数学卷·2018届江西省南昌二中高二上学期第一次月考数学试卷（文科）（解析版）

数学卷·2018届江西省南昌二中高二上学期第一次月考数学试卷（文科）（解析版）

‎2016-2017学年江西省南昌二中高二（上）第一次月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的．‎ ‎1．已知两直线x﹣ky﹣k=0与y=k（x﹣1）平行，则k的值为（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2‎ ‎2．抛物线y=x2的准线方程是（　　）‎ A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣2‎ ‎3．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（　　）‎ A． B． C．2 D．4‎ ‎4．如果实数x、y满足x2+y2﹣6x+8=0，那么最大值是（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎5．设P是圆（x﹣3）2+（y+1）2=4上的动点，Q是直线x=﹣3上的动点，则|PQ|的最小值为（　　）‎ A．6 B．4 C．3 D．2‎ ‎6．若直线l：ax+by=0与圆C：（x﹣2）2+（y+2）2=8相交，则直线l的倾斜角不等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．直线y=x+b与曲线有且仅有一个公共点，则b的取值范围是（　　）‎ A． B．﹣1＜b≤1或 C． D．‎ ‎8．已知F1，F2是椭圆C：的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥，若△PF1F2的面积为9，则b的值为（　　）‎ A．3 B．2 C．4 D．9‎ ‎9．已知直线l1：ax﹣y+1=0与l2：x+ay+1=0，给出如下结论：‎ ‎①不论a为何值时，l1与l2都互相垂直；‎ ‎②当a变化时，l1与l2分别经过定点A（0，1）和B（﹣1，0）；‎ ‎③不论a为何值时，l1与l2都关于直线x+y=0对称；‎ ‎④当a变化时，l1与l2的交点轨迹是以AB为直径的圆（除去原点）．‎ 其中正确的结论有（　　）‎ A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④‎ ‎10．已知F是椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，且PF⊥x轴，若|PF|=|AF|，则该椭圆的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．如图，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F，过抛物线上一点A（3，y）作准线l作垂线，垂直为B，若|AB|=|BF|，则抛物线的标准方程是（　　）‎ A．y2=x B．y2=x C．y2=2x D．y2=4x ‎12．已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，A，B分别为椭圆的上，下顶点．过椭圆的右焦点F2的直线交椭圆于C，D两点．△F1CD的周长为8，且直线AC，BC的斜率之积为﹣．则椭圆的方程为（　　）‎ A． +y2=1 B． +=1 C． +y2=1 D． +=1‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．已知过点P（4，3）的光线，经x轴上一点A反射后的光线过点Q（0，5）．则点A的坐标为　　．‎ ‎14．过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2‎ ‎=1的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为　　．‎ ‎15．抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0的距离的最小值是　　．‎ ‎16．已知F是椭圆C： +=1的右焦点，P是C上一点，A（﹣2，1），当△APF周长最小时，其面积为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6题，共70分．‎ ‎17．已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的上方．‎ ‎（Ⅰ）求圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点P（1，1）的直线l1被圆C截得的弦长等于2，求直线l1的方程．‎ ‎18．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l为抛物线C的切线且l∥MN，求直线l的方程．‎ ‎19．已知F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，，若椭圆的离心率等于．‎ ‎（1）求直线AO的方程（O为坐标原点）；‎ ‎（2）直线AO交椭圆于点B，若三角形ABF2的面积等于4，求椭圆的方程．‎ ‎20．