2017-2018学年河南省洛阳市高二上学期期末数学文试题（解析版）

2017-2018学年河南省洛阳市高二上学期期末数学文试题（解析版）

河南省洛阳市2017-2018学年高二上学期期末考试 ‎ 数学（文）试卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 命题：，的否定为（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】全称命题的否定为，换量词否结论，不变条件，即，。‎ 故答案为：C。‎ ‎2. 已知抛物线准线方程为，则其标准方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】抛物线准线方程为，则焦点在x轴上，故得到标准方程为，‎ 故答案为：C。‎ ‎3. 已知数列为等比数列，，则公比为（ ）‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】数列为等比数列，，根据等比数列的公式得到 ‎ 故答案为：C ‎4. 在中，所对的边分别为,若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】在△ABC中，∵sin2A+sin2C﹣sin2B=sinAsinC，‎ ‎∴利用正弦定理得：a2+c2﹣b2=ac，‎ ‎∴cosB=，∴B=，‎ 故答案为：。‎ ‎5. 已知数列的前项和，则它的第4项等于（ ）‎ A. 8 B. 4 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】数列的前项和， ‎ ‎ ‎ 故答案为：B。‎ ‎6. 已知双曲线：的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】双曲线：的渐近线方程为 ，故得到 ‎ 故答案为：D。‎ ‎7. 曲线在处的切线的斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵y=，‎ ‎∴ ‎ ‎∴。‎ 故答案为：B。‎ ‎8. 设数列为等差数列，则“”是“数列为递增数列”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】数列为等差数列，则“，故得到公差大于0，等差数列为递增；反之数列单调递增，则一定有。故“”是“数列为递增数列”的充要条件。‎ 故答案为:C.‎ ‎9. 在中，，若的最长边长为1，则其最短边长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵角B是三角形内角，‎ ‎∴sinB=，∴tanB=，‎ ‎∴tanC=tan（π﹣A﹣B）=﹣tan（A+B）= ‎ 记角A、B、C所对的边分别是a、b、c，∵C是三角形内角，∴∠C=135°，又由已知，A、B都是锐角，且tanA＞tanB，∴最长边c=1，最短边为b，‎ 由正弦定理： 得b= ‎ ‎∴最短边长为．‎ 故答案为：D。‎ ‎10. 已知，若恒成立，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，得 ‎ ‎ 作出可行域如图，‎ 令z=x﹣y，则使目标函数取得最大值的最优解为B（3，﹣7），‎ 此时z的最大值为10．‎ ‎∴x﹣y＜λ恒成立的λ的取值范围是[10，+∞）．‎ 故答案为：C。‎ ‎11. 已知抛物线：与点，过的焦点且斜率为的直线与交于两点，若，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】由抛物线C：y2=8x得焦点（2，0），‎ 由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），‎ 代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ ‎∴x1+x2=4+，x1x2=4．‎ ‎∴y1+y2=，y1y2=﹣16‎ 又，∴=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）= ‎ ‎∴k=2．‎ 故答案为：D。‎ ‎12. 已知函数的定义域为，其导函数为，且满足对恒成立，为自然对数的底数，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 与的大小不能确定 ‎【答案】A ‎【解析】设F（x）=，‎ ‎∵f′（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，‎ ‎∴F′（x）=＜0，‎ ‎∴F（x）在R上递减，‎ 且F（2017）>F（2018），‎ ‎∴F（2017）= 化简得到 .‎ 故答案为：A。‎ 点睛：本题考查抽象函数的单调性的综合应用，对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集。‎ 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知中心在坐标原点的椭圆的左焦点为，离心率为，则椭圆的标准方程为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】椭圆的左焦点为，故c=1, 离心率为则，根据椭圆中abc的关系得到 故椭圆方程为.‎ 故答案为：。‎ ‎14. 已知，则_______.‎ ‎【答案】-6‎ ‎【解析】已知，两边求导得到令x=2得到 故答案为：-6.‎ ‎15. 已知命题：函数在上单调递增，命题：不等式的解集为，若是真命题，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】若是真命题，则两者都是真命题，命题：函数在上单调递增，则命题：不等式的解集为，则 ‎ 两者取交集为，。