2019年泄露天机高考押题卷 理科数学（一） 教师版

2019年泄露天机高考押题卷 理科数学（一） 教师版

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ 绝密 ★ 启用前 ‎2019年普通高等学校招生全国统一考试 理 科 数 学（一）‎ 注意事项：‎ ‎1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。‎ ‎2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。‎ ‎3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。‎ ‎4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，得，即，‎ 由，得，所以，所以，所以．故选B．‎ ‎2．若复数满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，得，所以，所以．‎ ‎3．从中任取一个，则直线被圆截得的弦长大于的概率 为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】所给圆的圆心为坐标原点，半径为，当弦长大于时，圆心到直线的距离小于，‎ 即，所以，故所求概率．‎ ‎4．《张丘建算经》是早于《九章算术》的我国另一部数学著作，在《算经》中有一题：某女子善于织布，一天比一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加（ ）‎ A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 ‎【答案】B ‎【解析】本题可以转为等差数列问题：已知首项，前项的和，求公差．‎ 由等差数列的前项公式可得，，解得．‎ ‎5．某兴趣小组合作制作了一个手工制品，并将其绘制成如图所示的三视图，其中侧视图中的圆的 半径为3，则制作该手工制品表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三视图可知，该手工制品是由两部分构成，每一部分都是相同圆锥的四分之一，‎ 且圆锥的底面半径为3，高为4，故母线长为5，故每部分的表面积为 ‎，故两部分表面积为．‎ ‎6．从某中学抽取100名学生进行阅读调查，发现每年读短篇文章量都在50篇至350篇之间，频率分布直方图如图所示，则对这100名学生的阅读量判断正确的为（ ）‎ A．的值为 B．平均数约为 C．中位数大约为 D．众数约为 ‎ 泄露天机·理科数学 第15页（共16页） 泄露天机·理科数学 第16页（共16页）‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，解得，故A错；‎ 由A可知，，所以平均数为 ‎，故B错误；‎ 居民月用电量在的频率为：，‎ 居民月用电量在的频率为：，‎ ‎∴这户居民月用电量的中位数大约为，故C正确；‎ 由频率分布直方图可知，众数大约为175，故D错误．‎ ‎7．已知的展开式中各项系数之和为0，则该展开式的常数项是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】令，则有，所以，‎ 又展开式的通项为，令，则常数项为，‎ 令，则常数项为，故展开式的常数项为．‎ ‎8．已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C．或 D．或 ‎【答案】D ‎【解析】当双曲线的焦点在轴上时，设的方程为，‎ 则其渐近方程为，所以，所以，所以；‎ 当双曲线的焦点在轴上时，设的方程为，则其渐近方程为，所以，所以，所以==，所以．‎ ‎9．已知正项数列为等比数列，为其前项和，且有，，则第2019项的个位数为（ ）‎ A．1 B．2 C．8 D．9‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，得，即，‎ 又，所以=180，从而，‎ 由，得，即，‎ 所以，所以，‎ 又，所以，代入，得，‎ 所以，故其个位数为8．‎ ‎10．已知函数的图象在处的切线与直线垂直．执行如图所示的程序框图，若输出的的值为15，则判断框中的值可以为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎ 泄露天机·理科数学 第15页（共16页） 泄露天机·理科数学 第16页（共16页）‎ ‎【解析】，则的图象在处的切线斜率，‎ 由于切线与直线垂直，则有，则，‎ 所以，所以，所以，由于输出的的值为15，故总共循环了15次，‎ 此时，故的值可以为．‎ ‎11．已知函数在上至少存在两个不同的满足，且函数在上具有单调性，和分别为函数图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（ ）‎ A．函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为 B．函数图象关于直线对称 C．函数图象关于点对称 D．函数在上是单调递减函数 ‎【答案】D ‎【解析】由于函数在上具有单调性，所以，即，‎ 所以，‎ 又由于函数在上至少存在两个不同的满足，‎ 所以，即，所以，故有，‎ 又和分别为函数图象的一个对称中心和一条对称轴，‎ 所以，，所以，，所以，‎ 故，‎ 又为函数图象的一个对称中心，所以，，‎ 所以，，‎ 又，所以，所以．‎ 由于函数的周期为，所以相邻两条对称轴之间的距离为，故A错误；‎ ‎，且，故B，C错误；‎ 由于函数的单调递减区间为，，当时，得其中的一个单调递减区间为，而，故D正确．‎ ‎12．已知函数在恒有，其中为函数的导数，若为锐角三角形的两个内角，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】令，则，‎ 由于，且，所以，故函数在单调递增．‎ 又为锐角三角形的两个内角，则，所以，‎ 即，所以，即，‎ 所以．‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．设满足约束条件，若目标函数的最大值与最小值之和为，则_______．‎ ‎【答案】‎ ‎ 泄露天机·理科数学 第15页（共16页） 泄露天机·理科数学 第16页（共16页）‎ ‎【解析】满足约束条件的可行域如下图：‎ 由，得，‎ 由，得，‎ 将目标函数化为，由图可知，当直线经过点时目标函数取得最小值，‎ 所以；‎ 当直线经过点B时目标函数取得最大值，所以，‎ 所以有，解得．‎ ‎14．，，，的夹角为，则与的夹角为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，所以，设与的夹角为，‎ 则，又因为，所以．‎ ‎15．