2017-2018学年河北省邢台市高二上学期第三次月考数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年河北省邢台市高二上学期第三次月考数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年河北省邢台市高二上学期第三次月考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．命题“若，则”的逆否命题为（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】B ‎【解析】由题意得，命题“若，则”的逆否命题为“若，则”。选B。‎ ‎2．若直线与直线垂直，则的倾斜角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据垂直两直线斜率间的关系可得，直线的斜率为，故倾斜角为。选D。‎ ‎3．下列方程表示焦点在轴上且短轴长为的椭圆是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由条件得只有选项A中的椭圆满足短轴长为2，且焦点在y轴上。选A。‎ ‎4．如图，在四棱锥中， 平面，底面是梯形， ,且，则下列判断错误的是（ ）‎ A. 平面 B. 与平面所成的角为 C. D. 平面平面 ‎【答案】C ‎【解析】选项A中，由于， 平面， 平面，所以平面。故A正确。‎ 选项B中， 平面，所以即为与平面所成的角，又，因此，所以B正确。‎ 选项C中，由于根据条件无法得到平面，所以是错误的。故C不正确。‎ 选项D中，可证得平面，又 平面，所以平面平面，因此D正确。‎ 综上选C。‎ ‎5．设有下面四个命题：‎ 抛物线的焦点坐标为；‎ ‎，方程表示圆；‎ ‎，直线与圆都相交；‎ 过点且与抛物线有且只有一个公共点的直线有条.‎ 那么，下列命题中为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】对于：由题意可得，命题为真命题；‎ 对于：当时，方程为，表示圆，故命题为真命题；‎ 对于：由于直线过定点（3,2），此点在圆外，故直线与圆不一定相交，所以命题为假命题；‎ 对于：由题意得点在抛物线上，所以过该点与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条，一条是过该点的切线，一条是过该点且与对称轴平行的直线。所以命题为真。‎ 综上可得为真命题，选B。‎ ‎6．“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】∵。‎ ‎∴“”是“”的充分不必要条件。选A。‎ ‎7．若动圆与圆和圆 都外切，则动圆的圆心的轨迹（ ）‎ A. 是椭圆 B. 是一条直线 C. 是双曲线的一支 D. 与的值有关 ‎【答案】D ‎【解析】设动圆的半径为r，由两圆外切可得，‎ 所以.‎ ‎①当时，动圆的圆心的轨迹是直线。‎ ‎②当时，所以，此时动圆的圆心的轨迹是双曲线的一支。‎ 综上可得选D。‎ ‎8．当双曲线的离心率取得最小值时， 的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，当且仅当，即时等号成立。此时双曲线的方程为，所以渐近线方程为 ‎。选A。‎ ‎9．过抛物线的焦点作斜率大于的直线交抛物线于 两点（在的上方），且与准线交于点，若，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ‎ 如图，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为，设。‎ 由得，所以，整理得。选A。‎ ‎10．已知直线交椭圆于两点，且线段的中点为，则的斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设两点坐标分别为，则，将两式两边分别相减得 ‎，整理得，又，‎ 所以，即的斜率为。选B。‎ ‎11．在平面直角坐标系中，已知为函数图象上一点，‎ 若，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由得，所以函数图象为双曲线的上支，又点分别为双曲线的上、下焦点。‎ 由双曲线的定义得，又，所以。‎ 在中，由余弦定理得。选C。‎ 点睛：‎ 双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常涉及到正（余）弦定理、双曲线的定义、三角形的面积公式。解题中常用到定义式的平方，再结合余弦定理和三角形的面积公式求解。‎ ‎12．