2019-2020学年江西省抚州市八年级上学期期末数学试卷 (解析版)

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2019-2020学年江西省抚州市八年级上学期期末数学试卷 (解析版)

‎2019-2020学年江西省抚州市八年级(上)期末数学试卷 一、选择题 ‎1.下列各数中,无理数的是(  )‎ A.(3﹣π)0 B.3.1010010001 ‎ C. D.‎ ‎2.如图,将一张长方形纸片对折,再对折,然后沿第三个图中的虚线剪下,将纸片展开,得到一个四边形,这个四边形的面积是(  )‎ A.8cm2 B.16cm2 C.18cm2 D.20cm2‎ ‎3.下列命题是真命题的是(  )‎ A.同位角相等 ‎ B.对顶角互补 ‎ C.如果两个角的两边互相平行,那么这两个角相等 ‎ D.如果点P的横坐标和纵坐标互为相反数,那么点P在直线y=﹣x的图象上 ‎4.下列根式中,是最简二次根式的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=4,将△ABC绕点A逆时针旋转90°,使点C落在点E处,点B落在点D处,则B、E两点间的距离为(  )‎ A. B. C.3 D.‎ ‎6.如图,是由7块颜色不同的正方形组成的长方形,已知中间小正方形的边长为1,这个长方形的面积为(  )‎ A.45 B.48 C.63 D.64‎ 二、填空题:(本大题共6小题,每小题3分,共18分)‎ ‎7.9的平方根是   .‎ ‎8.点A(5,﹣1)关于x轴对称的点A'的坐标是   .‎ ‎9.已知一组数据:3,3,4,6,6,8.则这组数据的方差是   .‎ ‎10.若点P(a,3)在第二象限,且到原点的距离是5,则a=   .‎ ‎11.如图,A(0,1),A1(2,0),A2(3,2),A3(5,1),…,按照这样的规律下去,点A2019的坐标为   .‎ ‎12.如图,直线y=﹣x+3与坐标轴分别交于点A、B,与直线y=x交于点C,Q是线段OA上的动点,连接CQ,若△OQC是等腰三角形,则OQ的长为   .‎ 三、解答题:(本大题共5小题,每小题6分,共30分)‎ ‎13.(1)计算:‎ ‎(2)解方程组:‎ ‎14.如图,直线CD、EF被直线l所截,∠DAB与∠ABF的角平分线相交于点G,且∠AGB=90°,求证:CD∥EF.‎ ‎15.已知直线y=kx+b经过点(3,3)和(﹣1,1),求该直线的解析式.‎ ‎16.用无刻度直尺作图并解答问题:‎ 如图,△ABD和△ACE都是等边三角形,在△ABC内部作一点P,使得∠BPC=120°,并给予证明.‎ ‎17.如图,图中数字代表正方形的面积,∠ACB=120°,求正方形P的面积.(提示:直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半)‎ 四、解答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)‎ ‎18.现有甲乙丙三个厂家都生产一种灯泡,他们对外都宣称自己的灯泡使用寿命为12个月,为了检查他们灯泡的真正使用寿命,现随机从三个厂家均抽查11个灯泡进行检测,得到的数据如下:(单位:月)‎ 甲厂 ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎19‎ 乙厂 ‎7‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎12‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ 丙厂 ‎7‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎(1)这三个生产厂家分别利用了统计中的哪个特征数(平均数,众数,中位数)进行宣传;‎ ‎(2)如果三家灯泡售价相同,作为顾客,你会选择购买哪家的产品,请说明理由.‎ ‎19.