山东省枣庄市2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题

山东省枣庄市2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题

‎2018~2019学年度第二学期质量检测 第Ⅰ卷（选择题 共52分）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上 ‎2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．‎ ‎3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．‎ ‎4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.设集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由交集的定义，即得解.‎ ‎【详解】集合，由交集的定义：‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.‎ ‎2.已知，若；，．那么p是q的（ ）‎ A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 转化，为，分析即得解 ‎【详解】若命题q为真，则，等价于 因此p是q的充分不必要条件 故选：C ‎【点睛】本题考查了充分必要条件的判定，及存在性问题的转化，考查了学生逻辑推理，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.‎ ‎3.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件概率的定义，分别计算即得解.‎ ‎【详解】由题意 事件为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有个事件 由条件概率的定义：‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.‎ ‎4.已知，，，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过分段法，根据指数函数、对数函数和三角函数的性质，判断出，由此选出正确结论.‎ ‎【详解】解：∵，，，；‎ ‎∴.故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用对数函数、指数函数和三角函数的性质比较大小，考查分段法比较大小，属于基础题.‎ ‎5.已知是等差数列的前n项和，且，则的通项公式可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的求和公式，转化为，故，分析即得解 ‎【详解】由题意，等差数列，且 可得 故 ‎ 所以 当时，‎ 则的通项公式可能是 故选：D ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和求和公式，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.‎ ‎6.已知随机变量，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二项分布的期望公式，可计算得，由，即得解.‎ ‎【详解】由题意随机变量，由二项分布的期望公式，可得 故选：D ‎【点睛】本题考查了二项分布的期望公式及概率公式，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.‎ ‎7.已知O是的两条对角线的交点．若，其中，则（ ）‎ A. -2 B. ‎2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量的线性运算，可得，即得解.‎ ‎【详解】‎ 由于，故 所以 故选：A ‎【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生数形结合，数学运算的能力，属于基础题.‎ ‎8.已知随机变量X的分布列：‎ ‎0‎ ‎2‎ 若，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，可得，由随机变量分布列的期望、方差公式，联立即得解.‎ ‎【详解】由题意，‎ 且，又 联立可得：‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了随机变量分布列的期望和方差，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.‎ ‎9.已知是等比数列的前n项和，且是与的等差中项，则（ ）‎ A. 成等差数列 B. 成等差数列 C. 成等差数列 D. 成等差数列 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于是与的等差中项，得到 ，分，两种情况讨论，用等比数列的前n项和公式代入，得到，即，故得解.‎ ‎【详解】由于是与的等差中项，故 ‎ 由于等比数列，‎ 若：，矛盾；‎ 若：‎ ‎，即成等差数列 故选：B ‎【点睛】本题考查了等差、等比数列综合，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.‎ ‎10.已知函数，则使得成立的x的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 转化函数，证明函数单调性，奇偶性，再转化为，即，求解即可.‎ ‎【详解】由题意，函数，定义域为R ‎，故为偶函数 令，在单调递增，且在单调递增 则 因此 故选：C ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性、单调性在解不等式中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.‎ 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．‎ ‎11.有如下命题，其中真命题的标号为（ ）‎ A. 若幂函数的图象过点，则 B. 函数（，且）的图象恒过定点 C. 函数有两个零点 D. 若函数在区间上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是 ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A. 设幂函数，代入，求解幂函数解析式，代入x=3,求解即得解；‎ B. 由恒过定点，令，即得解；‎ C. 转化为,在同一直角坐标系下画出数与的图像，即得解；‎ D. 画出函数的图像，结合,数形结合即得解.‎ ‎【详解】A. 设幂函数，代入，得到，故A不成立；‎ B. 由于恒过定点，因此令，即时，恒有，即图象恒过定点，故B正确；‎ C.转化为 函数与在同一直角坐标系下的图像如图：‎ 两个函数只有一个交点，故函数只有一个零点，C选项不正确.‎ D.函数的图像如图所示，‎ 数形结合，可得若函数在区间上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是，D选项正确.‎ 故选：BD ‎【点睛】本题考查了二次、幂、指数、对数函数的图像与性质，考查了学生概念理解，转化划归，数形结合的能力，属于中档题.