已知经过点A（﹣4，0）的动直线l与抛物线G：x2=2py（p＞0）相交于B、C，当直线l的斜率是时，．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线G的方程；‎ ‎（Ⅱ）设线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．‎ ‎21．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C的一个短轴端点与抛物线x2=4y的焦点重合．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过椭圆C右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，若以AB为直径的圆过原点，求直线l方程．‎ ‎22．已知椭圆C方程为+=1，已知P（2，3）、Q（2，﹣3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．‎ ‎（1）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；‎ ‎（2）当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江西省南昌二中高二（上）第一次月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的．‎ ‎1．已知两直线x﹣ky﹣k=0与y=k（x﹣1）平行，则k的值为（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】直线x﹣ky﹣k=0即 y=x﹣1，k≠0，再根据两直线的斜率相等，但在y轴上的截距不相等，求出k的值．‎ ‎【解答】解：由于直线x﹣ky﹣k=0与直线y=k（x﹣1）的斜率都存在，直线x﹣ky﹣k=0即 y=x﹣1，k≠0，‎ 由两直线平行的性质可得，‎ ‎∴k2=1，且 k≠1．‎ 解得 k=﹣1，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．抛物线y=x2的准线方程是（　　）‎ A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣2‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】先化为抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=4，再直接代入即可求出其准线方程．‎ ‎【解答】解：抛物线y=x2的标准方程为x2=4y，焦点在y轴上，2p=4，‎ ‎∴=1，‎ ‎∴准线方程 y=﹣=﹣1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（　　）‎ A． B． C．2 D．4‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据题意，求出长半轴和短半轴的长度，利用长轴长是短轴长的两倍，解方程求出m的值．‎ ‎【解答】解：椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，∴，‎ 故选 A．‎ ‎　‎ ‎4．如果实数x、y满足x2+y2﹣6x+8=0，那么最大值是（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用．‎ ‎【分析】将圆的方程化为标准方程为：（x﹣3）2+y2=1，的几何意义是圆上点（x，y）与（1，0）连线的斜率，利用相切位置直线的斜率，即可得到结论 ‎【解答】解：将圆的方程化为标准方程为：（x﹣3）2+y2=1‎ 的几何意义是圆上点（x，y）与（1，0）连线的斜率 由于圆的半径为1，所以过点（1，0）的直线与圆相切时，直线的倾斜角为30°或150°，‎ 此时直线的斜率为或﹣‎ 根据图形可知最大值是 故选B ‎　‎ ‎5．设P是圆（x﹣3）2+（y+1）2=4上的动点，Q是直线x=﹣3上的动点，则|PQ|的最小值为（　　）‎ A．6 B．4 C．3 D．2‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】过圆心A作AQ⊥直线x=﹣3，与圆交于点P，此时|PQ|最小，由此能求出|PQ|的最小值．‎ ‎【解答】解：过圆心A作AQ⊥直线x=﹣3，‎ 与圆交于点P，此时|PQ|最小，‎ 由圆的方程得到A（3，﹣1），半径r=2，‎ 则|PQ|=|AQ|﹣r=6﹣2=4．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．若直线l：ax+by=0与圆C：（x﹣2）2+（y+2）2=8相交，则直线l的倾斜角不等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】因为直线与圆相交，所以圆心到直线的距离小于半径，利用圆心到该直线的距离小于圆的半径得到关于a和b的关系式，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由圆x2+y2﹣4x+4y=0得到圆心坐标为（2，﹣2），半径为2，‎ 因为直线与圆相交，‎ 所以圆心到该直线的距离d=＜2，‎ 两边平方得出a2+b2+2ab＞0，（a+b）2＞0，‎ 所以a≠﹣b 因为k=﹣，所以k≠1，所以直线l的倾斜角不等于．