父亲两次将100斤粮食分给兄弟俩,第一次分给哥哥的粮食等于第二次分给弟弟的2倍,第二次分给哥哥的粮食是第一次分给弟弟的3倍,求两次分粮食中,哥哥、弟弟各分到多少粮食?‎ ‎20.已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象交x轴于点A(2,0),交y轴于点B,且△AOB的面积为3,求此一次函数的解析式.‎ 五、解答题:(本大题共2小题,每小题9分,共18分)‎ ‎21.如图,三角形ABC中,AC=BC,D是BC上的一点,连接AD,DF平分∠ADC交∠ACB的外角∠ACE的平分线于F.‎ ‎(1)求证:CF∥AB;‎ ‎(2)若∠DAC=40°,求∠DFC的度数.‎ ‎22.受气候的影响,某超市蔬菜供应紧张,需每天从外地调运蔬菜1000斤.超市决定从甲、乙两大型蔬菜棚调运蔬菜,已知甲蔬菜棚每天最多可调出800斤,乙蔬菜棚每天最多可调运600斤,从两蔬菜棚调运蔬菜到超市的路程和运费如表:‎ 到超市的路程(千米)‎ 运费(元/斤•千米)‎ 甲蔬菜棚 ‎120‎ ‎0.03‎ 乙蔬菜棚 ‎80‎ ‎0.05‎ ‎(1)若某天调运蔬菜的总运费为3840元,则从甲、乙两蔬菜棚各调运了多少斤蔬菜?‎ ‎(2)设从甲蔬菜棚调运蔬菜x斤,总运费为W元,试写出W与x的函数关系式,怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省?‎ 六、(本大题共12分)‎ ‎23.如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形ABC的顶点A在x轴上,AB=AC,∠BAC=90°,且A(2,0)、B(3,3),BC交y轴于M,‎ ‎(1)求点C的坐标;‎ ‎(2)连接AM,求△AMB的面积;‎ ‎(3)在x轴上有一动点P,当PB+PM的值最小时,求此时P的坐标.‎ 参考答案 一、选择题:(本大题共6小题,每小题3分,共18分.每小题只有一个正确选项)‎ ‎1.下列各数中,无理数的是(  )‎ A.(3﹣π)0 B.3.1010010001 ‎ C. D.‎ ‎【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念,一定要同时理解有理数的概念,有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数,而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项.‎ 解:A.(3﹣π)0=1,是整数,属于有理数;‎ B.3.1010010001是有限小数,属于有理数;‎ C.是无理数;‎ D.是分数,属于有理数.‎ 故选:C.‎ ‎2.如图,将一张长方形纸片对折,再对折,然后沿第三个图中的虚线剪下,将纸片展开,得到一个四边形,这个四边形的面积是(  )‎ A.8cm2 B.16cm2 C.18cm2 D.20cm2‎ ‎【分析】直接利用折叠方法可得出展开的四边形是菱形,求出阴影部分面积进而得出答案.‎ 解:由题意可得:剪下来的三角形斜边为2cm,一直角边长为:2cm,‎ 故另一边长为:=4(cm),‎ 故阴影部分面积为:×2×4=4(cm2),‎ 则沿第三个图中的虚线剪下,将纸片展开,得到一个四边形,这个四边形的面积是:4×4=16(cm2).‎ 故选:B.‎ ‎3.下列命题是真命题的是(  )‎ A.同位角相等 ‎ B.对顶角互补 ‎ C.如果两个角的两边互相平行,那么这两个角相等 ‎ D.如果点P的横坐标和纵坐标互为相反数,那么点P在直线y=﹣x的图象上 ‎【分析】直接利用平行线的性质以及点的坐标特点、对顶角的性质分别分析得出答案.‎ 解:A、同位角相等,是假命题,不合题意;‎ B、对顶角相等,故原命题是假命题;‎ C、两个角的两边互相平行,‎ 如图(1)所示,∠1和∠2是相等关系,‎ 如图(2)所示,则∠3和∠4是互补关系,‎ ‎,‎ 故原命题是假命题;‎ D、如果点P的横坐标和纵坐标互为相反数,那么点P在直线y=﹣x的图象上,是真命题.‎ 故选:D.‎ ‎4.