【数学】2020届一轮复习新课改省份专用版5-1平面向量的概念及其线性运算作业

【数学】2020届一轮复习新课改省份专用版5-1平面向量的概念及其线性运算作业

课时跟踪检测(三十一)　平面向量的数量积与平面向量应用举例 一、题点全面练 ‎1．平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，(a＋2b)·a＝2，下列说法正确的是(　　)‎ A．a⊥b　　　　　　　 B.a与b同向 C．a与b反向 D．a与b夹角为60°‎ 解析：选B　因为(a＋2b)·a＝1＋2××1×cos θ＝2，得cos θ＝1，所以θ＝0°，则a，b同向，故选B.‎ ‎2．(2018·长春模拟)向量a，b均为非零向量，若(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D． 解析：选B　因为(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，所以(a－2b)·a＝0，(b－2a)·b＝0，即a2－2a·b＝0，b2－2a·b＝0，所以b2＝a2，a·b＝，cos〈a，b〉＝＝＝.因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.‎ ‎3.(2019·茂名联考)如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则·＝(　　)‎ A．2 B.3‎ C．6 D．12‎ 解析：选C　·＝(＋)·(－)＝(＋)·(2－)＝2||2＋·－||2＝8＋2×2×－4＝6.‎ ‎4．(2018·贵州黔东南州一模)已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，且∠DAB＝90°，AB＝2，AD＝1，若点Q满足＝2，则·＝(　　)‎ A．－ B. C．－ D． 解析：选D　以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．‎ 又＝2，∴Q，‎ ‎∴＝，＝，‎ ‎∴·＝＋1＝.故选D.‎ ‎5．(2019·贵阳模拟)如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，找出D点的位置，计算·的值为(　　)‎ A．10 B.11‎ C．12 D．13‎ 解析：选B　以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4,1)，C(6,4)，根据四边形ABCD为平行四边形，可以得到D(2,3)，所以·＝(4,1)·(2,3)＝8＋3＝11.故选B.‎ ‎6．(2018·武汉模拟)在△ABC中，AC＝2AB＝2，∠BAC＝120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且＝3，则·的值是(　　)‎ A．－ B.－ C．－ D．－ 解析：选A　∵||2＝2＝(||2＋||2＋2·)＝(12＋22＋2×1×2×cos 120°)＝，∴||＝，∴| |＝.∵||2＝||2＋||2－2||·||·cos 120°＝4＋1－2×2×1×＝7，∴||＝，||＝，∴·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝||2－||2＝－＝－，故选A.‎ ‎7．(2018·长春一模)已知在正方形ABCD中，＝，＝，则在 方向上的投影为________．‎ 解析：设正方形ABCD的边长为4，建立如图所示的平面直角坐标系，则由已知可得C(4,4)，E(2,0)，F(0,1)，所以＝(－2，－4)，＝(－4，－3)，则在方向上的投影为＝＝4.‎ 答案：4‎ ‎8．边长为2的等边△ABC所在平面内一点M满足＝＋，则·＝________.‎ 解析：∵·＝2×2×cos＝2，‎ ‎∴·＝(－)·(－)‎ ‎＝· ‎＝·－||2－||2＋· ‎＝－×22－×22＋＝－.‎ 答案：－ ‎9．已知点M，N满足||＝||＝3，且|＋|＝2，则M，N两点间的距离为________．‎ 解析：依题意，得|＋|2＝||2＋||2＋2·＝18＋2·＝20，则·＝1，‎ 故M，N两点间的距离为||＝|－|‎ ‎＝ ＝＝4.‎ 答案：4 ‎ ‎10．在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足||＝，则·的取值范围为________．‎ 解析：不妨设点M靠近点A，点N靠近点C，以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则B(0,0)，A(0,2)，C(2,0)，‎ 线段AC的方程为x＋y－2＝0(0≤x≤2)．‎ 设M(a,2－a)，N(a＋1,1－a)(由题意可知0＜a＜1)，‎ ‎∴＝(a,2－a)，＝(a＋1,1－a)，‎ ‎∴·＝a(a＋1)＋(2－a)(1－a)‎ ‎＝2a2－2a＋2＝22＋，‎ ‎∵0＜a＜1，∴由二次函数的知识可得·∈.‎ 答案： ‎11．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.‎ ‎(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；‎ ‎(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．‎ 解：由已知得，a·b＝4×8×＝－16.‎ ‎(1)①∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝4.‎ ‎②∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，‎ ‎∴|4a－2b|＝16.