已知抛物线 上有一条长为的动弦，则弦的中点到 轴的最短距离为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得抛物线的准线的方程为，过A作于，过B作于，设弦AB的中点为M，过M作于，则，设抛物线的焦点为F，则，即（当且仅当三点共线时等号成立），所以，解得。即弦的中点到轴的最短距离为。选C。‎ 点睛：与抛物线有关的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由“点到点的距离”与“点到直线的距离”的转化．‎ ‎(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；‎ ‎(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决．‎ 二、填空题 ‎13．双曲线与双曲线有公共的渐近线，且过点，则的标准方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设的标准方程为，因为点在双曲线上，所以，故的标准方程为，即。‎ 答案： ‎ ‎14．若直线与圆相交于两点，则 __________．．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得直线方程即为，圆心到直线的距离 ‎，所以 ‎。‎ 答案： ‎ ‎15．如图， 是球的直径上一点，平面截球所得截面的面积为，平面， ，且点到平面的距离为1，则球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设球的半径为 且点 到平面 的距离为1， ∴球心 到平面的距离 为1， ∵截球所得截面的面积为 ， ∴截面圆的半径 为3， 故由R ∴球的表面积 点睛：本题考查的知识点是球的表面积公式，若球的截面圆半径为，球心距为，球半径为 ，则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理 ‎16．若分别是椭圆短轴上的两个顶点，点是椭圆上异于的任意一点，若直线与直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设点坐标为，则。‎ 由题意得，解得。‎ 所以椭圆的方程为，因此。‎ 答案： ‎ 点睛：求椭圆离心率或其范围的方法 ‎（1）根据题意求出的值，再由离心率的定义直接求解． ‎ ‎（2）由题意列出含有的方程(或不等式)，借助于消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．解题时要注意椭圆本身所含的一些范围的应用，如椭圆上的点的横坐标等。‎ 三、解答题 ‎17．已知； 方程表示焦点在轴上的椭圆.‎ ‎（1）当时，判断的真假；‎ ‎（2）若为假，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 真 (2) ‎ ‎【解析】试题分析：‎ 由题意可得当为真时，当为真时。（1）当时可得假真，故为真。（2）从为假的对立考虑，可得为真时，从而可得当为假时。‎ 试题解析：‎ 因为，‎ 所以若为真，则，‎ 由得，‎ 若为真，则，解得。‎ ‎（1）当时， 为假命题为真命题，故为真命题；‎ ‎（2）若为真，则 ，‎ 所以，若为假，则或，‎ 故实数的取值范围为.‎ ‎18．已知圆经过点.‎ ‎（1）若直线与圆相切，求的值；‎ ‎（2）若圆与圆无公共点，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 或. (2) ‎ ‎【解析】试题分析：‎ 由题意可得圆的方程为。（1）由圆心到直线的距离等于半径可得，解得或，即为所求。（2）由圆与圆无公共点可得两圆内含或外离，根据圆心距和两半径的关系得到不等式即可得到所求范围。‎ 试题解析：‎ 将点的坐标代入，‎ 可得，‎ 所以圆的方程为，即，‎ 故圆心为，半径.‎ ‎（1）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，‎ 即，‎ 整理得，‎ 解得或.‎ ‎（2）圆的圆心为，则,‎ 由题意可得圆与圆内含或外离，‎ 所以或，‎ 解得或.‎ 所以的取值范围为.‎ ‎19．已知椭圆的一个焦点为，设椭圆的焦点为椭圆 短轴的顶点，且椭圆过点.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆交于两点，求.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由题意得，设椭圆的方程为，则有，由椭圆过点可得，由以上两式解得即可得到的方程。（2）将直线方程、椭圆方程联立消元后得到，由弦长公式可得。