‎ ‎12.如下的四个命题中真命题的标号为（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. 的展开式中二项式系数最大的项是 ‎【答案】BCD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用组合数的性质可判断A，B；由二项式定理的二项式系数的性质和通项公式可判断C，D.‎ ‎【详解】由于，故A错误；‎ 由组合数的性质：，，故B正确；‎ ‎，故C正确；‎ 的展开式中二项式系数最大的项是，故D正确.‎ 故选： BCD ‎【点睛】本题考查了组合数的性质和二项式系数的性质，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于中档题.‎ ‎13.已知函数（）在上至少存在两个不同的，满足，且在上具有单调性，点和直线分别为图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（ ）‎ A. 的最小正周期为 B. ‎ C. 在上是减函数 D. 将图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，则 ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由对称中心和对称轴方程，可得，由题意可得，结合三角函数的周期性和单调性，图像平移变换可得所求结论.‎ ‎【详解】由题意可得，即 可得 ‎ 在上至少存在两个最大值或最小值，且在具有单调性 当时，解方程可得 ‎ 的最小正周期为，故A不正确；‎ ‎，故B正确；‎ 由于可得减区间为 ‎ 可得在上是减函数，故C正确；‎ 将图像上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图像，可得，故D错误.‎ 故选：BC ‎【点睛】本题考查了正弦型函数性质的综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.‎ 第Ⅱ卷（共98分）‎ 三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．‎ ‎14.在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为坐标原点，且以Ox为始边，它的终边过点，则的值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由任意角的三角函数定义求得的值，再由两角差的余弦求解的值.‎ ‎【详解】由题意，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了任意角三角函数的定义和两角差的余弦，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.‎ ‎15.已知函数，则________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由对数的运算性质可得 结合函数的解析式可得，进而计算可得答案.‎ ‎【详解】根据题意， ‎ 则 又由 则 故答案为：3‎ ‎【点睛】本题考查了指数、对数的运算和分段函数求值，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.‎ ‎16.向量，，在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中的位置如图所示，若向量与共线，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立平面直角坐标系，从而得到的坐标，这样即可得出的坐标，根据与共线，可求出，从而求出的坐标，即得解.‎ ‎【详解】建立如图所示平面直角坐标系，则：‎ ‎ ；‎ 与共线 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量线性运算和共线的坐标表示，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.‎ ‎17.若，则________，________（用数字作答）．‎ ‎【答案】 (1). -448 (2). 3280‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据通项公式可求出，再令，即可求出 ‎【详解】由于 则 ‎ 令；‎ 令 ‎ 令 上面两式相加得： ‎ 故答案为：-448，3280‎ ‎【点睛】本题考查了二项式的系数及赋值法求系数和，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.‎ 四、解答题：本大题共6小题，共82分．‎ ‎18.已知的图象上相邻两对称轴之间的距离为4．‎ ‎（1）求的单调递增区间；‎ ‎（2）若，且，求的值．‎ ‎【答案】（1），．（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用半角公式和辅助角公式可得，根据相邻两对称轴之间的距离为4求解周期T，即得，再令，求解即得单调递增区间；‎ ‎（2）代入，可得，转化，结合即得解 ‎【详解】（1）解：‎ ‎．‎ 由题意，最小正周期，‎ 所以．所以．‎ 由，，‎ 得，．‎ 所以的单调递增区间为，．‎ ‎（2）因为，‎ 由（1）知，即．‎ 因为，所以．‎ 从而．‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题考查了正弦型函数的综合应用，考查了学生综合分析、转化划归、数学运算的能力，属于中档题.‎ ‎19.最新研究发现，花太多时间玩手机游戏的儿童，患多动症的风险会加倍．青少年的大脑会很快习惯闪烁的屏幕、变幻莫测的手机游戏，一旦如此，他们在教室等视觉刺激较少的地方，就很难集中注意力．研究人员对110名年龄在7岁到8岁的儿童随机调查，并在孩子父母的帮助下记录了他们在1个月里玩手机游戏的习惯．同时，教师记下这些孩子出现的注意力不集中问题．统计得到下列数据：‎ 注意力不集中 注意力集中 总计 不玩手机游戏 ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ 玩手机游戏 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 总计 ‎50‎ ‎60‎ ‎110‎ ‎（1）试估计7岁到8岁不玩手机游戏的儿童中注意力集中的概率；‎ ‎（2）能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为玩手机游戏与注意力集中有关系？‎ 附表：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.840‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎．‎ ‎【答案】（1）（2）在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为玩手机游戏与注意力集中有关系．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用频率表示概率即得解；‎ ‎（2）根据题目所给的数据计算的值，对照表格中的数据，可得出结论.