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．直线y=x+b与曲线有且仅有一个公共点，则b的取值范围是（　　）‎ A． B．﹣1＜b≤1或 C． D．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】把曲线方程整理后可知其图象为半圆，进而画出图象来，要使直线与曲线有且仅有一个交点，那么很容易从图上看出其三个极端情况分别是：直线在第四象限与曲线相切，交曲线于（0，﹣1）和另一个点，及与曲线交于点（0，1），分别求出b，则b的范围可得．‎ ‎【解答】解：化简得x2+y2=1‎ 注意到x≥0 ‎ 所以这个曲线应该是半径为1，圆心是（0，0）的半圆，且其图象只在一四象限．‎ 这样很容易画出图来，这样因为直线与其只有一个交点，‎ 那么很容易从图上看出其三个极端情况分别是：‎ 直线在第四象限与曲线相切，‎ 交曲线于（0，﹣1）和另一个点，‎ 及与曲线交于点（0，1）．‎ 分别算出三个情况的B值是：﹣，﹣1，1．‎ 因为B就是直线在Y轴上的截距了，‎ 所以看图很容易得到B的范围是：﹣1＜b≤1或b=﹣‎ 故选B ‎　‎ ‎8．已知F1，F2是椭圆C：的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥，若△PF1F2的面积为9，则b的值为（　　）‎ A．3 B．2 C．4 D．9‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；数量积判断两个平面向量的垂直关系．‎ ‎【分析】由椭圆的定义知+=2a①，依题意， +=4c2，②对①式两端平方后与②联立可得•，再由△PF1F2的面积为9，即可求得b的值．‎ ‎【解答】解：∵+=2a，‎ ‎∴++2•=4a2；①‎ 又⊥，‎ ‎∴+==4c2，②‎ ‎∴①﹣②得：2•=4（a2﹣c2）=4b2，‎ ‎∴•=b2，‎ ‎∵△PF1F2的面积为9，‎ ‎∴=•=b2=9，b＞0，‎ ‎∴b=3．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．已知直线l1：ax﹣y+1=0与l2：x+ay+1=0，给出如下结论：‎ ‎①不论a为何值时，l1与l2都互相垂直；‎ ‎②当a变化时，l1与l2分别经过定点A（0，1）和B（﹣1，0）；‎ ‎③不论a为何值时，l1与l2都关于直线x+y=0对称；‎ ‎④当a变化时，l1与l2的交点轨迹是以AB为直径的圆（除去原点）．‎ 其中正确的结论有（　　）‎ A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】①l1与l2垂直时，利用两直线垂直的充要条件可判断；‎ ‎②对于直线l1与l2分别令x=0，y=0，即可知直线恒过定点；‎ ‎③在l1上任取点（x，ax+1），关于直线x+y=0对称的点的坐标为（﹣ax﹣1，﹣x），代入l2：x+ay+1=0的左边，可得不为0，故可判断；‎ ‎④联立方程，消去参数，由方程可确定l1与l2的交点轨迹．‎ ‎【解答】解：①a×1﹣1×a=0恒成立，l1与l2垂直恒成立，故①正确；‎ ‎②直线l1：ax﹣y+1=0，当a变化时，x=0，y=1恒成立，所以l1经过定点A（0，1）；‎ l2：x+ay+1=0，当a变化时，y=0，x=﹣1恒成立，所以l2经过定点B（﹣1，0），故②正确 ‎③在l1上任取点（x，ax+1），关于直线x+y=0对称的点的坐标为（﹣ax﹣1，﹣x），‎ 代入l2：x+ay+1=0的左边，显然不为0，故③不正确；‎ ‎④联立直线l1：ax﹣y+1=0与l2：x+ay+1=0，消去参数a可得：x2+x+y2﹣y=0（x≠0，y≠0），‎ ‎∴当a变化时，l1与l2的交点轨迹是以AB为直径的圆（除去原点），故④正确．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．已知F是椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，且PF⊥x轴，若|PF|=|AF|，则该椭圆的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】令x=﹣c，代入椭圆方程，解得|PF|，再由|AF|=a+c，列出方程，再由离心率公式，即可得到．‎ ‎【解答】解：由于PF⊥x轴，‎ 则令x=﹣c，代入椭圆方程，解得，‎ y2=b2（1﹣）=，‎ y=，‎ 又|PF|=|AF|，‎ 即=（a+c），‎ 即有4（a2﹣c2）=a2+ac，‎ 即有（3a﹣4c）（a+c）=0，‎ 则e=．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎11．如图，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F，过抛物线上一点A（3，y）作准线l作垂线，垂直为B，若|AB|=|BF|，则抛物线的标准方程是（　　）‎ A．y2=x B．y2=x C．y2=2x D．