安徽省屯溪第一中学2018-2019学年高二上学期开学考试数学（理）试题

安徽省屯溪第一中学2018-2019学年高二上学期开学考试数学（理）试题

屯溪一中高二年级开学考试数学试卷（理科）‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 已知是奇函数，当时，当时，等于　　‎ A. B. C. D. ‎ 2. 已知偶函数在区间单调递增，则满足的x取值范围是　　‎ A. B. C. D. ‎ 3. 已知，，，则　　‎ A. B. C. D. ‎ 4. 若向量，满足，，，则与的夹角为　　‎ A. B. C. D. ‎ 5. 已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为　　‎ A. B. C. 2 D. 1‎ 6. 已知等比数列中，，，则　　‎ A. 3 B. 15 C. 48 D. 63‎ 7. 已知是锐角，，且，则为　　‎ A. B. C. 或 D. 或 8. 的图象为　　‎ A. B. C. D. ‎ 9. 已知函数，若在区间上取一个随机数，则的概率是　　　‎ A. B. C. D. ‎ 1. 若，，且，则的最小值是　　‎ A. 2 B. C. D. ‎ 2. 设x，y满足约束条件则的取值范围是　　‎ A. B. C. D. ‎ 3. 已知函数满足：，且当时，，那么方程的解的个数为　　‎ A. 1个 B. 8个 C. 9个 D. 10个 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 4. 已知集合，若集合A中只有一个元素，则实数a的取值为______ ．‎ 5. 已知向量，，则在方向上的投影等于______．‎ 6. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，若，，，则 ______ ．‎ 7. 数列1，的前n项和为，则正整数n的值为______ ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ 8. 已知等差数列的前n项和为，，． 求； 设数列的前n项和为，证明：． ‎ ‎ ‎ 1. 已知函数． 求的最小正周期； 求图象的对称轴方程和对称中心的坐标． ‎ ‎ ‎ 2. ‎20名学生某次数学考试成绩单位：分的频率分布直方图如图：Ⅰ求频率分布直方图中a的值；Ⅱ分别求出成绩落在与中的学生人数；Ⅲ从成绩在的学生任选2人，求此2人的成绩都在中的概率．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 1. 已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且满足． 求角A的大小； 若，，求的面积． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 1. 已知函数，且时，总有成立． 求a的值； 判断并证明函数的单调性； 求在上的值域． ‎ ‎ ‎ 2. 设函数，其中． 若，求函数在区间上的取值范围； 若 ‎，且对任意的，都有，求实数a的取值范围． 若对任意的，，都有，求t的取值范围． ‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 已知是奇函数，当时，当时，等于　　‎ A. B. C. D. ‎ 解：当时，， 则． 又是R上的奇函数，所以当时． 故选项A正确． ‎ 2. 已知偶函数在区间单调递增，则满足的x取值范围是　　‎ A. B. C. D. ‎ 解：是偶函数，， 不等式等价为， 在区间单调递增， ，解得． 故选：A． ‎ 3. 已知，，，则　　‎ A. B. C. D. ‎ 解：， ， ， 综上可得：， 故选：A． ‎ 4. 若向量，满足，，，则与的夹角为　　‎ A. B. C. D. ‎ 解：设与的夹角为，， ，，， ，，， 故选：C． ‎ 1. 已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为　　‎ A. B. C. 2 D. 1‎ 解：数是上的偶函数，且对于，都有， 又当时，， ， 故选D． ‎ 2. 已知等比数列中，，，则　　‎ A. 3 B. 15 C. 48 D. 63‎ 解：，， ， ， ． 故选C．‎ ‎ ‎ 3. 已知是锐角，，且，则为　　‎ A. B. C. 或 D. 或 解：根据题意，， 若，则有， 即有， 又由是锐角，则有， 即或， 则或， 故选C．‎ ‎ ‎ 1. 的图象为　　‎ A. B. C. D. ‎ 可知函数的定义域为：或，函数的图象关于对称． 