下列根式中,是最简二次根式的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可.‎ 解:A、=2不是最简二次根式,故本选项不符合题意;‎ B、=|x|,不是最简二次根式,故本选项不符合题意;‎ C、不能化简,是最简二次根式,故本选项符合题意;‎ D、=,不是最简二次根式,故本选项不符合题意;‎ 故选:C.‎ ‎5.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=4,将△ABC绕点A逆时针旋转90°‎ ‎,使点C落在点E处,点B落在点D处,则B、E两点间的距离为(  )‎ A. B. C.3 D.‎ ‎【分析】延长DE交BC于F,由旋转的性质可得AE=AC=2,∠EAC=90°=∠DEA=∠ACB,可得AE∥CB,AC∥EF,由平行线间的平行线段相等,可得CF=EF=2=AC,∠EFC=90°,由勾股定理可求解.‎ 解:如图,延长DE交BC于F,‎ ‎∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°,‎ ‎∴AE=AC=2,∠EAC=90°=∠DEA=∠ACB,‎ ‎∴AE∥CB,AC∥EF,‎ ‎∴CF=EF=2=AC,∠EFC=90°,‎ ‎∴BF=2,‎ ‎∴BE===2,‎ 故选:B.‎ ‎6.如图,是由7块颜色不同的正方形组成的长方形,已知中间小正方形的边长为1,这个长方形的面积为(  )‎ A.45 B.48 C.63 D.64‎ ‎【分析】设左下角的小正方形边长为x,左上角最大的正方形的边长为y ‎,根据矩形的长和宽列出方程组求解即可.‎ 解:设左下角的小正方形边长为x,左上角最大的正方形的边长为y,‎ 根据题意得:,‎ 解得,‎ 矩形的长=2+2+2+3=9,‎ 宽=2+5=7,‎ 面积=7×9=63.‎ 故选:C.‎ 二、填空题:(本大题共6小题,每小题3分,共18分)‎ ‎7.9的平方根是 ±3 .‎ ‎【分析】直接利用平方根的定义计算即可.‎ 解:∵±3的平方是9,‎ ‎∴9的平方根是±3.‎ 故答案为:±3.‎ ‎8.点A(5,﹣1)关于x轴对称的点A'的坐标是 (5,1) .‎ ‎【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点:横坐标不变,纵坐标互为相反数可得答案.‎ 解:点A(5,﹣1)关于x轴对称的点A'的坐标是(5,1).‎ 故答案为:(5,1).‎ ‎9.已知一组数据:3,3,4,6,6,8.则这组数据的方差是  .‎ ‎【分析】利用方差的意义求解.‎ 解:(3+3+4+6+6+8)÷6=5,‎ ‎×[(3﹣5)2+(3﹣5)2+(4﹣5)2+(6﹣5)2+(6﹣5)2+(8﹣5)2]‎ ‎=×(4+4+1+1+1+9)‎ ‎=.‎ 则这组数据的方差是.‎ 故答案为:.‎ ‎10.若点P(a,3)在第二象限,且到原点的距离是5,则a= ﹣4 .‎ ‎【分析】由a2+32=52即可求出a的值.‎ 解:∵点P到原点的距离是5,‎ ‎∴a2+32=52.‎ ‎∴a=±4.‎ ‎∵点P(a,3)在第二象限,‎ ‎∴a=﹣4.‎ 故答案为:﹣4.‎ ‎11.如图,A(0,1),A1(2,0),A2(3,2),A3(5,1),…,按照这样的规律下去,点A2019的坐标为 (3029,1009) .‎ ‎【分析】观察图形得到奇数点的规律为,A1(2,0),A3(5,1),A5(8,2),…,A2n﹣1(3n﹣1,n﹣1),由2019是奇数,且2019=2n﹣1,则可求A2n﹣1(3029,1009).‎ 解:观察图形可得,A1(2,0),A3(5,1),A5(8,2),…,A2n﹣1(3n﹣1,n﹣1),‎ A2(3,2),A4(6,3),A6(9,4),…,A2n(3n,n+1),‎ ‎∵2019是奇数,且2019=2n﹣1,‎ ‎∴n=1010,‎ ‎∴A2n﹣1(3029,1009),‎ 故答案为(3029,1009).‎ ‎12.