数学理卷·2018届新疆哈密地区二中高二下学期期中考试（2017-05）

数学理卷·2018届新疆哈密地区二中高二下学期期中考试（2017-05）

‎2016-2017学年第二学期高二（18）届数学理科 期中考试试卷 一．选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．在复平面内，复数z=对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．函数f（x）=2x﹣sinx的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．由抛物线y=x2﹣x，直线x=﹣1及x轴围成的图形的面积为（　　）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎4．已知函数f（x）=x﹣alnx，当x＞1时，f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（1，+∞） B．（﹣∞，1）‎ C．（e，+∞） D．（﹣∞，e）‎ ‎5．用数学归纳法证明，在验证当n=1等式成立时，其左边为（　　）‎ A．1 B．1+x C．1+x+x2 D．1+x+x2+x3‎ ‎6．5名上海世博会形象大使到香港、澳门、台湾进行世博会宣传，每个地方至少去一名形象大使，则不同的分派方法共有（　　） 种．‎ A．25 B．50 C．150 D．300‎ ‎7．某班有50名学生，一次考试的成绩ξ（ξ∈N）服从正态分布N（100，102）．已知P（90≤ξ≤100）=0.3，估计该班数学成绩在110分以上的人数为（　　）‎ A．10 B．20 C．30 D．40‎ ‎8．若关于x的不等式|x+1|+|x﹣2|+m﹣7＞0的解集为R，则实数m的取值范围为（　　）‎ A．（4，+∞） B．[4，+∞） C．（﹣∞，4） D．（﹣∞，4]‎ ‎9．从0，1，2，3，4这5个数字中选出4个不同的数字组成四位数，其中大于3200的数有（　　）‎ A．36个 B．30个 C．28个 D．24个 ‎10．在（x2+﹣4）3（x+3）的展开式中，常数项是（　　）‎ A．﹣480 B．﹣240 C．480 D．240‎ ‎11．已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品．需要从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设ξ为取出的次数，求P（ξ=4）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＜f′（x），且f（0）=2，则不等式的解集为（　　）‎ A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，2） D．（2，+∞）‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．3个猎人同时向一只兔子射击，他们射中的概率分别为0.6，0.5，0.4，问这只兔子被射中的概率为　　．‎ ‎14．有一个五边形ABCDE，若把顶点A，B，C，D，E涂上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻的顶点所涂的颜色不同，则共有　　种不同的涂色方法．‎ ‎15．如表是降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程=0.7+0.3，那么表中m的值为　　．‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2.5‎ m ‎4‎ ‎4.5‎ ‎16．如图所示，在边长为1的正方形OABC内任取一点P，用A表示事件“点P恰好取自由曲线与直线x=1及x轴所围成的曲边梯形内”，B表示事件“点P恰好取自阴影部分内”，则P（B|A）=　　．‎ ‎　‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎17．某校高2010级数学培优学习小组有男生3人女生2人，这5人站成一排留影．（用数字作答）‎ ‎（1）求其中的甲乙两人必须相邻的站法有多少种？‎ ‎（2）求其中的甲乙两人不相邻的站法有多少种？‎ ‎（3）求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少种？‎ ‎18．一个箱中原来装有大小相同的5个球，其中3个红球，2个白球．规定：进行一次操作是指“从箱中随机取出一个球，如果取出的是红球，则把它放回箱中；如果取出的是白球，则该球不放回，并另补一个红球放到箱中．”‎ ‎（1）求进行第二次操作后，箱中红球个数为4的概率；‎ ‎（2）求进行第二次操作后，箱中红球个数的分布列和数学期望．‎ ‎19．已知f（x）=x2﹣ax+lnx，a∈R．‎ ‎（1）若a=0，求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）若函数f（x）在[，1]上是增函数，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）令g（x）=x2﹣f（x），x∈（0，e]（e是自然对数的底数）；求当实数a等于多少时，可以使函数g（x）取得最小值为3．‎ ‎20．语文成绩服从正态分布N（100，17.52），数学成绩的频率分布直方图如图：‎ ‎（1）如果成绩大于135的为特别优秀，这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？‎ ‎（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有x人，求x的分布列和数学期望．‎ ‎（3）根据以上数据，是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．‎ ‎①若x～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜x≤μ+σ）=0.68，P（μ﹣2σ＜x≤μ+2σ）=0.96．‎ ‎②k2=；‎ ‎③‎ P（k2≥k0）‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎…‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎…‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10. 828‎ ‎21．已知函数f（x）=mln．x+nx在点（1．f（1））处的切线与直线x+y﹣2=0平行，且f（1）=﹣2，其中m，n∈R．‎ ‎（Ⅰ）求m，n的值，并求出函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）设函数，对于正实数t，若∃x0∈[1，e]，使得f（x0）+x0+x0≥g（x0）成立，求t的最大值．‎ ‎　22．