2020-2021年新高三数学一轮复习考点：基本不等式

2020-2021年新高三数学一轮复习考点：基本不等式

2020-2021 年新高三数学一轮复习考点：基本不等式 基本不等式作为代数式求解最值问题的重要途径和方法，经常作为高考的命题点，常结合函数的基本性 质和导数等知识综合考查，多以选择题和填空题形式出现，难度中等。 考试要求 1.掌握基本不等式 ab≤a＋b 2 (a，b≥0)； 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 一、利用基本不等式求最值； 二、基本不等式的综合应用； 三、基本不等式的实际应用。 【易错警示】 1.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可. 2.对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数 y＝x＋m x(m>0)的单调性. 3．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积不一定有最大值．若这两个正数能相等，则这两个数的积 一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值． 4．函数 y＝x＋1 x的最小值一定不是 2，因为函数 y＝x＋1 x的定义域是{x|x≠0}，当 x<0 时，y<0，所以函数 y ＝x＋1 x无最小值． 利用基本不等式求最值 1．基本不等式： ab≤a＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)b a＋a b≥2(a，b 同号)． (3)ab≤   a＋b 2 2 (a，b∈R)． (4)a2＋b2 2 ≥   a＋b 2 2 (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为 a＝b. 3．算术平均数与几何平均数 设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为a＋b 2 ，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均 数不小于它们的几何平均数． 【知识拓展】 利用基本不等式求最值问题 已知 x>0，y>0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最小值 2 p.(简记：积定和最小) (2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值p2 4 .(简记：和定积最大) (1)前提：“一正”“二定”“三相等”． (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三 是消元法． 【典例】 命题点 1 配凑法 例 1 (1)已知 00， 则 f (x)＝4x－2＋ 1 4x－5＝－   5－4x＋ 1 5－4x ＋3≤－2＋3＝1，当且仅当 5－4x＝ 1 5－4x，即 x＝1 时，取等 号．故 f (x)＝4x－2＋ 1 4x－5的最大值为 1. (3)已知函数 f (x)＝－x2 x＋1(x<－1)，则( ) A．f (x)有最小值 4 B．f (x)有最小值－4 C．f (x)有最大值 4 D．f (x)有最大值－4 答案 A 解析 f (x)＝－x2 x＋1＝－x2－1＋1 x＋1 ＝－   x－1＋ 1 x＋1 ＝－   x＋1＋ 1 x＋1－2 ＝－(x＋1)＋ 1 －x＋1＋2. 因为 x<－1，所以 x＋1<0，－(x＋1)>0， 所以 f (x)≥2 1＋2＝4，当且仅当－(x＋1)＝ 1 －x＋1，即 x＝－2 时，等号成立． 故 f (x)有最小值 4. 命题点 2 常数代换法 例 2 若正数 m，n 满足 2m＋n＝1，则1 m＋1 n的最小值为( ) A．3＋2 2 B．3＋ 2 C．2＋2 2 D．3 答案 A 解析 因为 2m＋n＝1， 则1 m＋1 n＝ 1 m＋1 n ·(2m＋n)＝3＋n m＋2m n ≥3＋2 n m·2m n ＝3＋2 2， 当且仅当 n＝ 2m，即 m＝2－ 2 2 ，n＝ 2－1 时等号成立， 所以1 m＋1 n的最小值为 3＋2 2，故选 A. 命题点 3 消元法 例 3 已知 x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则 x＋3y 的最小值为________． 答案 6 解析 方法一 (换元消元法)由已知得 x＋3y＝9－xy， 因为 x>0，y>0，所以 x＋3y≥2 3xy，所以 3xy≤   x＋3y 2 2， 当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0， 令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0，得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6. 方法二 (代入消元法) 由 x＋3y＋xy＝9，得 x＝9－3y 1＋y ，所以 x＋3y＝9－3y 1＋y ＋3y＝9－3y＋3y1＋y 1＋y ＝9＋3y2 1＋y ＝31＋y2－61＋y＋12 1＋y ＝3(1＋y)＋ 12 1＋y－6≥2 31＋y·12 1＋y－6＝12－6＝6， 当且仅当 3(1＋y)＝ 12 1＋y，即 y＝1，x＝3 时取等号，所以 x＋3y 的最小值为 6. 基本不等式的综合应用 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. 3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件， 从而得参数的值或范围． 【易错警示】 连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致. 【典例】 命题点 1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题 例 4 设等差数列{an}的公差为 d，其前 n 项和是 Sn，若 a1＝d＝1，则Sn＋8 an 的最小值是________． 答案 9 2 解析 an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝n1＋n 2 ， 所以Sn＋8 an ＝ n1＋n 2 ＋8 n ＝1 2 n＋16 n ＋1 ≥1 2   2 n·16 n ＋1 ＝9 2， 当且仅当 n＝4 时取等号，所以Sn＋8 an 的最小值是9 2. 命题点 2 求参数值或取值范围 例 5 已知不等式(x＋y) 1 x＋a y ≥9 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最小值为( ) A．2 B．4 C．6 D．8 答案 B 解析 已知不等式(x＋y) 1 x＋a y ≥9 对任意正实数 x，y 恒成立，只要求(x＋y) 1 x＋a y 的最小值大于或等于 9， ∵1＋a＋y x＋ax y ≥a＋2 a＋1，当且仅当 y＝ ax 时，等号成立， ∴a＋2 a＋1≥9，∴ a≥2 或 a≤－4(舍去)，∴a≥4， 即正实数 a 的最小值为 4，故选 B. 基本不等式的实际应用 在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主 要有两种思路： (1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数 法、凑因子法、换元法、整体代换法等. (2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值. 利用基本不等式求解实际问题时根据实际问题抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等 式求得函数的最值． 【典例】 例 6 (1)某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万 元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是______． 答案 30 解析 一年的总运费为 6×600 x ＝3 600 x (万元)． 一年的总存储费用为 4x 万元． 总运费与总存储费用的和为 3 600 x ＋4x 万元． 因为3 600 x ＋4x≥2 3 600 x ·4 x＝240， 当且仅当3 600 x ＝4x，即 x＝30 时取得等号， 所以当 x＝30 时，一年的总运费与总存储费用之和最小． (2)某人准备在一块占地面积为 1 800 m2 的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为 1 m 的小 路(如图所示)，大棚总占地面积为 S m2，其中 a∶b＝1∶2，则 S 的最大值为________． 答案 1 568 解析 由题意可得 xy＝1 800，b＝2a，x>3，y>3， 则 y＝a＋b＋3＝3a＋3， 所以 S＝(x－2)a＋(x－3)b＝(3x－8)a ＝(3x－8)y－3 3 ＝1 808－3x－8 3y ＝1 808－3x－8 3×1 800 x ＝1 808－ 3x＋4 800 x ≤1 808－2 3x×4 800 x ＝1 808－240＝1 568， 当且仅当 3x＝4 800 x ，即 x＝40，y＝45 时等号成立，S 取得最大值， 所以当 x＝40，y＝45 时，S 取得最大值为 1 568.