【数学】2019届一轮复习人教B版　双曲线学案

【数学】2019届一轮复习人教B版　双曲线学案

第51讲　双曲线 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．‎ ‎2．了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景．‎ ‎3．理解数形结合的思想.‎ ‎2017·全国卷Ⅰ，15‎ ‎2017·全国卷Ⅱ，9‎ ‎2017·北京卷，9‎ ‎2017·天津卷，5‎ ‎2017·江苏卷，8‎ ‎1.求解与双曲线定义有关的问题；利用双曲线的定义求轨迹方程；求双曲线的标准方程；确定双曲线焦点的位置．‎ ‎2．求双曲线的渐近线；求解与双曲线的范围、对称性有关的问题；求解双曲线的离心率.‎ 分值：5分 ‎1．双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的__距离的差的绝对值__等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做__双曲线的焦点__，两焦点间的距离叫做__双曲线的焦距__．‎ 集合P＝，＝‎2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0.‎ ‎(1)当__a＜c__时，点P的轨迹是双曲线；‎ ‎(2)当__a＝c__时，点P的轨迹是两条射线；‎ ‎(3)当__a＞c__时，点P不存在．‎ ‎2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0)‎ －＝1(a＞0，b＞0)‎ 图形 性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：__坐标轴__，对称中心：__原点__‎ 顶点 A1__(－a,0)__，A2__(a,0)__‎ A1__(0，－a)__，A2__(0，a)__‎ 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝____，e∈(1，＋∞)‎ a，b，c 的关系 c2＝__a2＋b2__‎ 实虚轴 线段A‎1A2叫做双曲线的实轴，它的长＝__‎2a__；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长＝__2b__；‎ a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 ‎3．常用结论(1)双曲线的焦点到渐近线－＝0(a＞0，b＞0)的距离为b.如右图△OFH是分别以边a，b，c为边长的直角三角形．‎ ‎(2)如下图：‎ ＋＝1(a＞b＞0)　　　－＝1(a＞0，b＞0)‎ 则有：P1，P2两点坐标都为，即＝＝.‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．‎ ‎(1)平面内到点F1 (0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(　×　)‎ ‎(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　×　)‎ ‎(3)方程－＝1(mn＞0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　×　)‎ ‎(4)双曲线方程－＝λ(m＞0，n＞0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　√　)‎ 解析 (1)错误．由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部．‎ ‎(2)错误．因为＝8＝，表示的轨迹为两条射线．‎ ‎(3)错误．当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线．‎ ‎(4)正确．因为－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，即－＝0，所以当λ＞0时，－＝1(m＞0，n＞0)的渐近线方程为－＝0，即－＝0，即±＝0，同理当λ＜0时，仍成立，故结论正确．‎ ‎2．过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是(　C　)‎ A．28　　 B．14－8　　　　‎ C．14＋8　　 D．8 解析 由双曲线定义知，‎ －＝4，－＝4，‎ ‎∴＋－(＋)＝8.‎ 又＋＝＝7，‎ ‎∴＋＝7＋8.‎ ‎∴△PF2Q的周长为14＋8.‎ ‎3．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　C　)‎ A．2　　 B．2　　　　‎ C．4　　 D．4 解析 双曲线2x2－y2＝8的标准方程为－＝1，所以实轴长‎2a＝4，故选C．‎ ‎4．设双曲线－＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　C　)‎ A．4　　 B．‎3　‎　‎ C．2　　 D．1‎ 解析 双曲线－＝1的渐近线方程为±＝0.‎ 整理得3x±ay＝0，故a＝2，故选C．‎ ‎5．(2017·北京卷)若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝__2__.‎ 解析 由双曲线的标准方程可知a2＝1，b2＝m，所以a＝1，c＝，所以＝，解得m＝2.‎ 一　双曲线的定义及其标准方程 双曲线的定义和标准方程中的注意点 ‎(1)在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时，通常考虑利用双曲线的定义．‎ ‎(2)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清楚是指整条双曲线还是双曲线的一支．‎ ‎(3)求双曲线方程时一是标准形式的判断；二是注意a，b，c的关系易错易混．‎ ‎【例1】 (1)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则C的方程是(　B　)‎ A．－＝1　　 B．－＝1‎ C．－＝1　　 D．－＝1‎ ‎(2)设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3＝4，则△PF‎1F2的面积等于(　C　)‎ A．4　　 B．8　　　　‎ C．24　　 D．48‎ ‎(3)已知F1，F2为双曲线－＝1的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|＋|AF2|的最小值为(　C　)‎ A．＋4　　 B．－4‎ C．－2　　 D．