已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．‎ ‎（1）求不等式f（x）＞0的解集；‎ ‎（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，求实数a的取值范围．‎ ‎2016-2017学年第二学期高二（18）届数学理科期中考试试卷答案 一．选择题（共12小题）‎ ‎1C. 2A．3B．4D．5C．6C．7A．8A．9A．10A．11B．12B．‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13　0.88 14．30　15．　2.8　16.　　．．‎ 三．解答题 ‎17．解：（1）把甲乙捆绑成一个整体与其余3人当着4个人作全排列有A44种，‎ 且甲、乙的位置还可以互换 ‎∴不同站法有A44•A22=48种．‎ ‎（2）除甲乙两人外其余3人的排列数为A33，‎ 而甲乙二人应插其余3人排好的空才不相邻；‎ 且甲、乙位置可以互换．故有C42A22种排列方式．‎ ‎∴不同站法有A33•C42A22=72种．‎ ‎（3）优先考虑甲：‎ 若甲站最右端，则乙与其余三人可任意排，则此时的排法数为A44种；‎ 若甲不站最右端，则先从中间3个位置中选一个给甲，‎ 再从除最右端的省余的3个位置给 乙，其余的三个人任意排，则此时的排法数为C31C31A33种；‎ ‎∴不同站法有A44+C31C31A33=78种．‎ ‎18解：（1）设A1表示事件“第一次操作从箱中取出的是红球”，‎ B1表示事件“第一次操作从箱中取出的是白球”，‎ A2表示事件“第二次操作从箱中取出的是红球”，‎ B2表示事件“第二次操作从箱中取出的是白球”．‎ 则A1B2表示事件“第一次操作从箱中取出的是红球，第二次操作从箱中取出的是白球”．‎ 由条件概率计算公式得P（A1B2）=P（A1）P（B2|A1）=．‎ B1A2表示事件“第一次操作从箱中取出的是白球，第二次操作从箱中取出的是红球”．‎ 由条件概率计算公式得P（B1A2）=P（B1）P（A2|B1）==．‎ A1B2+B1A2表示“进行第二次操作后，箱中红球个数为 4”，又A1B2与B1A2是互斥事件．‎ ‎∴P（A1B2+B1A2）=P（A1B2）+P（B1A2）=．‎ ‎（2）设进行第二次操作后，箱中红球个数为X，则X=3，4，5．‎ P（X=3）=，P（X=4）=，‎ P（X=5）=．‎ 进行第二次操作后，箱中红球个数X的分布列为：‎ 进行第二次操作后，箱中红球个数X的数学期望 EX==．‎ ‎　‎ ‎19．解：（1）a=0时，f（x）=x2+lnx，x＞0‎ ‎∴f′（x）=2x+，‎ ‎∴f′（1）=3，f（1）=1，‎ ‎∴数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为3x﹣y﹣2=0，‎ ‎（2）函数f（x）在[，1]上是增函数，‎ ‎∴f′（x）=2x﹣a+≥0，在[，1]上恒成立，‎ 即a≤2x+，在[，1]上恒成立，‎ 令h（x）=2x+≥2=2，当且仅当x=时，取等号，‎ ‎∴a≤2，‎ ‎∴a的取值范围为（﹣∞，2]‎ ‎（3）g（x）=x2﹣f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]．‎ ‎∴g′（x）=a﹣=（0＜x≤e），‎ ‎①当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，解得a=（舍去）；‎ ‎②当a＞0且＜e时，即a＞，g（x）在（0，）上单调递减，在（，e]上单调递增，‎ ‎∴g（x）min=g（）=1+lna=3，解得a=e2，满足条件；‎ ‎③当a＞0，且≥e时，即0＜a≤，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，解得a=（舍去）；‎ 综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时，g（x）有最小值3．‎ ‎　‎ ‎20．解：（1）∵语文成绩服从正态分布N（100，17.52），‎ ‎∴语文成绩特别优秀的概率为p1=P（X≥135）=（1﹣0.96）×=0.02，‎ 数学成绩特别优秀的概率为p2=0.0016×=0.024，‎ ‎∴语文特别优秀的同学有500×0.02=10人，‎ 数学特别优秀的同学有500×0.024=12人．‎ ‎（2）语文数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，‎ X的所有可能取值为0，1，2，3，‎ P（X=0）==，‎ P（X=1）==，‎ P（X=2）==，‎ P（X=3）==，‎ ‎∴X的分布列为：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E（X）=0×+1×+2×+3×=．‎ ‎（3）2×2列联表：‎ 语文特别优秀 语文不特别优秀 合计 数学特别优秀 ‎6‎ ‎6‎ ‎12‎ 数学不特别优秀 ‎4‎ ‎484‎ ‎488‎ 合计 ‎10‎ ‎490‎ ‎500‎ ‎∴k2=≈144.5＞6.635‎ ‎∴有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．‎ ‎　‎ ‎22．解：（1）函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=，令f（x）=0，求得x=﹣，或 x=3，‎ 故不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣，或x＞3}．‎ ‎（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，即f（x0）＜4a﹣2a2 有解，‎ 由（1）可得f（x）的最小值为f（）=﹣3•﹣1=﹣，故﹣＜4a﹣2a2 ，‎ 求得﹣＜a＜．‎ ‎　‎ ‎21．解：（Ⅰ）对f（x）求导，得，‎ 若f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y﹣2=0平行，‎ 则f'（1）=m+n=﹣1，又f（1）=n=﹣2，求得m=1．‎ 即m=1，n=﹣2，此时f（x）=lnx﹣2x，定义域为（0，+∞），‎ 对f（x）求导，得，‎ 由，求得，‎ 即f（x）的单调递增区间为．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=lnx﹣2x，‎ ‎∃x0∈[1，e]，使得f（x0）+x0≥g（x0）成立，‎ 等价于在区间[1，e]上有解，‎ 即x2﹣2x+t（lnx﹣x）≥0在区间[1，e]上有解，‎ 因为当x∈[1，e]时，Inx≤1≤x（不同时取等号），所以lnx﹣x＜0，‎ 于是x2﹣2x+t（lnx﹣x）≥0在区间[1，e]上有解，‎ 可转化为在区间[1，e]上有解．‎ 记，‎ 则，‎ 因为x∈[1，e]，则x+2＞2≥lnx，‎ 所以h'（x）≥0，即h（x）在[1，e]上单调递增，‎ 所以，‎ 可知，‎ 于是实数t的最大值为．‎