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文档介绍
2018年湖北省荆州市高考数学一模试卷(理科)
2018年湖北省荆州市高考数学一模试卷(理科) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项正确. 1.(5分)已知集合A={x|≥0,x∈R},B={y|y=3x2+1,x∈R}.则A∩B=( ) A.∅ B.(1,+∞) C.[1,+∞) D.(﹣∞,0)∪(1,+∞) 2.(5分)下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是( ) A.y=ex B.y=tanx C.y=x3﹣x D.y=ln 3.(5分)已知角α的终边经过点P(﹣5,﹣12),则sin(+α)的值等于( ) A.﹣ B.﹣ C. D. 4.(5分)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5=3,a8=8,则a12的值是( ) A.15 B.30 C.31 D.64 5.(5分)若a,b,c为实数,下列结论正确的是( ) A.若a>b,c>d,则ac>bd B.若a<b<0,则 C.若a<b<0,则 D.若a>b>0,则a2>ab>b2 6.(5分)已知数列{an}是公差不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比数列{bn}的连续三项,则的值为( ) A. B.4 C.2 D. 7.(5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,,sinB=2sinC,则△ABC的面积是( ) A. B. C. D. 8.(5分)函数的图象大致为( ) A. B. C. D. 9.(5分)已知x、y满足约束条件,如果目标函数的取值范围为[0,2),则实数a的取值范围是( ) A.a≥1 B.a≤2 C.a<2 D.a<1 10.(5分)已知函数,若函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是( ) A. B. C. D. 11.(5分)定义在R上的函数f(x)满足f(x﹣3)=f(﹣x﹣3),且当x≤﹣3时,f(x)=ln(﹣x).若对任意x∈R,不等式f(sinx﹣t)>f(3sinx﹣1)恒成立,则实数t的取值范围是( ) A.t<﹣3或t>9 B.t<﹣1或t>3 C.﹣3<t<9 D.t<1或t>9 12.(5分)设函数f(x)=ex+1﹣ma,g(x)=aex﹣x(m,a为实数),若存在实数a,使得f(x)≤g(x)对任意x∈R恒成立,则实数m的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、填空题 13.(5分)计算定积分= . 14.(5分)已知实数a>0,b>0,是8a与2b的等比中项,则的最小值是 . 15.(5分)某商船在海上遭海盗袭扰,正以15海里/h的速度沿北偏东15°方向行驶,此时在其南偏东45°方向,相距20海里处的我海军舰艇接到命令,必须在80分钟内(含80分钟)追上商船为其护航.为完成任务,我海军舰艇速度的最小值为 (海里/h). 16.(5分)在数列{an}中,a1=1,n≥2时,an=an﹣1+n,若不等式对任意n∈N*恒成立,则实数λ的取值范围是 . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(12分)已知函数. (1)若f(x)=0,,求x的值; (2)将函数f(x)的图象向左平移个单位,再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,若曲线y=h(x)与y=g(x)的图象关于直线对称,求函数h(x)在上的值域. 18.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn+n=2an(n∈N*). (1)证明:数列{an+1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式; (2)若bn=nan+n,数列{bn}的前n项和为Tn,求满足不等式的n的最小值. 19.