‎ ‎【详解】（1）根据题设数据，可得7岁到8岁不玩手机游戏的儿童中注意力集中的概率为．‎ ‎（2）根据表格中的数据，‎ ‎．‎ 可见，，所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为玩手机游戏与注意力集中有关系．‎ ‎【点睛】本题考查了频率估计概率以及列联表的应用，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.‎ ‎20.如图，在中，D是边BC上一点，，，．‎ ‎（1）求DC的长；‎ ‎（2）若，求的面积．‎ ‎【答案】（1）3（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在中，中分别使用正弦定理，结合，，即，即得解；‎ ‎（2）在中，中分别使用余弦定理，结合，可解得，分别计算，又可得解.‎ ‎【详解】（1）在中，由正弦定理，得．‎ 在中，由正弦定理，得．‎ 因为，所以，所以．‎ 从而有，即．‎ 又，所以．‎ ‎（2）在中，由余弦定理，‎ 得 ‎．‎ 在中，由余弦定理，‎ 得 ‎．‎ 由，得．‎ 因为，所以．‎ 故有．‎ 解得．又，‎ 所以，．‎ ‎；‎ ‎．‎ 故的面积．‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.‎ ‎21.已知数列满足．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求数列的前n项和；‎ ‎（3）已知是公比q大于1的等比数列，且，，设，若是递减数列，求实数的取值范围 ‎【答案】（1）（2）（3）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用项和转换可得，即得；‎ ‎（2），裂项求和法可得解；‎ ‎（3）代入，可得．，转化递减数列为恒成立，化简可得，恒成立，又是递减数列，即得解.‎ ‎【详解】（1）由题意，数列的前n项和．‎ 当时，有，所以．‎ 当时，‎ ‎．‎ 所以，当时，．‎ 又符合时与n的关系式，所以．‎ ‎（2），‎ ‎．‎ ‎（3）由，得．又，所以．‎ 所以．．‎ 因为是递减数列，所以，‎ 即．化简得．‎ 所以，恒成立．‎ 又是递减数列，‎ 所以的最大项为．‎ 所以，即实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查了数列综合，考查了项和转换、裂项求和、数列的单调性等知识点，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算的能力，属于较难题.‎ ‎22.已知函数，．‎ ‎（1）当时，求在上的最大值和最小值：‎ ‎（2）若，恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）最大值是，最小值为0．（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）记的导函数的导数为，分析可得，结合，可得在R上是增函数，再，可得在上是增函数，即得解；‎ ‎（2）分，，三种情况分析的单调性，继而分析的最小值，即得解.‎ ‎【详解】（1）为表述简单起见，记的导函数的导数为．‎ 当时，，则．‎ ‎，所以在R上增函数．‎ 又，所以当时，，‎ 所以在上是增函数．‎ 故在上的最大值是，最小值为．‎ ‎（2），．‎ ‎①若，即时，，‎ 所以在R上是增函数．‎ 又，所以当时，，‎ 所以在上是增函数．‎ 所以当时，．可见，当，．‎ 又是偶函数，所以恒成立．‎ 所以符合题意．‎ ‎②若，即时，，‎ 所以在R上是减函数．‎ 所以当时，，所以在上是减函数．‎ 所以当时，．‎ 这与恒成立矛盾，所以不符合题意．‎ ‎③当时，．‎ 由，得．‎ 由的图象，知存在唯一的，使得．‎ 当时，．‎ 所以在上是减函数．‎ 所以当时，，所以在上是减函数．‎ 所以当时，．‎ 这与恒成立矛盾，所以不符合题意．‎ 综上，a的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了二次求导，含参函数的最值，不等式恒成立问题，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算的能力，属于较难题.‎ ‎23.随着中美贸易战的不断升级，越来越多的国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．中华技术有限公司拟对“麒麟”手机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x（亿元与科技升级直接收益y（亿元）的数据统计如下：‎ 序号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎13‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎25‎ y ‎13‎ ‎22‎ ‎31‎ ‎42‎ ‎50‎ ‎56‎ ‎58‎ ‎68.5‎ ‎68‎ ‎67.5‎ ‎66‎ ‎66‎ 当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：；模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为．‎ ‎（1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“麒麟”手机芯片科技升级的投入为17亿元时的直接收益．‎ 回归模型 模型①‎ 模型②‎ 回归方程 ‎182.4‎ ‎79.2‎ ‎（附：刻画回归效果的相关指数，）‎ ‎（2）为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小．‎ ‎（附：用最小二乘法求线性回归方程的系数：，）‎ ‎（3）科技升级后，“麒麟”芯片效率X大幅提高，经实际试验得X大致服从正态分布．公司对科技升级团队的奖励方案如下：若芯片的效率不超过50%，不予奖励：若芯片的效率超过50%，但不超过53%，每部芯片奖励2元；若芯片的效率超过53%，每部芯片奖励4元记为每部芯片获得的奖励，求（精确到0.01）．‎ ‎（附：若随机变量，则，）‎ ‎【答案】（1）见解析（2）技术升级投入20亿元时，公司的实际收益更大．（3）2.27元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由表格中的数据，，所以，‎ 转化，利用相关指数的定义即得解；‎ ‎（2）当时，由已知可得，可得，可得y与x满足的线性回归方程，代入计算即得结论；‎ ‎（3）由，，所以，即得解.‎ ‎【详解】解：（1）由表格中的数据，，所以，‎ 所以．‎ 可见模型①的相关指数小于模型②的相关指数．‎ 所以回归模型②的拟合效果更好．‎ 所以当亿元时，科技升级直接收益的预测值为 ‎（亿元）．‎ ‎（2）当时，由已知可得．‎ ‎．‎ 所以．‎ 所以当时，y与x满足的线性回归方程为．‎ 当时，科技升级直接收益的预测值为亿元．‎ 当亿元时，实际收益的预测值为亿元亿元，‎ 所以技术升级投入20亿元时，公司的实际收益更大．‎ ‎（3）因为，，所以 ‎；‎ ‎．‎ 所以（元）．‎ ‎【点睛】本题考查了线性回归方程、回归系数，正态分布等知识点，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.‎