2018-2019学年湖北省宜昌市葛洲坝中学高二上学期期中考试数学（理）试题 Word版

2018-2019学年湖北省宜昌市葛洲坝中学高二上学期期中考试数学（理）试题 Word版

宜昌市葛洲坝中学2018-2019学年第一学期 高二年级期中考试试卷数学（理科）试题 ‎ 考试时间：2018年11月 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）‎ ‎1．设直线的倾斜角为，且，则满足（ ）‎ A. B． C． D． ‎2．用“辗转相除法”求得和的最大公约数是（ ）‎ A． B． C． D． ‎3．直线，当变动时，所有直线都通过定点（ ）‎ A． B． C． D． ‎4．圆关于原点对称的圆的方程为 ( )‎ ‎ A． B． C． D． ‎5．有件产品编号从到,现在从中抽取件检验,用系统抽样确定所抽取的编号为( )‎ A.5,10,15,20,25 B.5,15,20,35,40 C.10,20,30,40,50 D.5,11,17,23,29‎ ‎6．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：‎ ‎ 9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7 ‎ 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为 ( )‎ ‎ A． B． C． D． ‎7．圆在点处的切线方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎8．是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或 等于的颗粒物,也称为细颗粒物,一般情况下浓度(单位: )越大,大气环境质量越差.如图所示的是 宜昌市区甲、乙两个监测站某日内每日的浓度读数的茎叶图,则下列说法正确的是(   )‎ A.这10日内甲、乙监测站读数的极差相等 B.这10日内甲、乙监测站读数的中位数中,乙的较大 C.这10日内乙监测站读数的众数与中位数相等 D.这10日内甲、乙监测站读数的平均数相等 ‎9.点与圆上任一点连结的线段的中点的轨迹方程(   )‎ A. B. C. D. ‎10．两圆与的公共弦长等于(   )‎ A. B. C. D. ‎11.若实数满足则的取值范围为(  )‎ A. B. C. D. ‎12．已知点,，，直线将分割为面积相等的两部分，则的取值范围是(　　)‎ A.（0，） B. C. D.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. =__________.‎ ‎14．已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为____________．‎ ‎15．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为 .‎ ‎16.如图,已知直线与轴、轴分别交于,两点, 是以为圆心, 为半径的圆上一动点,连接,,则面积的最大值是 ‎ 第Ⅱ卷 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）‎ ‎17．（本题满分10分）‎ 在锐角中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边,且．‎ ‎(Ⅰ) 确定角C的大小;‎ ‎(Ⅱ) 若,且的周长为,求的面积．‎ ‎18．（本题满分12分）‎ 某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300)分组的频率分布直方图如图．‎ ‎(Ⅰ) 求直方图中x的值；‎ ‎(Ⅱ) 求月平均用电量的众数、中位数；‎ ‎(Ⅲ) 在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300)的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取多少户？‎ ‎19．（本题满分12分）‎ 如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；‎ ‎（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求二面角C-PB-A的余弦值.‎ ‎20．（本题满分12分）‎ 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据： ‎ ‎ ‎(Ⅰ) 画出数据对应的散点图；‎ ‎(Ⅱ) 求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；‎ ‎(Ⅲ)据(Ⅱ)的结果估计当房屋面积为时的销售价格.‎ 附：对于一组数据， ，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， ‎21．（本题满分12分）‎ 如图,在平面直角坐标系中,已知圆及点 ‎(Ⅰ)若直线平行于,与圆相交于两点, ,求直线的方程;‎ ‎(Ⅱ)在圆上是否存在点,使得若存在, 求点的个数;若不存在,说明理由.‎ ‎22．（本题满分12分）‎ 已知各项均为正数的数列,满足 且.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)设,若的前n项和为,求；‎ ‎(Ⅲ)在（2）的条件下,求使成立的正整数n的最小值．‎ 宜昌市葛洲坝中学2018-2019学年第一学期 高二年级期中考试试卷数学试题（理科） 答案 ‎1—12. BDBAC CDCAD AB ‎13. 14. ＋＝1 15. 9 16. ‎ ‎17．解：（1）因为，由正弦定理得，‎ 因为，所以.‎ 所以或. 因为是锐角三角形， 所以.‎ ‎（2）因为，且的周长为，所以a+b=5  ①‎ 由余弦定理得 ，即 ②‎ 由②变形得，所以ab=6，得.‎ ‎18. 