(12分)已知点O是等边△ABC内一点,BC=3,∠BOC=120°,设∠BCO=θ. (1)若AO=BO,求θ; (2)设△BOC与△AOC的面积差为S,求S关于θ的函数S(θ),那么θ取何值时,S(θ)有最大值?最大值是多少? 20.(12分)习总书记在十九大报告中明确指出,“要着力解决突出环境问题,坚持全民共治,源头防治,持续实施大气污染防治行动,打赢蓝天保卫战.”.为落实十九大报告精神,某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为:,x∈[0,24],其中a是与气象有关的参数,且. (1)令,x∈[0,24],求t(x)的最值; (2)若用每天f(x)的最大值作为当天的综合污染指数,市政府规定:每天的综合污染指数不得超过2.试问目前市中心的综合污染指数是否超标? 21.(12分)已知函数f(x)=ex﹣m﹣xlnx﹣(m﹣1)x,m∈R,f′(x)为函数f(x)的导函数. (1)若m=1,求证:对任意x∈(0,+∞),f′(x)≥0; (2)若f(x)有两个极值点,求实数m的取值范围. 选修4-4:坐标系与参数方程 22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数). (1)求曲线C的普通方程; (2)在以O为极点,x正半轴为极轴的极坐标系中,直线l方程为,已知直线l与曲线C相交于A、B两点,求|AB|. 选修4-5:不等式选讲 23.已知函数f(x)=|x﹣a|,不等式f(x)≤3的解集为[﹣6,0]. (1)求实数a的值; (2)若f(x)+f(x+5)≥2m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围. 2018年湖北省荆州市高考数学一模试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项正确. 1.(5分)已知集合A={x|≥0,x∈R},B={y|y=3x2+1,x∈R}.则A∩B=( ) A.∅ B.(1,+∞) C.[1,+∞) D.(﹣∞,0)∪(1,+∞) 【解答】解:∵集合A={x|≥0,x∈R}={x|x≤0或x>1}, B={y|y=3x2+1,x∈R}={y|y≥1}. ∴A∩B={x|y>1}=(1,+∞). 故选:B. 2.(5分)下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是( ) A.y=ex B.y=tanx C.y=x3﹣x D.y=ln 【解答】解:函数y=ex,不是奇函数,不满足题意; 函数y=tanx是奇函数,但在定义域内图象是不连续的,不是增函数,不满足题意; 函数y=x3﹣x是奇函数,当x∈(﹣,)时,y′=3x2﹣1<0为减函数,不满足题意; 函数y=ln是奇函数,在定义域(﹣2,2)上内函数为增函数, 外函数y=lnt也为增函数,故函数y=ln在定义域内为增函数,满足题意; 故选:D 3.(5分)已知角α的终边经过点P(﹣5,﹣12),则sin(+α)的值等于( ) A.﹣ B.﹣ C. D. 【解答】解:∵角α的终边经过点P(﹣5,﹣12),则sin(+α)=﹣cosα=﹣=, 故选:C. 4.(5分)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5=3,a8=8,则a12的值是( ) A.15 B.30 C.31 D.64 【解答】解:设等差数列{an}的公差为d,∵a3+a4+a5=3,a8=8, ∴3a4=3,即a1+3d=1,a1+7d=8, 联立解得a1=﹣,d= 则a12=﹣+×11=15. 故选:A. 5.(5分)若a,b,c为实数,下列结论正确的是( ) A.若a>b,c>d,则ac>bd B.若a<b<0,则 C.若a<b<0,则 D.若a>b>0,则a2>ab>b2 【解答】解:对于A:若a>0,b,c,d均小于0,则不正确, 对于B:若a<b<0,则a2>b2,则 >,即>,故B不正确, 对于C:若a<b<0,则<,即<,故C不正确, 对于D:若a>b>0,则a2>ab>b2,正确, 故选:D. 6.(5分)已知数列{an}是公差不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比数列{bn}的连续三项,则的值为( ) A. B.4 C.2 D. 