y2=4x ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】根据抛物线的基本概念与正三角形的性质，利用解直角三角形算出|BF|=2p，由AB⊥y轴，可得3+=2p，求出p，即可求出抛物线的标准方程．‎ ‎【解答】解：由题意，△ABF为等边三角形，设直线l交x轴于点C，‎ ‎∵AB⊥l，l⊥x轴，‎ ‎∴AB∥x轴，可得∠BFC=∠ABF=60°，‎ Rt△BCF中，|CF|=|BF|cos60°=p，解得|BF|=2p，‎ 由AB⊥y轴，可得3+=2p，‎ ‎∴p=2，‎ ‎∴抛物线的标准方程是y2=4x．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，A，B分别为椭圆的上，下顶点．过椭圆的右焦点F2的直线交椭圆于C，D两点．△F1CD的周长为8，且直线AC，BC的斜率之积为﹣．则椭圆的方程为（　　）‎ A． +y2=1 B． +=1 C． +y2=1 D． +=1‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】由△F1CD的周长为8，可得4a=8，解得a=2．设C（x1，y1），可得 ‎，由于直线AC，BC的斜率之积为﹣，可得=﹣，代入化简可得b2．即可得出．‎ ‎【解答】解：∵△F1CD的周长为8，∴4a=8，解得a=2．‎ 设C（x1，y1），则，‎ ‎∵直线AC，BC的斜率之积为﹣，∴=﹣，∴+=0，‎ 化为： +=0，可得b2=1．‎ ‎∴椭圆的标准方程为： +y2=1．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．已知过点P（4，3）的光线，经x轴上一点A反射后的光线过点Q（0，5）．则点A的坐标为　（，0）　．‎ ‎【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．‎ ‎【分析】根据反射光线的性质可知P′（4，﹣3）在直线AQ上，利用两点式求出直线AQ的方程，即可得出A点坐标．‎ ‎【解答】解：由光线的反射角与入射角相等可知，‎ 点P（4，3）关于x轴对称点P'（4，﹣3）在直线AQ上，‎ ‎∴直线AQ的方程为 =，即2x+y﹣5=0，‎ 令y=0，解得x=，‎ ‎∴点A的坐标为（，0），‎ 故答案为：（，0）．‎ ‎　‎ ‎14．过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为　2x+y﹣3=0　．‎ ‎【考点】圆的切线方程．‎ ‎【分析】求出以（3，1）、C（1，0）为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程．‎ ‎【解答】解：圆（x﹣1）2+y2=1的圆心为C（1，0），半径为1，‎ 以（3，1）、C（1，0）为直径的圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣）2=，‎ 将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程2x+y﹣3=0，‎ 故答案为：2x+y﹣3=0．‎ ‎　‎ ‎15．抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0的距离的最小值是　　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】先对y=﹣x2求导得到与直线4x+3y﹣8=0平行的切线的切点坐标，再由点到线的距离公式可得答案．‎ ‎【解答】解：先对y=﹣x2求导得y′=﹣2x 令y′=﹣2x=﹣‎ 易得x0=‎ 即切点P（，﹣）‎ 利用点到直线的距离公式得 d==‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎16．已知F是椭圆C： +=1的右焦点，P是C上一点，A（﹣2，1），当△APF周长最小时，其面积为　4　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】利用椭圆的定义，确定△APF周长最小时，P的坐标，即可求出△APF周长最小时，该三角形的面积．‎ ‎【解答】解：椭圆C： +=1的a=2，b=2，c=4，‎ 设左焦点为F'（﹣4，0），右焦点为F（4，0）．‎ ‎△APF周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+（2a﹣|PF'|）‎ ‎=|AF|+|AP|﹣|PF'|+2a≥|AF|﹣|AF'|+2a，‎ 当且仅当A，P，F'三点共线，即P位于x轴上方时，三角形周长最小．‎ 此时直线AF'的方程为y=（x+4），代入x2+5y2=20中，可求得P（0，2），‎ 故S△APF=S△PF'F﹣S△AF'F=×2×8﹣×1×8=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6题，共70分．‎ ‎17．已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的上方．‎ ‎（Ⅰ）求圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点P（1，1）的直线l1被圆C截得的弦长等于2，求直线l1的方程．