安徽省屯溪第一中学2018-2019学年高二上学期开学考试数学(理)试题

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安徽省屯溪第一中学2018-2019学年高二上学期开学考试数学(理)试题

屯溪一中高二年级开学考试数学试卷(理科)‎ 一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)‎ 1. 已知是奇函数,当时,当时,等于  ‎ A. B. C. D. ‎ 2. 已知偶函数在区间单调递增,则满足的x取值范围是  ‎ A. B. C. D. ‎ 3. 已知,,,则  ‎ A. B. C. D. ‎ 4. 若向量,满足,,,则与的夹角为  ‎ A. B. C. D. ‎ 5. 已知函数是上的偶函数,若对于,都有,且当时,,则的值为  ‎ A. B. C. 2 D. 1‎ 6. 已知等比数列中,,,则  ‎ A. 3 B. 15 C. 48 D. 63‎ 7. 已知是锐角,,且,则为  ‎ A. B. C. 或 D. 或 8. 的图象为  ‎ A. B. C. D. ‎ 9. 已知函数,若在区间上取一个随机数,则的概率是   ‎ A. B. C. D. ‎ 1. 若,,且,则的最小值是  ‎ A. 2 B. C. D. ‎ 2. 设x,y满足约束条件则的取值范围是  ‎ A. B. C. D. ‎ 3. 已知函数满足:,且当时,,那么方程的解的个数为  ‎ A. 1个 B. 8个 C. 9个 D. 10个 二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)‎ 4. 已知集合,若集合A中只有一个元素,则实数a的取值为______ .‎ 5. 已知向量,,则在方向上的投影等于______.‎ 6. 设的内角A,B,C的对边分别为a,b,若,,,则 ______ .‎ 7. 数列1,的前n项和为,则正整数n的值为______ .‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分)‎ 8. 已知等差数列的前n项和为,,. 求; 设数列的前n项和为,证明:. ‎ ‎ ‎ 1. 已知函数. 求的最小正周期; 求图象的对称轴方程和对称中心的坐标. ‎ ‎ ‎ 2. ‎20名学生某次数学考试成绩单位:分的频率分布直方图如图:Ⅰ求频率分布直方图中a的值;Ⅱ分别求出成绩落在与中的学生人数;Ⅲ从成绩在的学生任选2人,求此2人的成绩都在中的概率.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 1. 已知a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且满足. 求角A的大小; 若,,求的面积. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 1. 已知函数,且时,总有成立. 求a的值; 判断并证明函数的单调性; 求在上的值域. ‎ ‎ ‎ 2. 设函数,其中. 若,求函数在区间上的取值范围; 若 ‎,且对任意的,都有,求实数a的取值范围. 若对任意的,,都有,求t的取值范围. ‎ 一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)‎ 1. 已知是奇函数,当时,当时,等于  ‎ A. B. C. D. ‎ 解:当时,, 则. 又是R上的奇函数,所以当时. 故选项A正确. ‎ 2. 已知偶函数在区间单调递增,则满足的x取值范围是  ‎ A. B. C. D. ‎ 解:是偶函数,, 不等式等价为, 在区间单调递增, ,解得. 故选:A. ‎ 3. 已知,,,则  ‎ A. B. C. D. ‎ 解:, , , 综上可得:, 故选:A. ‎ 4. 若向量,满足,,,则与的夹角为  ‎ A. B. C. D. ‎ 解:设与的夹角为,, ,,, ,,, 故选:C. ‎ 1. 已知函数是上的偶函数,若对于,都有,且当时,,则的值为  ‎ A. B. C. 2 D. 1‎ 解:数是上的偶函数,且对于,都有, 又当时,, , 故选D. ‎ 2. 已知等比数列中,,,则  ‎ A. 3 B. 15 C. 48 D. 63‎ 解:,, , , . 故选C.‎ ‎ ‎ 3. 已知是锐角,,且,则为  ‎ A. B. C. 或 D. 或 解:根据题意,, 若,则有, 即有, 又由是锐角,则有, 即或, 则或, 故选C.‎ ‎ ‎ 1. 的图象为  ‎ A. B. C. D. ‎ 可知函数的定义域为:或,函数的图象关于对称. 由函数的图象,可知,A、B、D不满足题意. 