如图,直线y=﹣x+3与坐标轴分别交于点A、B,与直线y=x交于点C,Q是线段OA上的动点,连接CQ,若△OQC是等腰三角形,则OQ的长为 2或4或2 .‎ ‎【分析】分别求出A(6,0),C(2,2),则可求OC=2;分三种情况求:①当OC=CQ时,OQ的中点横坐标是;②当OC=OQ时,OQ=2;③当OQ=CQ时,设Q(x,0),x2=(x﹣2)2+4,OQ=2.‎ 解:令y=0,可得﹣x+3=0,‎ ‎∴x=6,‎ ‎∴A(6,0),‎ 令x=﹣x+3,解得x=2,‎ ‎∴C(2,2),‎ ‎∴OC=2,‎ ‎∵△OQC是等腰三角形,‎ ‎①当OC=CQ时,OQ的中点横坐标是2,‎ ‎∴OQ=4;‎ ‎②当OC=OQ时,OQ=2,‎ ‎∴OQ=2;‎ ‎③当OQ=CQ时,‎ 设Q(x,0),‎ ‎∴x2=(x﹣2)2+4,‎ ‎∴x=2,‎ ‎∴OQ=2;‎ 故答案为2或4或2.‎ 三、解答题:(本大题共5小题,每小题6分,共30分)‎ ‎13.(1)计算:‎ ‎(2)解方程组:‎ ‎【分析】(1)先进行二次根式的乘法运算,然后合并即可;‎ ‎(2)利用加减消元法解方程组.‎ 解:(1)原式=﹣+2‎ ‎=+;‎ ‎(2)由①+②得3x=9,‎ 解得x=3,‎ 把x=3代入①得y=﹣1,‎ 所以原方程组的解是.‎ ‎14.如图,直线CD、EF被直线l所截,∠DAB与∠ABF的角平分线相交于点G,且∠AGB=90°,求证:CD∥EF.‎ ‎【分析】根据三角形内角和定理可得∠BAG+∠ABG=90°,再根据角平分线的定义得到∠BAD+∠ABF=180°,再根据平行线的判定即可求解.‎ ‎【解答】证明:∵∠AGB=90°,‎ ‎∴∠BAG+∠ABG=90°,‎ ‎∵AG平分∠BAD,‎ ‎∴∠BAD=2∠BAG,‎ ‎∵BG平分∠ABF,‎ ‎∴∠ABF=2∠ABG,‎ ‎∴∠BAD+∠ABF=2∠BAG+2∠ABG=180°,‎ ‎∴CD∥EF.‎ ‎15.已知直线y=kx+b经过点(3,3)和(﹣1,1),求该直线的解析式.‎ ‎【分析】根据直线y=kx+b经过两点(3,3)和(﹣1,1),利用待定系数法列式求出k、b的值,从而得解.‎ 解:设该直线的解析式为y=kx+b,‎ 把(3,3),(﹣1,1)代入得:,‎ 解得 ‎∴该直线的解析式为.‎ ‎16.用无刻度直尺作图并解答问题:‎ 如图,△ABD和△ACE都是等边三角形,在△ABC内部作一点P,使得∠BPC=120°,并给予证明.‎ ‎【分析】连接CD、BE交于点P,∠BPC=120°.根据△ABD和△ACE都是等边三角形,证明△DAC≌△BAE,进而证明∠BPD=∠DAB=60°,∠BPC=120°.‎ 解:如图,‎ 点P即为所求.‎ 解:如图,连接CD、BE交于点P,∠BPC=120°.‎ 证明:∵△ABD和△ACE都是等边三角形,‎ ‎∴AD=AB、AC=AE,∠DAB=∠EAC=60°,‎ ‎∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC,‎ 即∠DAC=∠BAE;‎ ‎∴△DAC≌△BAE(SAS),‎ ‎∴∠ADC=∠ABE,‎ 又∠AQD=∠BQP ‎∴∠BPD=∠DAB=60°,‎ ‎∴∠BPC=120°.‎ ‎17.如图,图中数字代表正方形的面积,∠ACB=120°,求正方形P 的面积.(提示:直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半)‎ ‎【分析】作AD⊥BC,交BC延长线于D,求出CD=AC=1,AD=,根据勾股定理可求出AB,则答案可得出.‎ 解:如图,作AD⊥BC,交BC延长线于D,‎ ‎∵∠ACB=120°,‎ ‎∴∠ACD=60°,∠DAC=30°;‎ ‎∴CD=AC=1,‎ ‎∴AD=,‎ 在直角三角形ADB中,BD=BC+CD=3+1=4,AD=,‎ 根据勾股定理得:AB2=AD2+BD2=3+16=19;‎ ‎∴正方形P的面积=AB2=19.‎ 四、解答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)‎ ‎18.