【数学】2019届一轮复习人教A版 平面向量的基本定理及坐标表示 学案

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第2讲　平面向量的基本定理及坐标表示 板块一　知识梳理·自主学习 ‎[必备知识]‎ 考点1　平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，称e1，e2为基底．若e1，e2互相垂直，则称这个基底为正交基底；若e1，e2分别为与x轴，y轴方向相同的两个单位向量，则称单位正交基底．‎ 考点2　平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，(x，y)叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．‎ 考点3　平面向量的坐标运算 ‎1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，‎ 则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，‎ a－b＝(x1－x2，y1－y2)，‎ λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.‎ ‎2．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则＝(x2－x1，y2－y1)，‎ ‎||＝.‎ 考点4　平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 ‎(1)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0；‎ ‎(2)若a≠0，则与a平行的单位向量为±.‎ ‎[必会结论]‎ ‎1．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.‎ ‎2．已知＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.以上三个条件任取两两组合，都可以得出第三个条件且λ＋μ＝1常被当作隐含条件运用．‎ ‎3．平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组．‎ ‎[考点自测]　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　)‎ ‎(2)若a，b不共线，且λ‎1a＋μ1b＝λ‎2a＋μ2b，则λ1＝λ2， ‎(　　)‎ ‎(3)在等边三角形ABC中，向量与的夹角为60°.(　　)‎ ‎(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　　)‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×‎ ‎2．[2018·郑州一模]设向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，若a，b方向相反，则实数x的值是(　　)‎ A．0 B．±‎2 C．2 D．－2‎ 答案　D 解析　由题意可得a∥b，所以x2＝4，解得x＝－2或2，又a，b方向相反，所以x＝－2.故选D.‎ ‎3．[课本改编]已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若＝‎3a，则点B 的坐标为(　　)‎ A．(7,4) B．(7,14) C．(5,4) D．(5,14)‎ 答案　D 解析　设点B的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－5)．由＝‎3a，得解得故选D.‎ ‎4．[2017·山东高考]已知向量a＝(2,6)，b＝(－1，λ)．若a∥b，则λ＝________.‎ 答案　－3‎ 解析　∵a∥b，∴2λ－6×(－1)＝0，解得λ＝－3.‎ ‎5．[2015·江苏高考]已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．‎ 答案　－3‎ 解析　∵ma＋nb＝(‎2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，‎ ‎∴∴∴m－n＝2－5＝－3.‎ 板块二　典例探究·考向突破 考向　平面向量基本定理的应用　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 例1　[2018·许昌联考]在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记，分别为a，b，则＝(　　)‎ A.a－b B.a＋b C．－a＋b D．－a－b 答案　B 解析　如图，设＝λ，‎ ＝μ.‎ 而＝＋＝－b＋λ＝－b＋λ，‎ ＝μ＝μ.‎ 因此，μ＝－b＋λ.‎ 由于a，b不共线，因此由平面向量的基本定理，得解之得λ＝，μ＝.‎ 故＝λ＝λ＝a＋b.故选B.‎ 触类旁通 应用平面向量基本定理表示向量的方法 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：‎ ‎(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止；‎ ‎(2)将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．‎ ‎【变式训练1】　如图，已知▱ABCD的边BC，CD 的中点分别是K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，.‎ 解　设＝x，＝y，则＝x，＝－y.‎ 由＋＝，＋＝，得 ‎①＋②×(－2)，得x－2x＝e1－2e2，即x＝－(e1－2e2)＝－e1＋e2，∴＝－e1＋e2.‎ 同理可得y＝(－2e1＋e2)，即 ＝－e1＋e2.‎ 考向　平面向量的坐标表示　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 例2　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝‎3c，＝－2b，‎ ‎(1)求‎3a＋b－‎3c；‎ ‎(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；‎ ‎(3)求M，N的坐标及向量的坐标．‎ 解　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．‎ ‎(1)‎3a＋b－‎3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)‎ ‎＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．‎ ‎(2)∵mb＋nc＝(－‎6m＋n，－‎3m＋8n)，‎ ‎∴解得 ‎(3)设O为坐标原点，∵＝－＝‎3c，‎ ‎∴＝‎3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．‎ ‎∴M(0,20)．又∵＝－＝－2b，‎ ‎∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，‎ ‎∴N(9,2)．∴＝(9，－18)．