Rt△ACB中，得到AC=AB=h，在Rt△AEB中，根据=tan37°，求出h即可．‎ ‎【解答】解：在Rt△ACB中，AC=AB=h，‎ 在Rt△AEB中， =tan37°，‎ 解得，≈，‎ 即h≈120.0米．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．‎ ‎　‎ ‎20．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．‎ ‎（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把化简后的结果填写在表格中：‎ 销售单价（元）‎ x 销售量y（件）‎ ‎　1000﹣10x　‎ 销售玩具获得利润w（元）‎ ‎　﹣10x2+1300x﹣30000　‎ ‎（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．‎ ‎【考点】一元二次方程的应用．‎ ‎【专题】销售问题．‎ ‎【分析】（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得y=600﹣（x﹣40）×10=1000﹣10x，利润=（1000﹣10x）（x﹣30）=﹣10x2+1300x﹣30000；‎ ‎（2）令﹣10x2+1300x﹣30000=10000，求出x的值即可；‎ ‎【解答】解：（1）‎ 销售单价（元）‎ x 销售量y（件）‎ ‎1000﹣10x 销售玩具获得利润w（元）‎ ‎﹣10x2+1300x﹣30000‎ ‎（2）﹣10x2+1300x﹣30000=10000，‎ 解之得：x1=50 x2=80，‎ 答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润．‎ ‎【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是得出W与x的函数关系．‎ ‎　‎ ‎21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE，与AC相交于点F．‎ ‎（1）求证：△ADE≌△CDE；‎ ‎（2）若∠B=30°，判断并证明四边形ADCE的形状．‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定．‎ ‎【分析】（1）根据直角三角形的性质和等边三角形的性质得到AE=EC，AD=CD，由全等三角形的判定定理SSS即可证得．‎ ‎（2）根据菱形的判定定理四条边相等的四边形是菱形证得．‎ ‎【解答】解：（1）∵E是AB中点，∠ACB=90°‎ ‎∴AE=EC，‎ ‎∵AD=CD，‎ 在△ADE与△CDE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ADE≌△CDE；‎ ‎（2）∵∠B=30°，‎ ‎∴∠BAC=60°，‎ ‎∴△ACE是等边三角形，‎ ‎∴AE=CE=AC，‎ ‎∵AC=AD=CD，‎ ‎∴AD=DC=CE=EA，‎ ‎∴四边形ADCE是菱形．‎ ‎【点评】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记定理是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．在一条笔直的公路上有A、B两地，甲骑自行车从A地到B地；乙骑自行车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回，如图是甲、乙两人离B地的距离y（km）与行驶时x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：‎ ‎（1）写出A、B两地之间的距离；‎ ‎（2）求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；‎ ‎（3）若两人之间保持的距离不超过3km时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围．‎ ‎【考点】一次函数的应用．‎ ‎【分析】（1）x=0时甲的y值即为A、B两地的距离；‎ ‎（2）根据图象求出甲、乙两人的速度，再利用相遇问题求出相遇时间，然后求出乙的路程即可得到点M的坐标以及实际意义；‎ ‎（3）分相遇前和相遇后两种情况求出x的值，再求出最后两人都到达B地前两人相距3千米的时间，然后写出两个取值范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）x=0时，甲距离B地30千米，‎ 所以，A、B两地的距离为30千米；‎ ‎（2）由图可知，甲的速度：30÷2=15千米/时，‎ 乙的速度：30÷1=30千米/时，‎ ‎30÷（15+30）=，‎ ‎×30=20千米，‎ 所以，点M的坐标为（，20），表示小时后两车相遇，此时距离B地20千米；‎ ‎（3）设x小时时，甲、乙两人相距3km，‎ ‎①若是相遇前，则15x+30x=30﹣3，‎ 解得x=，‎ ‎②若是相遇后，则15x+30x=30+3，‎ 解得x=，‎ ‎③若是到达B地前，则15x﹣30（x﹣1）=3，‎ 解得x=，‎ 所以，当≤x≤或≤x≤2时，甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系．‎ ‎【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，难点在于（3）要分情况讨论．‎ ‎　‎ ‎23．