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设圆心C（a，0），（a＞﹣），由题意结合点到直线的距离公式列式求得a值，则圆的方程可求；‎ ‎（Ⅱ）由垂径定理可得圆心C到直线l1 的距离，然后分直线l1 的斜率存在与不存在分类求解得答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设圆心C（a，0），（a＞﹣），则，解得a=0或a=﹣5（舍），‎ ‎∴圆C：x2+y2=4；‎ ‎（Ⅱ）由题意可知圆心C到直线l1 的距离为，‎ 若直线l1 斜率不存在，则直线l1：x=1，圆心C到直线l1的距离为1；‎ 若直线l1斜率存在，设直线l1：y﹣1=k（x﹣1），即kx﹣y+1﹣k=0，‎ 则，解得k=0，直线l1：y=1．‎ 综上直线l1 的方程为x=1或y=1．‎ ‎　‎ ‎18．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l为抛物线C的切线且l∥MN，求直线l的方程．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由题可知直线MN的方程为：y=x﹣，代入y2=2px 化简，利用韦达定理以及抛物线的定义、|MN|=8求得p的值，可得抛物线的方程．‎ ‎（2）设l方程为y=x+b，代入y2=4x 化简，再利用判别式△=0，解得b的值，可得l的方程．‎ ‎【解答】解：（1）由题可知F（，0），则该直线MN的方程为：y=x﹣，‎ 代入y2=2px，化简可得x2﹣3px+=0．‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），则有x1=x2=3p．‎ ‎∵|MN|=8，∴有x1+x2+p=8，解得p=2，‎ ‎∴抛物线的方程为：y2=4x．‎ ‎（2）设l方程为y=x+b，代入y2=4x，可得x2+（2b﹣4）x+b2=0，‎ 因为l为抛物线C的切线，∴△=0，解得b=1，‎ ‎∴l的方程为：y=x+1．‎ ‎　‎ ‎19．已知F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，，若椭圆的离心率等于．‎ ‎（1）求直线AO的方程（O为坐标原点）；‎ ‎（2）直线AO交椭圆于点B，若三角形ABF2的面积等于4，求椭圆的方程．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；直线的一般式方程；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）根据椭圆的离心率e=，即，可得，因此设椭圆方程为x2+2y2=a2．再设点A（x0，y0），因为向量、的数量积为0，得到AF2、F1F2互相垂直，所以x0=c，将A（c，y0），代入椭圆方程，化简可得，得到A的坐标，从而得到直线AO的斜率为，最后根据直线AO过原点，得直线AO的方程为y=x；‎ ‎（2）连接AF1，BF1，AF2，BF2，由椭圆的对称性可知：S△ABF1=S△ABF2=S△AF1F2，可用△AF1F2的面积列式，解之得a2=16，c2=a2=8，所以b2=a2﹣c2=8，最终得到椭圆方程为．‎ ‎【解答】解：（1）∵，∴AF2⊥F1F2，‎ 又∵椭圆的离心率e==，‎ ‎∴，可得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 设椭圆方程为x2+2y2=a2，设A（x0，y0），由AF2⊥F1F2，得x0=c ‎∴A（c，y0），代入椭圆方程，化简可得（舍负）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∴A（，），可得直线AO的斜率﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 因为直线AO过原点，故直线AO的方程为y=x﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（2）连接AF1，BF1，AF2，BF2，‎ 由椭圆的对称性可知：S△ABF1=S△ABF2=S△AF1F2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∴S△AF1F2=×2c×yA=4，即ac=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 又∵‎ ‎∴a2=4，解之得a2=16，c2=a2=8，‎ ‎∴b2=a2﹣c2=8，故椭圆方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ ‎20．已知经过点A（﹣4，0）的动直线l与抛物线G：x2=2py（p＞0）相交于B、C，当直线l的斜率是时，．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线G的方程；‎ ‎（Ⅱ）设线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）设出B，C的坐标，利用点斜式求得直线l的方程，与抛物线方程联立消去x，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，由．