‎ 触类旁通 平面向量坐标运算的技巧 ‎(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．‎ ‎(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．‎ ‎【变式训练2】　[2018·山东日照一中月考]在△ABC中，点P在BC上，点Q是AC的中点，且＝2.若＝(4,3)，＝(1,5)，则等于(　　)‎ A．(－6,21) B．(－2,7)‎ C．(6，－21) D．(2，－7)‎ 答案　A 解析　由题知，－＝＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)．‎ 又因为点Q是AC的中点，所以＝.‎ 所以＝＋＝(1,5)＋(－3,2)＝(－2,7)．‎ 因为＝2，‎ 所以＝＋＝3＝3(－2,7)＝(－6,21)．故选A.‎ 考向　平面向量共线的坐标表示　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 例　3　[2018·正定检测]已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．‎ ‎(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；‎ ‎(2)若＝‎2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．‎ 解　(1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)，‎ ‎∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，‎ a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，‎ ‎∵ka－b与a＋2b共线，‎ ‎∴2(k－2)－(－1)×5＝0，∴k＝－.‎ ‎(2)＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)．‎ ＝(1,0)＋m(2,1)＝(‎2m＋1，m)．‎ ‎∵A，B，C三点共线，∴∥，‎ ‎∴‎8m－3(‎2m＋1)＝0，∴m＝.‎ 触类旁通 利用两向量共线解题的技巧 ‎(1)一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．‎ ‎(2)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，那么利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y‎1”‎解题比较方便．‎ ‎【变式训练3】　平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．‎ ‎(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；‎ ‎(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；‎ ‎(3)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d的坐标．‎ 解　(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，‎ ‎∴解得 ‎(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，‎ 由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，‎ 解得k＝－.‎ ‎(3)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，‎ 又a＋b＝(2,4)，|d－c|＝，‎ ‎∴解得或 ‎∴d的坐标为(3，－1)或(5,3)．‎ 核心规律 ‎1.‎ 平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．‎ ‎2.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而用向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题．‎ ‎3.在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．‎ 满分策略 ‎1.要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况．‎ ‎2.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.‎ ‎3.使用平面向量基本定理时一定要注意两个基向量不共线.‎ 板块三　启智培优·破译高考 创新交汇系列 4——坐标法求向量中的最值问题 ‎[2017·全国卷Ⅲ]在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　)‎ A．3 B．‎2 C. D．2‎ 解题视点　建立平面直角坐标系，求出A，B，C，D的坐标，用三角函数表示出点P的坐标，最后转化为三角函数的最值问题．‎ 解析　分别以CB，CD所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系，则A(2,1)，B(2,0)，D(0,1)．‎ ‎∵点P在以C为圆心且与BD相切的圆上，‎ ‎∴可设P.‎ 则＝(0，－1)，＝(－2,0)，‎ ＝.‎ 又＝λ＋μ，‎ ‎∴λ＝－sinθ＋1，μ＝－cosθ＋1，‎ ‎∴λ＋μ＝2－sinθ－cosθ＝2－sin(θ＋φ)，‎ 其中tanφ＝，∴(λ＋μ)max＝3.‎ 答案　A 答题启示　本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出λ＋μ的最大值.引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了解析法(坐标法)解决问题的优势，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础.‎ 跟踪训练 ‎[2018·湖南模拟]给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．‎ 解　以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，‎ 则A(1,0)，B.‎ 设∠AOC＝α，则C(cosα，sinα)，‎ 由＝x＋y，得 所以x＝cosα＋sinα，y＝sinα，‎ 所以x＋y＝cosα＋sinα＝2sin，‎ 又α∈，所以当α＝时，x＋y取得最大值2.‎ 板块四　模拟演练·提能增分 ‎ [A级　基础达标]‎ ‎1．[2018·东北三校联考]已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝，则P点的坐标为(　　)‎ A．(－8,1) B. C. D．(8，－1)‎ 答案　B 解析　设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)．‎ 而＝(－8,1)＝，‎ ‎∴解得 ‎∴P.故选B.‎ ‎2．已知平面向量a＝(1，－2)，b＝(2，m)，若a∥b，则‎3a＋2b＝(　　)‎ A．(7,2) B．(7，－14)‎ C．(7，－4) D．