‎ ‎(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，‎ ‎∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，‎ 即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7.‎ 当k＝－7时，(a＋2b)⊥(ka－b)．‎ ‎12．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．‎ ‎(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长．‎ ‎(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．‎ 解：(1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，‎ 则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．‎ 所以|＋|＝2，|－|＝4.‎ 故所求的两条对角线的长分别为2，4.‎ ‎(2)由题设知，＝(－2，－1)，‎ －t＝(3＋2t,5＋t)，‎ 由(－t)·＝0，‎ 得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，‎ 从而5t＝－11，所以t＝－.‎ 二、专项培优练 ‎(一)易错专练——不丢怨枉分 ‎1．已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－，则λ＝(　　)‎ A. B. C. D． 解析：选A　如图，设＝b，＝c，‎ 则|b|＝|c|＝2，b·c＝|b||c|cos 60°＝2.又＝＋＝－b＋(1－λ)c，＝＋＝－c＋λb，‎ 由·＝－，得[－b＋(1－λ)c]·(－c＋λb)＝(λ－1)|c|2－λ|b|2＋(λ－λ2＋1)b·c＝－，‎ 即4(λ－1)－4λ＋2(λ－λ2＋1)＝－，‎ 整理得4λ2－4λ＋1＝0，即(2λ－1)2＝0，解得λ＝.‎ ‎2．已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．‎ 解析：a与b的夹角为锐角，即a·b＞0且a与b不共线，则解得λ＜－或0＜λ＜或λ＞，所以λ的取值范围是∪∪.‎ 答案：∪∪ ‎3．已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，且b在a方向上的投影为3，则向量a与b的夹角为________．‎ 解析：因为a·b＝3＋m，|a|＝＝2，|b|＝，由|b|cos〈a，b〉＝3，可得 ‎＝3，故＝3，解得m＝，故|b|＝＝2，故cos〈a，b〉＝＝，即〈a，b〉＝，故向量a与b的夹角为.‎ 答案： ‎(二)交汇专练——融会巧迁移 ‎4．[与解三角形交汇]已知P为△ABC所在平面内一点，＋＋＝0，||＝||＝||＝2，则△ABC的面积等于(　　)‎ A. B.2 C．3 D．4 解析：选B　由||＝||得，△PBC是等腰三角形，取BC的中点为D，则PD⊥BC，又＋＋＝0，所以＝－(＋)＝－2，所以PD＝AB＝1，且PD∥AB，故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，由||＝2，||＝1可得||＝，则||＝2，所以△ABC的面积为×2×2＝2.‎ ‎5．[与三角函数、数列交汇]已知向量a＝(cos x，－1)，b＝，函数f(x)＝(a＋b)·a－2.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；‎ ‎(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f(x)的图象经过点，b，a，c成等差数列，且·＝9，求a的值．‎ 解：(1)∵f(x)＝(a＋b)·a－2＝|a|2＋a·b－2＝cos2x＋1＋sin xcos x＋－2＝(cos 2x＋1)＋1＋sin 2x－＝cos 2x＋sin 2x＝sin，‎ ‎∴f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ ‎∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．‎ ‎(2)由f(A)＝sin＝，‎ 得2A＋＝＋2kπ或2A＋＝＋2kπ(k∈Z)，‎ 又0＜A＜π，∴A＝.‎ ‎∵b，a，c成等差数列，∴2a＝b＋c.‎ ‎∵·＝bccos A＝bc＝9，∴bc＝18.‎ 由余弦定理，得cos A＝－1＝－1＝－1＝，∴a＝3(负值舍去)．‎ ‎6．[与解析几何交汇]已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且·＝0.‎ ‎(1)求动点P的轨迹方程；‎ ‎(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任意一条直径，求·的最值．‎ 解：(1)设P(x，y)，则Q(8，y)．‎ ‎ 由·＝0，‎ 得||2－||2＝0，‎ 即(2－x)2＋(－y)2－(8－x)2＝0，化简得＋＝1.‎ 所以动点P在椭圆上，其轨迹方程为＋＝1.‎ ‎(2)易知＝＋，＝＋，‎ 且＋＝0，由题意知N(0,1)，‎ 所以·＝2－2＝(－x)2＋(1－y)2－1＝16＋(y－1)2－1＝－y2－2y＋16＝－(y＋3)2＋19.‎ 因为－2≤y≤2，‎ 所以当y＝－3时，·取得最大值19，‎ 当y＝2时，· 取得最小值12－4.‎ 综上，·的最大值为19，最小值为12－4.‎