‎ 试题解析：‎ ‎（1）由椭圆的一个焦点为，‎ 得.‎ 设椭圆的方程为，‎ 则，①‎ 又，②‎ 由①②解得，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）由，消去整理得，‎ 设，‎ 则，‎ 所以。‎ ‎20．如图，四边形是正四棱柱的一个截面，此截面与棱交于点 ， ,其中分别为棱上一点.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）为线段上一点，若四面体与四棱锥的体积相等，求的长.‎ ‎【答案】(1)见解析(2) ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由题意得，可得平面，从而，可证得平面，于是可得平面平面。（2）由题意可得四面体的体积. 取的中点，连，可得，又有，故平面。过作，交于，则平面，从而由可得，所以。‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：在正四棱柱中， 底面， 底面，‎ 所以，‎ 又，‎ 所以平面，‎ 又平面 所以，‎ 因为，‎ 所以平面，‎ 又平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎(2)解：在中， ,所以，‎ 因为，所以，‎ 因为，所以，‎ 又，所以，‎ 因为，所以，‎ 所以四面体的体积.‎ 取的中点，连，因为，所以，‎ 又平面，所以，‎ 所以平面,‎ 过作，交于，则平面，‎ 所以.‎ 故.‎ 又,‎ 所以.‎ ‎21．如图，椭圆的离心率为，且椭圆经过点 ‎，已知点，过点的动直线与椭圆相交于两点， 与关于轴对称.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）证明： 三点共线.‎ ‎【答案】(1) .(2)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由椭圆的离心率为，且过点及可得可组成关于的方程组，解方程组可得椭圆方程。（2）①当直线与轴垂直时，结论成立；②当直线的斜率存在时，设出直线的方程，与椭圆方程联立消元后得到二次方程，利用根据系数的关系并结合斜率公式可得，从而可得结论成立。‎ 试题解析：‎ ‎（1）解：由已知得，‎ 解得，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）证明：①当直线与轴垂直时，显然有三点共线。‎ ‎②当直线的斜率存在时，设直线的方程为 由，‎ 因为直线与椭圆交于A,B两点，‎ 所以，‎ 设的坐标分别为，‎ 则，‎ 因此， ‎ 易知点关于轴垂直的点的坐标为，‎ 又 ‎，‎ 所以，‎ 又， 有公共点，‎ 所以三点共线.‎ 点睛：‎ 圆锥曲线中的三点共线的问题可通过斜率公式证明，解题时先求出由三点确定的两条线段的斜率，通过两个斜率的相等，同时说明两条线段有公共点可得三点共线。另外利用向量的共线也可证明三点共线。‎ ‎22．已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线与抛物线交于两点，过这两点分别作抛物线的切线，且这两条切线相交于点.‎ ‎（1）若的坐标为，求的值；‎ ‎（2）设线段的中点为，点的坐标为，过的直线与线段为直径的圆相切，切点为，且直线与抛物线交于两点，证明： .‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由题意可得抛物线的方程为，设切线的方程为，将其代入抛物线方程可得，根据判别式为零可得，验证可得。（2）由条件得以线段为直径的圆为圆，只考虑斜率为正数的直线，因为为直线与圆的切点，所以， ，故。又直线的方程为，将其代入抛物线方程由代数法可得弦长，从而可得结论成立。‎ 试题解析：‎ ‎（1）由抛物线的焦点到准线的距离为，得，‎ 所以抛物线的方程为.‎ 设切线的方程为，‎ 由消去整理得，‎ 由得，‎ 当时，可得的横坐标为，则，‎ 当时，同理可得.‎ 综上可得。‎ ‎（2）由（1）知， ，‎ 所以以线段为直径的圆为圆，‎ 根据对称性，只要探讨斜率为正数的直线即可，‎ 因为为直线与圆的切点，‎ 所以， ，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以直线的方程为，‎ 由消去整理得，‎ 因为直线与抛物线交于两点，‎ 所以，‎ 设，‎ 则 所以，‎ 所以。‎ 点睛：‎ ‎（1）抛物线和的切线问题可通过判别式求解，同时也可利用导数的几何意义求解，解题时可选择合适的方法。‎ ‎（2）解决圆锥曲线中的证明问题时，可将证明的问题转化为长度或角度问题，然后利用代数方法，经过运算进行证明。‎