如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，AB=a，CD=b（a≠b），点E、F分别是AD、BC上的点，且EF∥AB，设EF到CD、AB的距离分别为d1、d2．‎ ‎[初步尝试]‎ 小亮同学在对这一图形进行研究时，发现如下事实：‎ ‎（1）当=时，有EF=；‎ ‎（2）当=时，有EF=．‎ 该同学思考研究（2）的过程如下：‎ 作DG∥BC，交AB于G，作DM⊥AB于点M，交EF于点N．‎ 显然HF=CD=b，AG=AB﹣CD=a﹣b．‎ 易证，△DEH∽△DAG，可得=，‎ 即， =‎ 而由=，得==，‎ 代入上式，则=．‎ 解得EH=（a﹣b）‎ ‎∴EF=EH+HF=b+（a﹣b）=‎ ‎[类比发现]‎ 沿用上述图形和已知条件，请自主完成进一步的研究发现：‎ 当=时，EF=　　；‎ 当=时，EF=　　；‎ 当=时，EF=　　；‎ 当=时，EF=　　．（其中m、n均为正整数，下同）‎ ‎[推广证明]‎ 当=时，EF=　　；‎ 请证明你的结论．‎ ‎[实际应用]‎ 请结合所给情景，创设一个需要采用下面的全部信息求解的问题．‎ ‎[情景]‎ 如图2，有一块四边形耕地ABCD，AD∥BC，AD=100米，BC=300米，AB=500米，在AB上取点E，使AE=200米，以点E处为起点开挖平行于两底的水渠EF，与CD边相交于点F．‎ ‎[问题]‎ ‎　水渠EF的长为多少米　？（提问即可，不必求解）‎ ‎【考点】相似形综合题．‎ ‎【专题】探究型．‎ ‎【分析】作DG∥BC，交AB于G，交EF于点H，作DM⊥AB于点M，交EF于点N，则有HF=GB=CD=b，AG=AB﹣CD=a﹣b．易证，△DEH∽△DAG，可得=，即=，然后根据的值求出的值，从而求出EH，进而可求出EF（即EH+HF）的值．由于在求EF的值时用到AD、BC、AE、BE（AB﹣AE），因而可提出“水渠EF的长为多少米？”这个问题．‎ ‎【解答】解：[类比发现]作DG∥BC，交AB于G，交EF于点H，作DM⊥AB于点M，交EF于点N．‎ 显然HF=GB=CD=b，AG=AB﹣CD=a﹣b．‎ 易证，△DEH∽△DAG，可得=，‎ 即=，‎ 而由=，得==，‎ 代入=，得=．‎ 解得：EH=（a﹣b），‎ ‎∴EF=EH+HF=（a﹣b）+b=．‎ 同理：当=时，EF=；‎ 当=时，EF=；‎ 当=时，EF=；‎ 故答案分别为：、、、；‎ ‎[推广证明]当=时，EF=．‎ 证明：作DG∥BC，交AB于G，交EF于点H，作DM⊥AB于点M，交EF于点N．‎ 则有HF=GB=CD=b，AG=AB﹣CD=a﹣b．‎ 易证，△DEH∽△DAG，可得=，‎ 即=，‎ 而由=，得=，‎ 代入=，得=．‎ 解得：EH=（a﹣b），‎ ‎∴EF=EH+HF=（a﹣b）+b=．‎ 故答案为：；‎ ‎[问题]水渠EF的长为多少米？‎ 故答案为：水渠EF的长为多少米？．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，突出了对提出问题的能力以及运用已有经验解决问题的能力的考查，正确的理解题意是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，CD⊥BC，AB=2，BC=CD=4，AC、BD交于点O，在线段BC上，动点M以每秒1个单位长度的速度从点C出发向点B做匀速运动，同时动点N从点B出发向点C做匀速运动，当点M、N其中一点停止运动时，另一点也停止运动，分别过点M、N做BC的垂线，分别交AC、BD于点E、F，连接EF．若运动时间为x秒，在运动过程中四边形EMNF总为矩形（点M、N重合除外）．‎ ‎（1）求点N的运动速度；‎ ‎（2）当x为多少时，矩形EMNF为正方形？‎ ‎（3）当x为多少时，矩形EMNF的面积S最大？并求出最大值．‎ ‎【考点】四边形综合题．‎ ‎【分析】（1）证明△EMC∽△ABC，由MC=x，得到EM=x，根据△BFN是等腰直角三角形，得到BN=FN=x，求出点N的运动速度；‎ ‎（2）根据当点M、N相遇时，MC=，从0＜x＜和＜x≤4两种情况进行讨论；‎ ‎（3）分别求出0＜x＜和＜x≤4时，矩形EMNF的面积的最大值，比较确定答案．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得：MC=x，‎ ‎∵AB⊥BC，EM⊥BC，‎ ‎∴AB∥EM，‎ ‎∴△EMC∽△ABC，‎ ‎∴=，‎ 即=，‎ ‎∴EM=x，‎ ‎∵四边形EMNF为矩形∴EM=FN=x，‎ ‎∵CD⊥BC，BC=CD，‎ ‎∴∠DBC=45°‎ ‎∴△BFN是等腰直角三角形，‎ ‎∴BN=FN=x，‎ 又∵=，‎ ‎∴点N的运动速度是每秒个单位长度．‎ ‎（2）当点M、N相遇时，有x+x=4，‎ 解得：x=，‎ 当点M到达点B时，点N停止运动，此时x=4．‎ 若矩形EMNF为正方形，则：FN=MN，‎ ‎①当0＜x＜时，FN=x，MN=4﹣x，‎ ‎∴x=4﹣x，‎ 解得：x=2，‎ ‎②当＜x≤4时，EM=4﹣x，‎ MN=x﹣（4﹣x）=x﹣4‎ ‎∴4﹣x=x﹣4，解得：x=，‎ 综上可得，当x=2或x=时，矩形EMNF为正方形．‎ ‎（3）①当0＜x＜时，S=x（4﹣x）=﹣（x﹣）2+，‎ ‎∴当x=时，S最大，最大值是．‎ ‎②当＜x≤4时，S=（4﹣x）（x﹣4）=﹣（x﹣）2+，‎ ‎∵抛物线开口向下，且对称轴为直线x=，‎ ‎∴当x=时，S最大，最大值是．‎ 综上可得，当x=时，矩形EMNF的面积S最大，最大值是．‎ ‎【点评】本题考查的是四边形知识的综合应用，掌握正方形的判定和二次函数的性质以及最值的求法是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．‎ ‎　‎