(7，－8)‎ 答案　B 解析　∵a∥b，∴m＋4＝0，∴m＝－4，∴b＝(2，－4)，∴‎3a＋2b＝3(1，－2)＋2(2，－4)＝(7，－14)．故选B.‎ ‎3．若AC为平行四边形ABCD的一条对角线，＝(3,5)，＝(2,4)，则＝(　　)‎ A．(－1，－1) B．(5,9)‎ C．(1,1) D．(3,5)‎ 答案　A 解析　由题意可得＝＝－＝(2,4)－(3,5)＝(－1，－1)．故选A.‎ ‎4．[2018·福建模拟]在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是(　　)‎ A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)‎ B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)‎ C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)‎ D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)‎ 答案　B 解析　若e1＝(0,0)，e2＝(1,2)，则e1∥e2，故a不能由e1，e2表示，排除A；若e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)，因为≠，所以e1，e2不共线，根据平面向量基本定理，可以把向量a＝(3,2)表示出来，C，D选项中e1，e2都为共线向量，故a不能由e1，e2表示．故选B.‎ ‎5．[2018·广西模拟]若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c＝(　　)‎ A．－a＋b B.a－b C.a－b D．－a＋b 答案　B 解析　设c＝λ‎1a＋λ2b，则(－1,2)＝λ1(1,1)＋λ2(1，－1)＝(λ1＋λ2，λ1－λ2)，∴λ1＋λ2＝－1，λ1－λ2＝2，解得λ1＝，λ2＝－，所以c＝a－b.故选B.‎ ‎6．已知O为坐标原点，且点A(1，)，则与同向的单位向量的坐标为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　与同向的单位向量a＝，又||＝‎ ＝2，故a＝(1，)＝.故选A.‎ ‎7．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是(　　)‎ A．k＝－2 B．k＝ C．k＝1 D．k＝－1‎ 答案　C 解析　若点A，B，C不能构成三角形，‎ 则向量，共线，‎ ‎∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，‎ ＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，‎ ‎∴1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1.故选C.‎ ‎8．若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________．‎ 答案　－ 解析　＝(a－1,3)，＝(－3,4)，据题意知∥，∴4(a－1)＝3×(－3)，即‎4a＝－5，∴a＝－.‎ ‎9．[2018·延安模拟]已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．‎ 答案　(2,4)‎ 解析　因为在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥CD，所以＝2.‎ 设点D的坐标为(x，y)，‎ 则＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)，‎ ＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，‎ 所以(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，‎ 所以解得故点D的坐标为(2,4)．‎ ‎10．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.‎ 答案　4‎ 解析　以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，‎ 则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，‎ ‎∴a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)．‎ ‎∵c＝λa＋μb，‎ ‎∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，‎ 即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3.‎ 解得λ＝－2，μ＝－，∴＝4.‎ ‎[B级　知能提升]‎ ‎1．[2018·广东七校联考]已知向量i，j不共线，且＝i＋mj，＝ni＋j，m≠1，若A，B，D三点共线，则实数m，n应满足的条件是(　　)‎ A．m＋n＝1 B．m＋n＝－1‎ C．mn＝1 D．mn＝－1‎ 答案　C 解析　因为A，B，D三点共线，所以∥，存在非零实数λ，使得＝λ，即i＋mj＝λ(ni＋j)，所以(1－λn)i＋(m－λ)j＝0，又因为i与j不共线，所以则mn＝1.故选C.‎ ‎2．[2018·枣庄模拟]在平面直角坐标系中，O为坐标原点，且满足＝＋，则的值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　由已知得，3＝2＋，‎ 即－＝2(－)，‎ 即＝2，如图所示，‎ 故C为BA的靠近A点的三等分点，因而＝.选B.‎ ‎3．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.‎ 答案　 解析　选择，作为平面向量的一组基底，则＝＋，＝＋，＝＋，又＝λ＋μ＝＋，‎ 于是得即故λ＋μ＝.‎ ‎4．[2018·杭州测试] 如图，以向量＝a，＝b为邻边作▱‎ OADB，＝，＝，用a，b表示，，.‎ 解　∵＝－＝a－b，＝＝a－b，‎ ‎∴＝＋＝a＋b.∵＝a＋b，‎ ‎∴＝＋＝＋＝＝a＋b，‎ ‎∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b.综上，＝a＋b，＝a＋b，＝a－b.‎ ‎5．[2018·衡水中学调研]如图，已知平面内有三个向量，‎ ，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．‎ 解　解法一：如图，作平行四边形OB1CA1，则＝＋，因为 eq o(OA,sup16(→))与的夹角为120°，与的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°.‎ 在Rt△OB‎1C中，∠OCB1＝30°，|OC|＝2，‎ 所以|OB1|＝2，|B‎1C|＝4，‎ 所以|OA1|＝|B‎1C|＝4，所以＝4＋2，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.‎ 解法二：以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(1,0)，B，C(3，)．由＝λ＋μ，‎ 得解得所以λ＋μ＝6.‎