现有甲乙丙三个厂家都生产一种灯泡,他们对外都宣称自己的灯泡使用寿命为12个月,为了检查他们灯泡的真正使用寿命,现随机从三个厂家均抽查11个灯泡进行检测,得到的数据如下:(单位:月)‎ 甲厂 ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎19‎ 乙厂 ‎7‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎12‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ 丙厂 ‎7‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎(1)这三个生产厂家分别利用了统计中的哪个特征数(平均数,众数,中位数)进行宣传;‎ ‎(2)如果三家灯泡售价相同,作为顾客,你会选择购买哪家的产品,请说明理由.‎ ‎【分析】(1)根据平均数,众数,中位数的定义判断即可.‎ ‎(2)根据平均数,中位数的值判断即可.‎ 解:(1)∵甲厂的平均数=12,乙厂的众数为12,丙厂的中位数为12,‎ ‎∴甲厂用了统计中的平均数、乙厂用了统计中的众数、丙厂用了统计中的中位数进行宣传.‎ ‎(2)选用甲厂的产品,因为平均数较真实地反映了灯泡的使用寿命;‎ ‎(或选用丙厂的产品,因为丙厂有一半以上的灯泡使用寿命不少于12个月;).‎ ‎,‎ ‎19.父亲两次将100斤粮食分给兄弟俩,第一次分给哥哥的粮食等于第二次分给弟弟的2倍,第二次分给哥哥的粮食是第一次分给弟弟的3倍,求两次分粮食中,哥哥、弟弟各分到多少粮食?‎ ‎【分析】根据“第一次分给哥哥的粮食等于第二次分给弟弟的2倍,第二次分给哥哥的粮食是第一次分给弟弟的3倍”两个等量关系列出方程组求得答案即可.‎ 解:设哥哥第一次分到粮食为x斤,弟弟第二次分到的粮食为y斤,依题意得:,‎ 解得,‎ 第一次弟弟:100﹣80=20(斤),‎ 第二次哥哥:100﹣40=60(斤),‎ 答:第一次,哥哥分到80斤,弟弟分到20斤,第二次,哥哥分到60斤,弟弟分到40斤.‎ ‎20.已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象交x轴于点A(2,0),交y轴于点B,且△AOB的面积为3,求此一次函数的解析式.‎ ‎【分析】根据三角形的面积求出B点坐标为(0,3)或(0,﹣3),然后利用待定系数法求解即可.‎ 解:∵A(2,0),S△AOB=3,‎ ‎∴OB=3,‎ ‎∴B(0,3)或(0,﹣3).‎ ‎①当B(0,3)时,把A(2,0)、B(0,3)代入y=kx+b中得 ‎∴,‎ 解得:.‎ ‎∴一次函数的解析式为.‎ ‎②当B(0,﹣3)时,把A(2,0)、B(0,﹣3)代入y=kx+b中得,‎ ‎,‎ 解得:.‎ ‎∴.‎ 综上所述,该函数解析式为y=﹣x+3或y=x﹣3.‎ 五、解答题:(本大题共2小题,每小题9分,共18分)‎ ‎21.如图,三角形ABC中,AC=BC,D是BC上的一点,连接AD,DF平分∠ADC交∠ACB的外角∠ACE的平分线于F.‎ ‎(1)求证:CF∥AB;‎ ‎(2)若∠DAC=40°,求∠DFC的度数.‎ ‎【分析】(1)根据三角形的性质得到∠B=∠BAC,由三角形外角的性质得到∠ACE=∠B+∠BAC,求得∠BAC=,由角平分线的定义得到∠ACF=∠ECF=,等量代换得到∠BAC=∠ACF,根据平行线的判定定理即可得到结论;‎ ‎(2)根据角平分线的定义和三角形的内角和即可得到结论.‎ ‎【解答】(1)证明:∵AC=BC,‎ ‎∴∠ABC=∠CAB,‎ ‎∴∠ACE=∠ABC+∠CAB=2∠ABC ‎∵CF是∠ACE的平分线,‎ ‎∴∠ACE=2∠FCE ‎∴2∠ABC=2∠FCE,‎ ‎∴∠ABC=∠FCE,‎ ‎∴CF∥AB;‎ ‎(2)∵CF是∠ACE的平分线,‎ ‎∴∠ACE=2∠FCE=∠ADC+∠DAC ‎∵DF平分∠ADC,‎ ‎∴∠ADC=2∠FDC;‎ ‎∴2∠FCE=∠ADC+∠DAC=2∠FDC+∠DAC,‎ ‎∴2∠FCE﹣2∠FDC=∠DAC ‎∵∠DFC=∠FCE﹣∠FDC ‎∴2∠DFC=2∠FCE﹣2∠FDC=∠DAC=40°‎ ‎∴∠DFC=20°.