在三棱锥中，，若平面平面，则三棱锥外接球的表面积为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】取的中点，的中点，连接，‎ 因为，所以是以为斜边的直角三角形，从而点为外接圆的圆心，‎ 又，所以是以为斜边的直角三角形，从而点为外接圆的圆心，‎ 又因为，所以，‎ 又平面平面，且平面平面，所以平面，‎ 所以点为三棱锥外接球的球心，所以外接球的半径，‎ 故外接球的表面积．‎ ‎16．已知抛物线，任意直线，已知直线交抛物线于，两点，为轴上的一点满足（点为坐标原点），则点的坐标为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，，，‎ 把代入抛物线方程得，‎ 所以，，‎ 因为，所以，即，‎ 即，‎ 所以，即，‎ 由于，所以，故．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知．‎ 求的值及角的取值范围．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】（1）∵，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，∴．‎ 如图，过点作，为垂足．‎ ‎ 泄露天机·理科数学 第15页（共16页） 泄露天机·理科数学 第16页（共16页）‎ 在中，，由题意可知，，‎ 所以有，从而，‎ 又因为，所以或，‎ 又，所以，即角的取值范围为．‎ ‎18．（12分）如图，在平面多边形中，，，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且，连接．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成二面角的余弦值．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】（1）在中，设，由余弦定理得，‎ ‎，‎ ‎∴，∴，即，‎ 又∵，∴平面，‎ 又∵平面，∴，‎ 又∵，∴平面，‎ 又∵平面，∴平面平面；‎ ‎（2）由（1）可知，直线两两垂直，故以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：‎ 设，‎ 则，，，‎ 从而，，‎ 设为平面的一个法向量，则，即，‎ 令，则，‎ 由（1）可知，轴平面，故平面的一个法向量，‎ ‎∴，即平面与平面所成二面角的余弦值为．‎ ‎19．（12分）某研究公司为了调查公众对某事件的关注程度，在某年的连续6个月内，月份和关注人数（单位：百）数据做了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．‎ ‎ 泄露天机·理科数学 第15页（共16页） 泄露天机·理科数学 第16页（共16页）‎ ‎（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明，并建立关于的回归方程；‎ ‎（2）经统计，调查材料费用（单位：百元）与调查人数满足函数关系，求材料费用的最小值，并预测此时的调查人数；‎ ‎（3）现从这6个月中，随机抽取3个月份，求关注人数不低于1600人的月份个数分布列与数学期望．‎ 参考公式：相关系数，若，则与的线性相关程度相当高，可用线性回归模型拟合与的关系．回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】（1），∴，‎ 又∵，，‎ ‎∴相关系数，‎ 由于关于的相关系数，‎ 这说明关于的线性相关程度相当高，可用线性回归模型拟合与的关系；‎ 又，且，‎ ‎∴，∴回归方程为．‎ ‎（2），即调查材料最低成本为1800元，此时，‎ 所以．‎ ‎（3）可能的取值为0，1，2，3，‎ 且；；；‎ ‎．‎ 所以的分布列为 所以．‎ ‎20．（12分）已知椭圆左、右焦点分别为、，上顶点为，离心率为，．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）直线与相切于点，直线过点经点被直线反射得反射光线．问：直线是否经过轴上一个定点？若经过，求出该点的坐标；若不经过，说明理由．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】（1）设，由题意得，，‎ 又，所以有，故的方程为．‎ ‎（2）当直线的斜率为0时，则直线与相切于短轴的一个顶点，由椭圆的对称性可知，直线经过轴上的点．‎ ‎ 泄露天机·理科数学 第15页（共16页） 泄露天机·理科数学 第16页（共16页）‎ 当直线斜率存在时，设其方程为，将代入，‎ 得，，‎ 整理得，从而，‎ 所以，即，所以．‎ 设关于直线的对称点为，则有，‎ 解得，即．‎ 所以．‎ 又，‎ 所以，即，，三点共线，所以直线经过点．‎ 当直线斜率不存在时，直线即为轴，也经过点．‎ 综上，直线经过轴上一个定点．‎ ‎21．（12分）已知函数．‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，令函数，当时，恒有，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】（1）．‎ ‎①当时，在上，，函数单调递减；在上，，函数单调递增；‎ ‎②当时，在上，，函数单调递增；在上，，函数单调递减．‎ 综上，当时，递减区间为，递增区间为；当时，递增区间为，递减区间为．‎ ‎（2），‎ ‎∵，∴，‎ 当时，由于，所以，即，‎ 当时，由于，所以，即，‎ 当时，，‎ 综上，当时，函数单调递增，‎ 所以由可得，即，‎ 等价于，即，‎ 令，，‎ 则，‎ 由，且，得，‎ 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．‎ 所以，‎ 所以，即的取值范围为．‎ 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ ‎22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程；‎ ‎ 泄露天机·理科数学 第15页（共16页） 泄露天机·理科数学 第16页（共16页）‎ ‎（2）已知，直线与曲线交于，两点，求的最大值．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】（1）∵，∴，‎ ‎∴，即．‎ ‎（2）将直线的参数方程（为参数）代入的普通方程，‎ 得，‎ 则，，‎ 所以，‎ 所以，即的最大值为．‎ ‎【选修4-5：不等式选讲】‎ ‎23．（10分）已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）设函数，若存在使成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】（1）当时，原不等式可化为，无解；‎ 当时，原不等式可化为，从而；‎ 当时，原不等式可化为，从而，‎ 综上，原不等式的解集为．‎ ‎（2）由得，‎ 又，‎ 所以，即，解得，‎ 所以的取值范围为．‎ ‎ 泄露天机·理科数学 第15页（共16页） 泄露天机·理科数学 第16页（共16页）‎