‎ 故答案为：。‎ ‎16. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数的图象在点处的切线的斜率为3， ‎ 故得，， ‎ 故答案为：。‎ 点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。‎ 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17. 在锐角中，内角所对的边分别为，且.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据正弦定理得到，即；（2）由余弦定理得到，又因为，可解出未知量，进而求得面积。‎ 解析：‎ ‎（1）∵，∴，‎ 由正弦定理得，即.‎ ‎∵，∴.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴‎ 又，‎ ‎∴，，‎ ‎∴.‎ ‎18. 已知公差不为零的等差数列的前项和为，，又是与的等比中项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）8‎ 解析：‎ ‎（1）∵是与的等比中项，∴，‎ ‎∴，化简得 ‎∵，∴①‎ 又，②‎ 由①②得，∴.‎ ‎（2）‎ ‎∵，∴‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴的最小值为8.‎ ‎19. 已知函数（为自然对数的底数，），曲线在处的切线方程为.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）求函数在区间上的最大值.‎ ‎【答案】（1）,（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义，，解出方程即可；（2）对函数求导，研究函数的单调性，进而得到函数的最值。‎ 解析：‎ ‎（1）∵在处的切线方程为，‎ ‎∴过点，∴，‎ ‎∴.‎ 又，∴‎ 即 ‎（2）由（1）知，‎ 由得或，又 ‎∴由得或，‎ 由得，‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴极大值.‎ 又，∴.‎ ‎20. （1）已知焦点在轴上的双曲线的离心率为2，虚轴长为，求该双曲线的标准方程；‎ ‎（2）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，若的面积为4，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据双曲线的离心率为2，虚轴长为，这句话列出表达式，即可得到双曲线的方程；（2），FC为定值，联立直线和曲线得到二次方程，根据韦达定理，弦长公式，求出弦长，代入即可。‎ 解析：‎ ‎（1）∵双曲线的虚轴长为，∴，∴，‎ ‎∴双曲线的离心率为2，‎ ‎∴‎ 又，‎ ‎∴，‎ 所以双曲线的标准方程为.‎ ‎（2）∵抛物线的焦点为，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 由得，‎ 设，则，‎ 设直线与轴交于，则 ‎，‎ ‎∴，解得，∴.‎ 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）当时，证明方程在上无实根；‎ ‎（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）构造函数，研究这个函数的单调性和零点情况即可；（2）不等式等价于恒成立，研究右侧表达式的单调性和最值即可。‎ 解析：‎ ‎（1）时，令，‎ ‎，‎ ‎∴在上单调递增，‎ 又，∴，‎ ‎∴在上无实根.‎ ‎（2）若时，不等式恒成立，‎ 即恒成立，‎ 又时，，‎ ‎∴恒成立 令，则只需 当时，，‎ ‎∴在上单调递减，‎ ‎∴，实数的取值范围是.‎ 点睛：本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。‎ ‎22. 已知椭圆的焦点坐标为，且短轴的一个端点满足.‎ ‎（1）求椭圆的方程； ‎ ‎（2）如果过的直线与椭圆交于不同的两点，那么的内切圆半径是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时直线的方程，若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2），此时，即直线的方程为.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设椭圆方程，由焦点坐标可得，由 可得，又，由此可求椭圆方程；‎ ‎（2）设，不妨，设的内切圆的半径为，则的周长为8，，因此最大，就最大．设直线的方程为，与椭圆方程联立，从而可表示的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论 试题解析：（1）由题，设椭圆方程，不妨设，则，∴，故椭圆方程为．‎ ‎（2）设，不妨设，设的内切圆半径为，则的周长为8，面积，因此最大，就最大，由题知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，由得，则，‎ 令，则，则，令，则，当时，，在上单调递增，故有，即当时，，，这时所求内切圆面积的最大值为．‎ 故直线，内切圆面积的最大值为．‎ 考点：椭圆的简单性质，利用导数研究函数的性质 ‎【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，三角形面积的计算，以及利用导数研究函数的性质，属考中档题．解题过程中对学生分析解决问题的能力要求较高，解题的关键是分析得出要使最大，则就最大．‎