＋2 解析 (1)由曲线C的右焦点为F(3,0)，知c＝3，‎ 由离心率e＝，知＝，则a＝2，故b2＝c2－a2＝9－4＝5，‎ 所以双曲线C的方程为－＝1.‎ ‎(2)双曲线的实轴长为2，焦距为＝2×5＝10.据题意和双曲线的定义知2＝－＝－＝，‎ ‎∴＝6，＝8，‎ ‎∴2＋2＝2，∴PF1⊥PF2.‎ ‎∴S△PF‎1F2＝·＝×6×8＝24.‎ ‎(3)|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－‎2a，要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值，当A，P，F1三点共线时，取得最小值，则|AP|＋|AF1|＝|PF1|＝，‎ ‎∴|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－‎2a＝－2.‎ 二　双曲线的几何性质及其应用 双曲线中一些几何量的求解方法 ‎(1)求双曲线的离心率(或范围)．依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．‎ ‎(2)求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．‎ ‎(3)求双曲线的方程．依据题设条件求出a，b的值或依据双曲线的定义求双曲线的方程．‎ ‎(4)求双曲线的焦点(焦距)、实(虚)轴的长．依题设条件及a，b，c之间的关系求解．‎ ‎【例2】 (1)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　C　)‎ A．y＝±x　　 B．y＝±x C．y＝±x　　 D．y＝±x ‎(2)(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为(　A　)‎ A．2　　 B．　　‎ C．　　 D． ‎(3)若双曲线－＝1(a>0，b>0)右顶点为A，过其左焦点F作x轴的垂线交双曲线于M，N两点，且·>0，则该双曲线的离心率的取值范围为(　B　)‎ A．(2，＋∞)　　 B．(1,2)　　　　‎ C．　　 D． 解析 (1)∵e＝＝，‎ ‎∴e2＝＝＝，‎ ‎∴a2＝4b2，＝，∴渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.‎ ‎(2)依题意，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为bx－ay＝0.因为直线bx－ay＝0被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，所以＝，所以‎3a2＋3b2＝4b2，所以‎3a2＝b2，所以e＝＝＝2.故选A．‎ ‎(3)由题意，可得M，N，A(a,0)，‎ ‎∴＝，＝.‎ ‎∵·＞0，∴(a＋c)2－＞0，∴a＋c－＞0，‎ ‎∴‎2a2＋ac－c2＞0，即e2－e－2＜0，又∵e＞1，解得1＜e＜2，故选B．‎ 三　直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系的解决方法 ‎(1)解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程联立，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系，整体代入．‎ ‎(2)与中点有关的问题常用点差法．‎ ‎(3)根据直线的斜率与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．‎ ‎【例3】 若双曲线E：－y2＝1(a＞0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．‎ ‎(1)求k的取值范围；‎ ‎(2)若＝6，点C是双曲线上一点，且＝m(＋)，求k，m的值．‎ 解析 (1)由得 故双曲线E的方程为x2－y2＝1.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.①‎ 因为直线与双曲线右支交于A，B两点，‎ 故 即所以1＜k＜，即k的取值范围是(1，)．‎ ‎(2)由①得x1＋x2＝，x1x2＝，‎ ‎∴＝· ‎＝2＝6，‎ 整理得28k4－55k2＋25＝0，∴k2＝或k2＝，‎ 又1＜k＜，∴k＝，∴x1＋x2＝4，‎ y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝8，‎ 设C(x3，y3)，由＝m(＋)，得 ‎(x3，y3)＝m(x1＋x2，y1＋y2)＝(‎4‎m,‎8m)，‎ ‎∵点C是双曲线上一点，∴‎80m2‎－‎64m2‎＝1，得m＝±，‎ 故k＝，m＝±.‎ ‎1．已知l是双曲线C：－＝1的一条渐近线，点P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·＝0，则点P到x轴的距离为(　C　)‎ A．　　 B．　　‎ C．2　　 D． 解析 F1(－，0)，F2(，0)，不妨设l的方程为y＝x，则可设P(x0，x0)，由·＝(－－x0，－x0)·(－x0，－x0)＝3x－6＝0，得x0＝±，‎ 故P到x轴的距离为＝2，故选C．‎ ‎2．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于两点A，B，若△OAB的面积为，则双曲线的离心率为(　D　)‎ A．　　 B．　　‎ C．　　 D． 解析 由题意可求得＝，所以S△OAB＝××c＝，整理得＝，即e＝，故选D．‎ ‎3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，若＋＝‎6a，且△PF‎1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程为(　B　)‎ A．x±y＝0　　 B．x±y＝0‎ C．x±2y＝0　　 D．2x±y＝0‎ 解析 由题意不妨设－＝‎2a，∵＋＝‎6a，∴＝‎4a，＝‎2a，∵＝‎2c＞‎2a，∴△PF‎1F2最小内角为∠PF‎1F2＝30°，在△PF‎1F2中，由余弦定理得‎4a2＝‎4c2＋‎16a2－2×‎2c×‎4a×cos 30°，解得c＝a，∴b＝a，故双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±y＝0，故选B．‎ ‎4．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为　　.‎ 解析 双曲线的右顶点为A(a,0)，一条渐近线的方程为y＝x，‎ 即bx－ay＝0，圆心A到此渐近线的距离d＝＝，‎ 因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·cos30°＝，即＝，‎ 所以e＝＝.