【解答】解:数列{an}是公差d不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比数列{bn} 的连续三项, ∴=a1•a7,可得=a1(a1+6d),化为:a1=2d≠0. ∴公比q====2. 则==. 故选:A. 7.(5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,,sinB=2sinC,则△ABC的面积是( ) A. B. C. D. 【解答】解:∵,,sinB=2sinC,可得:b=2c.sinA==, ∴由a2=b2+c2﹣2bccosA,可得:8=4c2+c2﹣3c2,解得c=2,b=4. ∴S△ABC=bcsinA=×2×4×=. 故选:A. 8.(5分)函数的图象大致为( ) A. B. C. D. 【解答】解:函数是非奇非偶函数,排除A、B, 函数的零点是x=e﹣1,当x=e时,f(e)=,排除选项D. 故选:C. 9.(5分)已知x、y满足约束条件,如果目标函数的取值范围为[0,2),则实数a的取值范围是( ) A.a≥1 B.a≤2 C.a<2 D.a<1 【解答】解:x、y满足约束条件的可行域如图: 目标函数的取值范围为[0,2),说明可行域内的点与(a,﹣2)的连续的斜率的范围是[0,2), 直线2x﹣y﹣4=0的斜率为2; 由图形可知(a,﹣2)在BA的直线上,A的左侧, 所以a<1. 故选:D. 10.(5分)已知函数,若函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是( ) A. B. C. D. 【解答】解:f(x)=cosωx+sinωx=sin(ωx+). 令ωx+=kπ可得x=﹣+,k∈Z. 令π<﹣+<2π解得ω+<k<2ω+, ∵函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点, ∴区间(ω+,2ω+)内不存在整数. 又•≥2π﹣π=π,∴ω≤1, 又ω>0, ∴(ω+,2ω+)⊂(0,1)或(ω+,2ω+)⊂(1,2). ∴2ω+≤1或1≤ω+<2ω+≤2, 解得0<ω≤或≤ω≤. 故选C. 11.(5分)定义在R上的函数f(x)满足f(x﹣3)=f(﹣x﹣3),且当x≤﹣3时,f(x)=ln(﹣x).若对任意x∈R,不等式f(sinx﹣t)>f(3sinx﹣1)恒成立,则实数t的取值范围是( ) A.t<﹣3或t>9 B.t<﹣1或t>3 C.﹣3<t<9 D.t<1或t>9 【解答】解:∵f(x﹣3)=f(﹣x﹣3), ∴f(x)关于直线x=﹣3对称, 当x≤﹣3时,f(x)=ln(﹣x), 故f(x)在(﹣∞,﹣3]递减,在(﹣3,+∞)递增, 若对任意x∈R,不等式f(sinx﹣t)>f(3sinx﹣1)恒成立, 则或, 即1﹣t>2或1﹣t<﹣2, 解得:t<﹣1或t>3, 故选:B. 12.(5分)设函数f(x)=ex+1﹣ma,g(x)=aex﹣x(m,a为实数),若存在实数a,使得f(x)≤g(x)对任意x∈R恒成立,则实数m的取值范围是( ) A. B. C. D. 【解答】解:令h(x)=f(x)﹣g(x)=ex+1﹣ma﹣aex+x=(e﹣a)ex﹣ma+x, 则h′(x)=(e﹣a)ex+1, 若e﹣a≥0,可得h′(x)>0,函数h(x)为增函数,当x→+∞时,h(x)→+∞, 不满足h(x)≤0对任意x∈R恒成立; 若e﹣a<0,由h′(x)=0,得,则x=ln, ∴当x∈(﹣∞,ln)时,h′(x)>0,当x∈(ln,+∞)时,h′(x)<0, ∴==. 若f(x)≤g(x)对任意x∈R恒成立, 则≤0(a>e)恒成立, 若存在实数a,使得≤0成立, 则ma≥ln, ∴(a>e), 令F(a)=, 则F′(a)===. ∴当a<2e时,F′(a)<0,当a>2e时,F′(a)>0, 则. ∴m. 则实数m的取值范围是[). 故选:C. 二、填空题 13.(5分)计算定积分= e﹣1 . 【解答】解:=(ex)=e﹣1, 故答案为:e﹣1. 14.(5分)已知实数a>0,b>0,是8a与2b的等比中项,则的最小值是 5+2 . 【解答】解:实数a>0,b>0,是8a与2b的等比中项,∴8a•2b=2,∴23a+b=2,解得3a+b=1. 则=(3a+b)=5+≥5+2=5+2,当且仅当b=a=﹣2时取等号. 故答案为:. 15.(5分)某商船在海上遭海盗袭扰,正以15海里/h的速度沿北偏东15°方向行驶,此时在其南偏东45°方向,相距20海里处的我海军舰艇接到命令,必须在80分钟内(含80分钟)追上商船为其护航.