解：(Ⅰ)由直方图的性质可得(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1，解方程可得x＝0.007 5.‎ ‎∴直方图中x的值为0.007 5；(2分)‎ ‎(Ⅱ)月平均用电量的众数是＝230，------(4分)‎ ‎∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45<0.5，‎ ‎∴月平均用电量的中位数在[220，240)内，‎ 设中位数为a，由(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a－220)＝0.5可得a＝224.‎ ‎∴月平均用电量的中位数为224；--------(6分)‎ ‎ (Ⅲ)月平均用电量为[220，240)的用户有0.012 5×20×100＝25，‎ 月平均用电量为[240，260)的用户有0.007 5×20×100＝15，‎ 月平均用电量为[260，280)的用户有0.005×20×100＝10，‎ 月平均用电量为[280，300)的用户有0.002 5×20×100＝5，‎ ‎∴抽取比例为＝，--------(11分)‎ ‎∴月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取25×＝5（户）．-------（12分）‎ ‎19. 证明：（Ⅰ）由AB是圆的直径，得，‎ ‎ 由平面ABC，平面ABC，得．‎ ‎ 又，平面PAC，平面PAC，‎ ‎ 所以平面PAC．‎ ‎ 因为平面PBC，‎ ‎ 所以平面PAC⊥平面PBC……………………………………………6分 ‎（Ⅱ）解法一：过C作CM//AP，则CM⊥平面ABC．‎ ‎ 如图（1），以点C为坐标原点，分别 以直线CB，CA，CM为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系．‎ 第18题图（1）‎ 在Rt△ABC中，因为AB=2，AC=1，‎ 所以． 又因为PA=1，所以A（0，1， 0），B（，0，0），P（0，1，1）．‎ 故．‎ 设平面BCP的法向量为，‎ 则所以 不妨令，则．‎ 因为 设平面ABP的法向量为，‎ 则所以 不妨令，则．‎ 于是．‎ 由图（1）知二面角C-PB-A为锐角， 故二面角C-PB-A的余弦值为…………………………12分 ‎ （Ⅱ）解法二：如图（2），过C作CM⊥AB于M，‎ ‎ 因为PA⊥平面ABC，平面ABC，‎ ‎ 所以PA⊥CM．‎ ‎ 又因为，且平面PAB，平面PAB，‎ ‎ 所以CM⊥平面PAB．‎ ‎ 过M作MN⊥PB于N，连接NC，‎ ‎ 由三垂线定理得CN⊥PB，‎ ‎ 所以∠CNM为二面角C-PB-A的平面角．‎ 在Rt△ABC中，由AB=2，AC=1，‎ 第18题图（2）‎ 得，，．‎ 在Rt△PAB中，由AB=2，PA=1，得．‎ 因为Rt△BNM∽Rt△BAP，‎ 所以，所以 所以在Rt△CNM中，，‎ 所以，‎ 所以故二面角C-PB-A的余弦值为…………………………12分 ‎20.（1）数据对应的散点图如图所示：‎ ‎ ‎（2），，‎ 设所求回归直线方程为，‎ 则， 故所求回归直线方程为 ‎（3）据（2），当时，销售价格的估计值为：‎ （万元）‎ ‎21. 解析：1.圆的标准方程为,‎ 所以圆心,半径为.‎ 因为,所以直线的斜率为,‎ 设直线的方程为,‎ 则圆心到直线的距离为 因为,‎ 而,所以,‎ 解得或,‎ 故直线的方程为或. 2.假设圆上存在点,设,则,,‎ 即,即,‎ 因为 所以圆与圆相交, 所以点的个数为 ‎22．解：（1）∵， ‎∵数列的各项均为正数，∴，‎ ‎∴，即 所以数列是以2为公比的等比数列.‎ ‎∵，∴数列的通项公式.‎ ‎（2）由（1）及得，，‎ ‎∵，‎ ‎∴①‎ ‎∴②‎ ‎②-①得 ‎（3）要使成立，只需成立，即，‎ ‎∴使成立的正整数n的最小值为5.‎ 附：双向细目表 高_二 _数学理_科期中考试命题双向细目表　‎ 题型 题号 考察知识点（非章节节点）‎ 预估难度系数 能力要求 分值 备注 ‎　‎ 了解识记 理解 掌握 灵活运用 选择题　‎ ‎　‎ ‎1　‎ 直线倾斜角月斜率　‎ ‎0.9‎ ‎√‎ ‎5　‎ ‎　‎ ‎2　‎ ‎　辗转相除法 ‎0.9‎ ‎√‎ ‎5　‎ ‎　‎ ‎3　‎ ‎　直线的定点问题 ‎0.9‎ ‎√‎ ‎5　‎ ‎　‎ ‎4　‎ ‎　圆的标准方程 ‎0.9‎ ‎√‎ ‎5　‎ ‎　‎ ‎5　‎ ‎　抽样方法 ‎0.9‎ ‎√‎ ‎5　‎ ‎　‎ ‎6　‎ 样本的数字特征　‎ ‎0.8‎ ‎√‎ ‎5　‎ ‎　‎ ‎7　‎ ‎　圆的切线问题 ‎0.7‎ ‎√‎ ‎5　‎ ‎　‎ ‎8　‎ 茎叶图 ‎0.8‎ ‎√‎ ‎5‎ ‎　‎ ‎9　‎ 求轨迹方程 ‎0.7‎ ‎√‎ ‎5‎ ‎　‎ ‎10　‎ 两圆的位置关系 ‎0.6‎ ‎√‎ ‎5‎ ‎　‎ ‎11　‎ 直线与圆的关系应用 ‎0.6‎ ‎√‎ ‎5‎ ‎　‎ ‎12　‎ 直线的特征量的理解应用 ‎0.4‎ ‎√‎ ‎5‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ 填空题　‎ ‎13　‎ k进制互化 ‎0.8‎ ‎√‎ ‎5‎ ‎　‎ ‎14　‎ 相切类求圆的方程 ‎0.7‎ ‎√‎ ‎5‎ ‎　‎ ‎15　‎ 程序框图 ‎0.7‎ ‎√‎ ‎5‎ ‎　‎ ‎16‎ 直线与圆的最值问题 ‎0.6‎ ‎√‎ ‎5‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ 解答题　‎ ‎17　‎ 解三角形 ‎0.7‎ ‎√‎ ‎10‎ ‎　‎ ‎18　‎ 频率分布直方图、抽样方法 ‎0. 8‎ ‎√‎ ‎12‎ ‎　‎ ‎19　‎ 线与面位置关系及计算 ‎0.7‎ ‎√‎ ‎12‎ ‎　‎ ‎20　‎ 回归直线方程 ‎0.8‎ ‎√‎ ‎12‎ ‎　‎ ‎21　‎ 直线与圆、圆与圆的位置关系 ‎0.7‎ ‎√‎ ‎12‎ ‎　‎ ‎22　‎ 数列通项、求和及应用 ‎0.6‎ ‎√‎ ‎12‎ ‎　‎ 整套试题的难度系数0.7‎ ‎　‎