‎ 易错点　求曲线方程时，忽略定义的应用 错因分析：不能利用平面几何知识和双曲线定义解题，使解题无从入手．‎ ‎【例1】 已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程为________．‎ 解析 如图，‎ ＝＝8，＝＝2，＝.‎ 所以－＝8－2＝6.‎ 根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x＞3)．‎ 答案 －＝1(x>3)‎ ‎【跟踪训练1】 (2016·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin ∠MF‎2F1＝，则E的离心率为(　A　)‎ A．　　 B． C．　　 D．2‎ 解析 由MF1⊥x轴上，得M，∴|MF1|＝，‎ 由双曲线的定义可得|MF2|＝‎2a＋|MF1|＝‎2a＋，‎ 又sin ∠MF‎2F1＝＝＝，化简得a＝b，‎ ‎∴e＝.故选A．‎ 课时达标　第51讲 ‎[解密考纲]对双曲线的定义、标准方程及几何性质的考查，通常与平面向量、解三角形方程或不等式综合在一起，以选择题、填空题形式出现，或在解答题中以第一问作考查的第一步．‎ 一、选择题 ‎1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为(　D　)‎ A．5x2－y2＝1　　 B．－＝1‎ C．－＝1　　 D．5x2－y2＝1‎ 解析 ∵抛物线y2＝4x的焦点为 F(1,0)，∴c＝1，∴e＝＝＝，得a2＝，b2＝c2－a2＝ ‎，则双曲线的方程为5x2－y2＝1，故选D．‎ ‎2．已知实数1，m,9成等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为(　C　)‎ A．　　 B．2‎ C．或2　　 D．或 解析 根据条件可知m2＝9，∴m＝±3.当m＝3时，e＝＝；当m＝－3 时，e＝2，故选C．‎ ‎3．双曲线－2y2＝1的渐近线与圆x2＋(y＋a)2＝1相切，则正实数a＝(　C　)‎ A．　　 B． C．　　 D． 解析 ∵双曲线－2y2＝1的渐近线方程为y＝±x，圆心为(0，－a)，半径为1，∴由渐近线和圆相切，得＝1，解得a＝.‎ ‎4．若实数k满足00，b>0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为(　B　)‎ A．－＝1　　 B．－＝1‎ C．－＝1　　 D．－＝1‎ 解析 由e＝知，双曲线为等轴双曲线，则其渐近线方程为y＝±x，由P(0,4)知左焦点F 的坐标为(－4,0)，所以c＝4，则a2＝b2＝＝8.故选B．‎ ‎6．已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(　A　)‎ A．x±y＝0　　 B．x±y＝0‎ C．x±2y＝0　　 D．2x±y＝0‎ 解析 由已知得·＝，解得＝，故选A．‎ 二、填空题 ‎7．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线l：x＋y＝0垂直，C的一个焦点到直线l的距离为1，则C的方程为__x2－＝1__.‎ 解析 ∵双曲线的一条渐近线与直线l：x＋y＝0垂直，‎ ‎∴双曲线的渐近线的斜率为，即＝.①‎ 由题意知双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的一个焦点坐标为(c,0)，根据点到直线的距离公式，得＝1，‎ ‎∴c＝2，即a2＋b2＝4.②‎ 联立①②，解得a2＝1，b2＝3 ，‎ ‎∴双曲线的标准方程为x2－＝1.‎ ‎8．若双曲线x2－＝1(b>0)的一条渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是__(1,2]__．‎ 解析 双曲线的渐近线方程为y＝±bx，则有≥1，解得b2≤3，则e2＝＝1＋b2≤4，所以10，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为__y＝±x__.‎ 解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，|OF|＝，由|‎ AF|＋|BF|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.‎ kAB＝＝＝.‎ 由得kAB＝＝＝·，‎ 则·＝，所以＝⇒＝，‎ 所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.‎ 三、解答题 ‎10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F‎1F2为直径的圆上．‎ 解析 (1)∵离心率e＝，∴双曲线为等轴双曲线，‎ 可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－)在双曲线上，‎ 可得λ＝42－(－)2＝6，∴双曲线方程为x2－y2＝6.‎ ‎(2)证明：∵点M(3，m)在双曲线上，∴32－m2＝6，∴m2＝3，‎ 又双曲线x2－y2＝6的焦点为F1(－2， 0)，F2(2，0)，‎ ‎∴·＝ (－2－3，－m)·(2－3，－m)＝(－3)2－(2)2＋m2＝9－12＋3＝0，‎ ‎∴MF1⊥MF2，∴点M在以F‎1F2为直径的圆上．‎ ‎11．设A，B分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标．‎ 解析 (1)由题意知a＝2，焦点(c,0)到渐近线bx－ay＝0的距离＝，即b＝，‎ ‎∴双曲线方程为－＝1.‎ ‎(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，‎ 则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.‎ 将直线方程代入双曲线方程得x2－16x＋84＝0，‎ 则x1＋x2＝16，y1＋y2＝12.‎ ‎∴∴ 由＋＝t，得(16，12)＝(4t,3t)，‎ ‎∴t＝4，点D的坐标为(4，3)．‎ ‎12．已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.‎ ‎(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；‎ ‎(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．‎ 解析 (1)双曲线C与直线l有两个不同的交点，则方程组有两个不同的实数根，‎ 整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.‎ ‎∴解得－

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