为完成任务,我海军舰艇速度的最小值为 15 (海里/h). 【解答】解:设海盗袭扰处为C,我海军舰艇为A,B为商船, 由条件知∠ACB=120°,AC=20海里, 设我海军舰艇速度为x,可得BC=15×=20,AB=x, 由余弦定理AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos∠ACB. 得:(x)2=202+202﹣2×20×20cos120°, 解得:x=15, 故我海军舰艇速度的最小值为, 故答案为:15. 16.(5分)在数列{an}中,a1=1,n≥2时,an=an﹣1+n,若不等式对任意n∈N*恒成立,则实数λ的取值范围是 [2,+∞) . 【解答】解:在数列{an}中,a1=1,n≥2时,an=an﹣1+n,即an﹣an﹣1=n, ∴an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1 =n+(n﹣1)+…+2+1 =,(n=1时也成立). ∴an=. 不等式化为:λ>, 由于2>, 不等式对任意n∈N*恒成立, 则λ≥2. 则实数λ的取值范围是:[2,+∞). 故答案为:[2,+∞). 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(12分)已知函数. (1)若f(x)=0,,求x的值; (2)将函数f(x)的图象向左平移个单位,再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,若曲线y=h(x)与y=g(x)的图象关于直线对称,求函数h(x)在上的值域. 【解答】解:= =. (1)由f(x)=0,得, ∴, ∴,或,k∈Z. 又∵, ∴x=或0或; (2)将函数f(x)的图象向左平移个单位, 可得函数图象的解析式为y==2cos2x+1, 再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)=2cosx+1, 又曲线y=h(x)与y=g(x)的图象关于直线对称, ∴=2sinx+1, ∵x∈,∴sinx∈. 故函数h(x)的值域为(0,3]. 18.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn+n=2an(n∈N*). (1)证明:数列{an+1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式; (2)若bn=nan+n,数列{bn}的前n项和为Tn,求满足不等式的n的最小值. 【解答】(1)证明:当n=1时,a1+1=2a1,∴a1=1. ∵Sn+n=2an,n∈N*, ∴当n≥2时,Sn﹣1+n﹣1=2an﹣1, 两式相减得:an+1=2an﹣2an﹣1,即an=2an﹣1+1, ∴an+1=2(an﹣1+1), ∴数列{an+1}为以2为首项,2为公比的等比数列, ∴, 则,n∈N*; (2)解:∵, ∴, ∴, 两式相减得:, ∴, 由,得, 设, ∵>0, ∴数列{cn}为递增数列, ∵,, ∴满足不等式的n的最小值为11. 19.(12分)已知点O是等边△ABC内一点,BC=3,∠BOC=120°,设∠BCO=θ. (1)若AO=BO,求θ; (2)设△BOC与△AOC的面积差为S,求S关于θ的函数S(θ),那么θ取何值时,S(θ)有最大值?最大值是多少? 【解答】解:(1)∵OA=OB,CA=CB,∴△ACO≌△BCO. ∴, ∴∠BCO=θ=300. (4分) (2)在△BOC中,∠OBC=60°﹣θ, 由正弦定理有:,∴,(6分) 又;, ∴=3sin(600﹣θ)(sinθ﹣+) =9()() =9()=,θ∈(0,600)(10分) 故当2θ=900,即θ=450时S(θ)取得最大值.(12分) 20.(12分)习总书记在十九大报告中明确指出,“要着力解决突出环境问题,坚持全民共治,源头防治,持续实施大气污染防治行动,打赢蓝天保卫战.”.为落实十九大报告精神,某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为: ,x∈[0,24],其中a是与气象有关的参数,且. (1)令,x∈[0,24],求t(x)的最值; (2)若用每天f(x)的最大值作为当天的综合污染指数,市政府规定:每天的综合污染指数不得超过2.