根据求得y2=4y1，最后联立方程求得y1，y2和p，则抛物线的方程可得．‎ ‎（2）设直线l的方程，AB中点坐标，把直线与抛物线方程联立，利用判别式求得k的范围，利用韦达定理表示出x1+x2，进而求得x0，利用直线方程求得y0，进而可表示出AB的中垂线的方程，求得其在y轴上的截距，根据k的范围确定b的范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）直线l的斜率是时，直线BC的方程为：x=2y﹣4，设B（x1，y1），C（x2，y2），‎ ‎，整理得：2y2﹣（8+p）y+8=0，‎ 由韦达定理可知：y1+y2=，y1•y2=4，‎ 由．则y1=4y2，‎ 由p＞0，解得：y1=1，y2=4，‎ ‎∴p=2，‎ ‎∴抛物线G：x2=4y；‎ ‎（Ⅱ）设l：y=k（x+4），BC中点坐标为（x0，y0）‎ 由，整理得：x2﹣4kx﹣16k=0，‎ ‎∴由韦达定理可知：x1+x2=2k，则x0==2k．则y0=k（x0+4）=2k2+4k，‎ ‎∴BC的中垂线方程为y﹣（2k2+4k）=﹣（x﹣2k），‎ ‎∴BC的中垂线在y轴上的截距为：b=2k2+4k+2=2（k+1）2，‎ 对于方程由△=16k2+64k＞0，解得：k＞0或k＜﹣4．‎ ‎∴b的取值范围（2，+∞）．‎ ‎　‎ ‎21．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C的一个短轴端点与抛物线x2=4y的焦点重合．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过椭圆C右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，若以AB为直径的圆过原点，求直线l方程．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1），则b=1，根据离心率公式，即可求得a的值，求得椭圆的标准方程；‎ ‎（2）椭圆右焦点为．由．若直线AB的斜率不存在，代入不成立，当斜率存在，直线AB的方程为．代入抛物线方程，由韦达定理及向量数量积的坐标表示，即可求得k的值，求得直线直线l方程．‎ ‎【解答】解：（1）由题意：椭圆C： =1（a＞b＞0）焦点在x轴上，‎ 由抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1），‎ 椭圆的离心率e===1，解得：a=2，‎ ‎∴椭圆方程为；‎ ‎（2）由（1）知a2=4，b2=1，则，‎ ‎∴椭圆右焦点为．‎ ‎∵以AB为直径的圆过原点，‎ ‎∴．‎ 若直线AB的斜率不存在，则直线AB的方程为．‎ 直线AB交椭圆于两点，，不合题意．‎ 若直线AB的斜率存在，设斜率为k，则直线AB的方程为．设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由，整理得：．‎ 由于直线AB过椭圆右焦点，可知△＞0．‎ 由韦达定理可知：，‎ ‎．‎ ‎∴．‎ 由，即，可得．‎ ‎∴直线l方程为．‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆C方程为+=1，已知P（2，3）、Q（2，﹣3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．‎ ‎（1）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；‎ ‎（2）当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=x+t，代入+=1中整理得到二次方程，运用韦达定理，再由四边形APBQ的面积S=|PQ|×|x1﹣x2|，即可得到最大值；‎ ‎（2）当∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，将PA、PB的直线方程分别代入椭圆方程，然后运用韦达定理，求出x1，x2，再由而kAB=化简即可得到定值．‎ ‎【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=x+t，‎ 代入+=1中整理得x2+tx+t2﹣12=0，‎ ‎△＞0⇒﹣4＜t＜4，x1+x2=﹣t，x1x2=t2﹣12，‎ 则四边形APBQ的面积S=|PQ|×|x1﹣x2|=‎ ‎6×|x1﹣x2|=3，‎ 故当t=0时Smax=12；‎ ‎（2）当∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和为0，‎ 设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，‎ PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2），代入+=1‎ 中整理得（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48=0，‎ ‎2+x1=，‎ 同理2+x2=，x1+x2=，x1﹣x2=，‎ 从而kAB===，即直线AB的斜率为定值．‎ ‎　‎ ‎2017年1月15日