由函数的图象，可知，A、B、D不满足题意． 故选：C． ‎ 2. 已知函数，若在区间上取一个随机数，则的概率是　　　‎ A. B. C. D. ‎ 令，可得或，则，或，时，．所求概率为．故选C．‎ 1. 若，，且，则的最小值是　　‎ A. 2 B. C. D. ‎ 解： 当且仅当时，等号成立故选D ‎ 2. 设x，y满足约束条件则的取值范围是　　‎ A. B. C. D. ‎ 解：x，y满足约束条件的可行域如图： 目标函数，经过可行域的A，B时，目标函数取得最值， 由解得， 由解得， 目标函数的最大值为：2，最小值为：， 目标函数的取值范围：． 故选：B． ‎ 3. 已知函数满足：，且当时，，那么方程的解的个数为　　‎ A. 1个 B. 8个 C. 9个 D. 10个 解：函数满足：， 是周期为2的周期函数， 当时，， 作出和两个函数的图象，如下图： ‎ ‎ 结合图象，得：方程的解的个数为10个． 故选：D． ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 1. 已知集合，若集合A中只有一个元素，则实数a的取值为______ ．‎ 解：因为集合有且只有一个元素， 当时，只有一个解， 当时，一元二次方程只有一个元素则方程有重根，即即． 所以实数或． ‎ 2. 已知向量，，则在方向上的投影等于______．‎ 解：根据投影的定义可得：在方向上的投影为，． 故答案为： ‎ 3. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，若，，，则 ______ ．‎ 解：， 或 当时，，，， 由正弦定理可得， 则 当时，，与三角形的内角和为矛盾 故答案为：1 ‎ 1. 数列1，的前n项和为，则正整数n的值为______ ．‎ 解：由题意可知，数列的通项 故答案为9 ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）‎ 2. 已知等差数列的前n项和为，，． 求； 设数列的前n项和为，证明：．‎ 解：设等差数列的公差为d， ， ，， ， ； 证明：， 则 ．‎ 1. 已知函数． 求的最小正周期； 求图象的对称轴方程和对称中心的坐标．‎ 解：函数 ， 的最小正周期为； 函数， 令，， 解得，， 图象的对称轴方程为：，； 再令，， 解得，， 图象的对称中心的坐标为，．‎ 2. ‎20名学生某次数学考试成绩单位：分的频率分布直方图如图：Ⅰ求频率分布直方图中a的值；Ⅱ分别求出成绩落在与中的学生人数；Ⅲ从成绩在的学生任选2人，求此2人的成绩都在中的概率．‎ 解：Ⅰ根据直方图知组距，由，解得．Ⅱ成绩落在中的学生人数为， 成绩落在中的学生人数为．Ⅲ记成绩落在中的2人为A，B，成绩落在中的3人为C，D，E，则成绩在的学生任选2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个， 其中2人的成绩都在中的基本事件有CD，CE，DE共3个， 故所求概率为．‎ 1. 已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且满足． 求角A的大小； 若，，求的面积．‎ 解：，可得：， 由余弦定理可得：， 又， 由及正弦定理可得：， ，，由余弦定理可得：， 解得：，，‎ 2. 已知函数，且时，总有成立． 求a的值； 判断并证明函数的单调性； 求在上的值域．‎ 解：，，即，，． 函数为R上的减函数， 的定义域为 R， 任取，，且， ‎ ‎ ，． 即 函数为 R 上的减函数． 由知，函数在上的为减函数， ， 即， 即函数的值域为 1. 设函数，其中． 若，求函数在区间上的取值范围； 若，且对任意的，都有，求实数a的取值范围． 若对任意的，，都有，求t的取值范围．‎ 解：因为， 所以在区间上单调减，在区间上单调增，且对任意的，都有， 若，则． 当时单调减，从而最大值，最小值． 所以的取值范围为； 当时单调增，从而最大值，最小值． 所以的取值范围为； 所以在区间上的取值范围为                     分 “对任意的，都有”等价于“在区间上，”． 若，则， 所以在区间上单调减，在区间上单调增． 当，即 时， 由，得， 从而 ． 当，即时，由，得， 从而． 综上，a的取值范围为区间                             分 设函数在区间上的最大值为M，最小值为m， 所以“对任意的，，都有”等价于“”． 当时，，． 由，得． 从而 ． 当时，，． 由，得 ． 从而  ． 当时，，． 由，得． 从而 ． 当时，，． 由，得． 从而 ． 综上，t的取值范围为区间                  ‎