【数学】2019届文科一轮复习人教A版7-4直线、平面平行的判定及其性质教案

【数学】2019届文科一轮复习人教A版7-4直线、平面平行的判定及其性质教案

第四节　直线、平面平行的判定及其性质 ‎ [考纲传真]　(教师用书独具)1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．‎ ‎(对应学生用书第99页)‎ ‎ [基础知识填充]‎ ‎1．线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)‎ ‎∵l∥a，‎ a⊂α，l⊄α，‎ ‎∴l∥α 性质 定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)‎ ‎∵l∥α，‎ l⊂β，‎ α∩β＝b，‎ ‎∴l∥b ‎2. 面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)‎ ‎∵a∥β，b∥β，‎ a∩b＝P，‎ a⊂α，b⊂α，‎ ‎∴α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ‎∵α∥β，‎ α∩γ＝a，‎ β∩γ＝b，‎ ‎∴a∥b ‎ [知识拓展]‎ ‎ (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β；‎ ‎ (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b；‎ ‎ (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.‎ ‎ (4)两个平面平行，则其中任意一个平面内的直线与另一个平面平行，即α∥β，m⊂α，则m∥β.‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎ (1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．(　　)‎ ‎ (2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．(　　)‎ ‎ (3)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．(　　)‎ ‎ (4)若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行．(　　)‎ ‎ [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)下列命题中，正确的是(　　)‎ ‎ A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面 ‎ B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行 ‎ C．若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b ‎ D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α ‎ D　[根据线面平行的判定与性质定理知，选D.]‎ ‎3．(2015·北京高考)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β ”是“α∥β ”的(　　)‎ ‎ A．充分而不必要条件　　 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ B　[当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥βα∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β ”是“α∥β ”的必要而不充分条件．]‎ ‎4．在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是________．‎ ‎ 平行　[如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，则EF是△BDD1的中位线，‎ ‎ ∴EF∥BD1，‎ ‎ 又EF⊂平面ACE，‎ ‎ BD1⊄平面ACE，‎ ‎ ∴BD1∥平面ACE.]‎ ‎5．(2017·河北石家庄质检)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：‎ ‎ ①若m⊂α，n∥α，则m∥n；‎ ‎ ②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；‎ ‎ ③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；‎ ‎ ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.‎ ‎ 其中是真命题的是________(填上序号)． 【导学号：79170247】‎ ‎ ②　[①，m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③，m∥β或m⊂β，故③错误；④，α∥β或α与β相交，‎ ‎ 故④错误．]‎ ‎(对应学生用书第100页)‎ 与线、面平行相关命题真假的判断 ‎　(2017·全国卷Ⅰ)在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是 ‎(　　)‎ ‎ A　[A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB．‎ ‎ ∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，‎ ‎ ∴直线AB与平面MNQ相交．‎ ‎ B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.‎ ‎ 又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.‎ ‎ C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.‎ ‎ 又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.‎ ‎ D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ.‎ ‎ 又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.‎ ‎ 故选A．]‎ ‎ [规律方法]　　1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项．‎ ‎ 2．(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．‎ ‎ (2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情形，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．‎ ‎[变式训练1]　(1)(2018·唐山模拟)若m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列结论中正确的是(　　) 【导学号：79170248】‎ ‎ A．若m∥α，m∥n，则n∥α ‎ B．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β ‎ C．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m∥n ‎ D．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β ‎ (2)在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B‎1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：‎ ‎ ①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；‎ ‎ ③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1‎ ‎ 其中推断正确的序号是(　　)‎ 图741‎ ‎ A．①③　　　　　　 B．①④‎ ‎ C．②③ D．②④‎ ‎ (1)D　(2)A　[(1)在A中，若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故A错误．