‎ ‎22.受气候的影响,某超市蔬菜供应紧张,需每天从外地调运蔬菜1000斤.超市决定从甲、乙两大型蔬菜棚调运蔬菜,已知甲蔬菜棚每天最多可调出800斤,乙蔬菜棚每天最多可调运600斤,从两蔬菜棚调运蔬菜到超市的路程和运费如表:‎ 到超市的路程(千米)‎ 运费(元/斤•千米)‎ 甲蔬菜棚 ‎120‎ ‎0.03‎ 乙蔬菜棚 ‎80‎ ‎0.05‎ ‎(1)若某天调运蔬菜的总运费为3840元,则从甲、乙两蔬菜棚各调运了多少斤蔬菜?‎ ‎(2)设从甲蔬菜棚调运蔬菜x斤,总运费为W元,试写出W与x的函数关系式,怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省?‎ ‎【分析】(1)设从甲蔬菜棚调运蔬菜x斤,则从乙蔬菜棚调运蔬菜(1000﹣x)斤,根据题意列方程解答即可;‎ ‎(2 )根据题意写出W与x的关系式以及x的取值范围,再根据一次函数的性质解答即可.‎ 解:(1)设从甲蔬菜棚调运蔬菜x斤,则从乙蔬菜棚调运蔬菜(1000﹣x)斤,得 ‎120×0.03x+80×0.05×(1000﹣x)=3840,‎ 解得x=400,‎ 乙蔬菜棚调运蔬菜:1000﹣400=600(斤),‎ 答:从甲蔬菜棚调运了400斤、从乙蔬菜棚调运了600斤蔬菜;‎ ‎(2)W=120×0.03x+80×0.05×(1000﹣x),‎ 即W=﹣0.4x+4000(400≤x≤800),‎ ‎∵﹣0.4<0,‎ ‎∴W随x的增大而减小,‎ 当x=800时,W最小,W最小值=3680(元),‎ 答:从甲蔬菜棚调运蔬菜800斤,从乙蔬菜棚调运蔬菜200斤总费用最省.‎ 六、(本大题共12分)‎ ‎23.如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形ABC的顶点A在x轴上,AB=AC,∠BAC=90°,且A(2,0)、B(3,3),BC交y轴于M,‎ ‎(1)求点C的坐标;‎ ‎(2)连接AM,求△AMB的面积;‎ ‎(3)在x轴上有一动点P,当PB+PM的值最小时,求此时P的坐标.‎ ‎【分析】(1)作CD⊥x轴于D,BE⊥x轴于E,证明△CDA≌△AEB,根据全等三角形的性质得到CD=AE,AD=BE,求出点C的坐标;‎ ‎(2)利用待定系数法求出直线BC的解析式,得到OM的长,根据梯形的面积公式、三角形的面积公式计算,得到答案;‎ ‎(3)根据轴对称﹣最短路径问题作出点P,求出直线BM′的解析式,根据x轴上点的坐标特征求出点P的坐标.‎ 解:(1)如图1,作CD⊥x轴于D,BE⊥x轴于E,‎ ‎∴∠CAD+∠DCA=90°,‎ ‎∵∠BAC=90°,‎ ‎∴∠CAD+∠BAE=90°,‎ ‎∴∠BAE=∠ACD,‎ 在△CDA和△AEB中,‎ ‎,‎ ‎∴△CDA≌△AEB(AAS),‎ ‎∴CD=AE,AD=BE,‎ ‎∵A(2,0)、B(3,3),‎ ‎∴OA=2,OE=BE=3,‎ ‎∴CD=AE=1,OD=AD﹣OA=1,‎ ‎∴C的坐标是(﹣1,1);‎ ‎(2)如图2,作BE⊥x轴于E,‎ 设直线BC的解析式为y=kx+b,‎ ‎∵B点的坐标为(3,3),C点的坐标是(﹣1,1),‎ ‎∴,‎ 解得,,‎ ‎∴直线BC的解析式为y=x+,‎ 当x=0时,y=,‎ ‎∴OM=,‎ ‎∴△AMB的面积=梯形MOEB的面积﹣△AOM的面积﹣△AEB的面积 ‎=×(+3)×3﹣×2×﹣×1×3‎ ‎=;‎ ‎(3)如图3,作M关于x轴的对称点M′(0,﹣),连接BM',交x轴于点P,此时PB+PM的值最小,‎ 设直线BM′的解析式为y=mx+n,‎ 则,‎ 解得,,‎ ‎∴直线BM′的解析式为y=x﹣,‎ 点P在x轴上,当x=0时,y=1,‎ ‎∴点P的坐标为(1,0).‎
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