试问目前市中心的综合污染指数是否超标? 【解答】解:(1)由,x∈[0,24], 得, 令t′(x)≥0,得(x+2)(x﹣2)≤0,即0≤x≤2, 令t′(x)<0,得(x+2)(x﹣2)>0,即x>2, ∴t(x)在[0,2]上递增,在(2,+∞)上递减, ∴当x=0时,t(x)min=0;当x=2时,; (2)由(1), 令g(t)=f(x)=t•|t﹣a|+,t∈[0,], 则g(t)=, ∵g(t)在和上递增,在上递减, 且,g()=, , 令,解得; 令,解得0, ∴, ∵fmax(x)≤1, ∴目前市中心的综合污染指数没有超标. 21.(12分)已知函数f(x)=ex﹣m﹣xlnx﹣(m﹣1)x,m∈R,f′(x)为函数f(x)的导函数. (1)若m=1,求证:对任意x∈(0,+∞),f′(x)≥0; (2)若f(x)有两个极值点,求实数m的取值范围. 【解答】解:(1)m=1时,f(x)=ex﹣1﹣xlnx,f′(x)=ex﹣1﹣lnx﹣1 令G(x)=ex﹣1﹣x,则G′(x)=ex﹣1﹣1,当x>1时,G′(x)>0 当x<1时,G′(x)<0,故G(x)在(﹣∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 所以G(x)≥G(1)=0,即ex﹣1≥x(当且仅当x=1时取等号). 令j(x)=x﹣1﹣lnx(x>0),则j′(x)=,当0<x<1时,j′(x)<0, 当x>1时,j′(x)>0,故j(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 所以j(x)≥j(1)=0,即x≥lnx+1(当且仅当x=1时取等号). 当 f′(x)=ex﹣1﹣lnx﹣1≥x﹣(lnx+1)≥0(当且仅当x=1时取等号) 所以,∀x∈(0,+∞),f′(x)≥0;(4分) (2)f(x)有两个极值点,即f′(x)=ex﹣m﹣lnx﹣m有两个变号零点. ①当m≤1时,f′(x)=ex﹣m﹣lnx﹣m≥ex﹣1﹣lnx﹣1,由(1)知f′(x)≥0, 则f(x)在(0,+∞)上是增函数,无极值点; (6分) ②当m>1时,令g(x)=f′(x),则, ∵g′(1)=e1﹣m﹣1<0>0,且g′(x)在(0,+∞)上单增, ∴∃x0∈(1,m),使g′(x0)=0. 当x∈(0,x0)时,g′(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,g′(x)>0. 所以,g(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增. 则g(x)在x=x0处取得极小值,也即最小值g(x0)=.(8分) 由g′(x0)=0得m=x0+lnx0,则g(x0)=(9分) 令h(x)=(1<x<m)则,h(x)在(1,m)上单调递减, 所以h(x)<h(1)=0.即g(x0)<0,(10分) 又x→0时,g(x)→+∞,x→+∞时,g(x)→+∞,故g(x)在(0,+∞)上有 两个变号零点,从而f(x)有两个极值点.所以,m>1满足题意.(11分) 综上所述,f(x)有两个极值点时,m的取值范围是(1,+∞).(12分)(其他解法酌情给分) 选修4-4:坐标系与参数方程 22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数). (1)求曲线C的普通方程; (2)在以O为极点,x正半轴为极轴的极坐标系中,直线l方程为,已知直线l与曲线C相交于A、B两点,求|AB|. 【解答】解:(1)曲线C的参数方程为(α为参数). 由已知,整理得: 普通方程为, 化简得x2+y2=2. (2)由ρsin(﹣θ)+=0, 知,化为普通方程为x﹣y+=0 圆心到直线l的距离h=, 由垂径定理. 选修4-5:不等式选讲 23.已知函数f(x)=|x﹣a|,不等式f(x)≤3的解集为[﹣6,0]. (1)求实数a的值; (2)若f(x)+f(x+5)≥2m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围. 【解答】解:(1)由f(x)≤3,得|x﹣a|≤3, ∴a﹣3≤x≤a+3, 又f(x)≤3的解集为[﹣6,0], 解得:a=﹣3; (5分) (2)∵f(x)+f(x+5)=|x+3|+|x+8|≥5. 又f(x)+f(x+5)≥2m对一切实数x恒成立, ∴2m≤5, m≤(10分) 查看更多