在B中，若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α与β相交或平行，故B错误．在C中，若α⊥β，m∥α，n∥β，则m与n相交、平行或异面，故C错误．在D中，若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则由线面平行的判定定理得n∥β，故D正确．‎ ‎ (2)∵在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B‎1C1，BB1的中点，‎ ‎ ∴FG∥BC1，∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，‎ ‎ ∵FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故①正确；‎ ‎ ∵EF∥A‎1C1，A‎1C1与平面BC1D1相交，∴EF与平面BC1D1相交，故②错误；‎ ‎ ∵E，F，G分别是A1B1，B‎1C1，BB1的中点，‎ ‎ ∴FG∥BC1，∵FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，‎ ‎ ∴FG∥平面BC1D1，故③正确；‎ ‎ ∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误．]‎ 直线与平面平行的判定与性质 ‎　(2016·南通模拟)如图742所示，斜三棱柱ABCA1B‎1C1中，点D，D1分别为AC，A‎1C1上的点．‎ ‎ (1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1；‎ ‎ (2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．‎ 图742‎ ‎ [解]　(1)如图所示，取D1为线段A‎1C1的中点，此时＝1. 2分 ‎ 连接A1B，交AB1于点O，连接OD1.‎ ‎ 由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，‎ ‎ ∴点O为A1B的中点．‎ ‎ 在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A‎1C1的中点，‎ ‎ ∴OD1∥BC1. 4分 ‎ 又∵OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，‎ ‎ ∴BC1∥平面AB1D1.‎ ‎ ∴当＝1时，BC1∥平面AB1D1. 6分 ‎ (2)由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O得 ‎ BC1∥D1O， 8分 ‎ 同理AD1∥DC1，∴＝，‎ ‎ ＝，又∵＝1，‎ ‎ ∴＝1，即＝1. 12分 ‎ [规律方法]　　1.判断或证明线面平行的常用方法有：‎ ‎ (1)利用反证法(线面平行的定义)；‎ ‎ (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；‎ ‎ (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；‎ ‎ (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．‎ ‎ 2．利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．‎ ‎[变式训练2]　(2018·西安模拟)如图743，在直四棱柱ABCDA1B‎1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点，设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1；‎ ‎ 【导学号：79170249】‎ 图743‎ ‎ [证明]　法一：取A1B1的中点为F1，连接FF1，C‎1F1，‎ ‎ 由于FF1∥BB1∥CC1，所以F1∈平面FCC1，因此平面FCC1即为平面C1CFF1.连接A1D，F‎1C，由于A‎1F1綊D‎1C1綊CD，所以四边形A1DCF1为平行四边形，因此A1D∥F‎1C．‎ ‎ 又EE1∥A1D，得EE1∥F‎1C，而EE1⊄平面FCC1，F‎1C⊂平面FCC1，故EE1∥平面FCC1.‎ ‎ 法二：因为F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，AB∥CD，所以CD綊AF，因此 ‎ 四边形AFCD为平行四边形，所以AD∥FC．又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，所以平面ADD‎1A1∥平面FCC1，又EE1⊂平面ADD‎1A1，所以EE1∥平面FCC1.‎ 平面与平面平行的判定与性质 ‎　如图744所示，在三棱柱ABCA1B‎1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A‎1C1的中点，求证：‎ 图744‎ ‎ (1)B，C，H，G四点共面；‎ ‎ (2)平面EFA1∥平面BCHG.‎ ‎ [证明]　(1)∵G，H分别是A1B1，A‎1C1的中点，‎ ‎ ∴GH是△A1B‎1C1的中位线，GH∥B‎1C1. 2分 ‎ 又∵B‎1C1∥BC，‎ ‎ ∴GH∥BC，‎ ‎ ∴B，C，H，G四点共面. 5分 ‎ (2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，‎ ‎ ∴EF∥BC．‎ ‎ ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，‎ ‎ ∴EF∥平面BCHG. 7分 ‎ ∵A‎1G綊EB，‎ ‎ ∴四边形A1EBG是平行四边形，‎ ‎ 则A1E∥GB．‎ ‎ ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，‎ ‎ ∴A1E∥平面BCHG. 10分 ‎ ∵A1E∩EF＝E，‎ ‎ ∴平面EFA1∥平面BCHG. 12分 ‎[母题探究]　在本例条件下，若点D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA．‎ ‎ [证明]　如图所示，连接HD，A1B，‎ ‎ ∵D为BC1的中点，H为A‎1C1的中点，‎ ‎ ∴HD∥A1B． 5分 ‎ 又HD⊄平面A1B1BA，‎ ‎ A1B⊂平面A1B1BA，‎ ‎ ∴HD∥平面A1B1BA． 12分 ‎ [规律方法]　　1.判定面面平行的主要方法：‎ ‎ (1)面面平行的判定定理．‎ ‎ (2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)．‎ ‎ 2．面面平行的性质定理的作用：‎ ‎ (1)判定线面平行；(2)判断线线平行．‎ ‎ 线线、线面、面面平行的相互转化是解决与平行有关的问题的指导思想．解题时要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向．‎ ‎ 线线平行线面平行面面判定定理性质定理平行 ‎ 易错警示：利用面面平行的判定定理证明两平面平行时，需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行．‎ ‎[变式训练3]　(2016·山东高考)在如图745所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．‎ ‎ (1)已知AB＝BC，AE＝EC，求证：AC⊥FB；‎ ‎ (2)已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．‎ 图745‎ ‎ [证明]　(1)因为EF∥DB，‎ ‎ 所以EF与DB确定平面BDEF. 2分 ‎ 如图①，连接DE.‎ ‎①‎ ‎ 因为AE＝EC，D为AC的中点，‎ ‎ 所以DE⊥AC．同理可得BD⊥AC．‎ ‎ 又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF. 4分 ‎ 因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB． 5分 ‎ (2)如图②，设FC的中点为I，连接GI，HI.‎ ‎②‎ ‎ 在△CEF中，因为G是CE的中点，‎ ‎ 所以GI∥EF. 8分 ‎ 又EF∥DB，所以GI∥DB．‎ ‎ 在△CFB中，因为H是FB的中点，‎ ‎ 所以HI∥BC．又HI∩GI＝I，‎ ‎ 所以平面GHI∥平面ABC．‎ ‎ 因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC． 12分