故选:C. ‎ 2. 已知函数,若在区间上取一个随机数,则的概率是   ‎ A. B. C. D. ‎ 令,可得或,则,或,时,.所求概率为.故选C.‎ 1. 若,,且,则的最小值是  ‎ A. 2 B. C. D. ‎ 解: 当且仅当时,等号成立故选D ‎ 2. 设x,y满足约束条件则的取值范围是  ‎ A. B. C. D. ‎ 解:x,y满足约束条件的可行域如图: 目标函数,经过可行域的A,B时,目标函数取得最值, 由解得, 由解得, 目标函数的最大值为:2,最小值为:, 目标函数的取值范围:. 故选:B. ‎ 3. 已知函数满足:,且当时,,那么方程的解的个数为  ‎ A. 1个 B. 8个 C. 9个 D. 10个 解:函数满足:, 是周期为2的周期函数, 当时,, 作出和两个函数的图象,如下图: ‎ ‎ 结合图象,得:方程的解的个数为10个. 故选:D. ‎ 二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)‎ 1. 已知集合,若集合A中只有一个元素,则实数a的取值为______ .‎ 解:因为集合有且只有一个元素, 当时,只有一个解, 当时,一元二次方程只有一个元素则方程有重根,即即. 所以实数或. ‎ 2. 已知向量,,则在方向上的投影等于______.‎ 解:根据投影的定义可得:在方向上的投影为,. 故答案为: ‎ 3. 设的内角A,B,C的对边分别为a,b,若,,,则 ______ .‎ 解:, 或 当时,,,, 由正弦定理可得, 则 当时,,与三角形的内角和为矛盾 故答案为:1 ‎ 1. 数列1,的前n项和为,则正整数n的值为______ .‎ 解:由题意可知,数列的通项 故答案为9 ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共72.0分)‎ 2. 已知等差数列的前n项和为,,. 求; 设数列的前n项和为,证明:.‎ 解:设等差数列的公差为d, , ,, , ; 证明:, 则 .‎ 1. 已知函数. 求的最小正周期; 求图象的对称轴方程和对称中心的坐标.‎ 解:函数 , 的最小正周期为; 函数, 令,, 解得,, 图象的对称轴方程为:,; 再令,, 解得,, 图象的对称中心的坐标为,.‎ 2. ‎20名学生某次数学考试成绩单位:分的频率分布直方图如图:Ⅰ求频率分布直方图中a的值;Ⅱ分别求出成绩落在与中的学生人数;Ⅲ从成绩在的学生任选2人,求此2人的成绩都在中的概率.‎ 解:Ⅰ根据直方图知组距,由,解得.Ⅱ成绩落在中的学生人数为, 成绩落在中的学生人数为.Ⅲ记成绩落在中的2人为A,B,成绩落在中的3人为C,D,E,则成绩在的学生任选2人的基本事件有AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE共10个, 其中2人的成绩都在中的基本事件有CD,CE,DE共3个, 故所求概率为.‎ 1. 已知a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且满足. 求角A的大小; 若,,求的面积.‎ 解:,可得:, 由余弦定理可得:, 又, 由及正弦定理可得:, ,,由余弦定理可得:, 解得:,,‎ 2. 已知函数,且时,总有成立. 求a的值; 判断并证明函数的单调性; 求在上的值域.‎ 解:,,即,,. 函数为R上的减函数, 的定义域为 R, 任取,,且, ‎ ‎ ,. 即 函数为 R 上的减函数. 由知,函数在上的为减函数, , 即, 即函数的值域为 1. 设函数,其中. 若,求函数在区间上的取值范围; 若,且对任意的,都有,求实数a的取值范围. 若对任意的,,都有,求t的取值范围.‎ 解:因为, 所以在区间上单调减,在区间上单调增,且对任意的,都有, 若,则. 当时单调减,从而最大值,最小值. 所以的取值范围为; 当时单调增,从而最大值,最小值. 所以的取值范围为; 所以在区间上的取值范围为                     分 “对任意的,都有”等价于“在区间上,”. 若,则, 所以在区间上单调减,在区间上单调增. 当,即 时, 由,得, 从而 . 当,即时,由,得, 从而. 综上,a的取值范围为区间                             分 设函数在区间上的最大值为M,最小值为m, 所以“对任意的,,都有”等价于“”. 当时,,. 由,得. 从而 . 当时,,. 由,得 . 从而  . 当时,,. 由,得. 从而 . 当时,,. 由,得. 从而 . 综上,t的取值范围为区间                  ‎
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