甘肃省兰州市33中2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题

甘肃省兰州市33中2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题

‎33中2018-2019学年度第一学期期中考试试卷高二年级理科数学试卷 一、选择题 ‎1.设x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为（ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数经过时z取得最大值，故，故选D．‎ 点睛:本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．‎ ‎2.：，使，则为（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，使 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据含特称量词命题的否定可直接写出结果.‎ ‎【详解】由含特称量词命题的否定可知为：，.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.‎ ‎3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2017年1月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是（ ）‎ A. 月接待游客逐月增加 B. 年接待游客量逐年减少 C. 各年的月接待游客量高峰期大致在6、7月 D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性较小，变化比较稳定 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由折线图依次判断各个选项可得结果.‎ ‎【详解】对于，年月至月，月接待游客逐月减少，错误；‎ 对于，年至年相同月份接待游客量呈现递增状态，则年接待游客量逐渐增加，错误；‎ 对于，每年的月接待游客量最高，则隔年的月接待游客量高峰期在月，错误；‎ 对于，每年月至月的月接待游客量的极差小于月至月的月接待游客量的极差，由此可见知每年月至月的月接待游客量波动较小，变化较稳定，正确.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查根据折线统计图解决实际问题，考查对于折线图的读取，属于基础题.‎ ‎4.将两个数，交换，使，，下面语句正确的一组是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据换序的方法，应该引入一个新的量c，依次赋值即可.‎ ‎【详解】，，由知；由知；由知.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了算法语句，赋值语句的应用，属于简单题.‎ ‎5.某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图据此分析，甲、乙两位运动员得分的中位数分别为（ ）‎ A. 23，36 B. 26，‎31 ‎C. 26，36 D. 28，37‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据中位数的定义可直接求得结果.‎ ‎【详解】将甲、乙的得分分别按照从小到大的顺序进行排序，‎ 甲的中位数为从小到大的第个数，为；‎ 乙的中位数为从小到大的第个数，为.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查利用茎叶图求解中位数的问题，属于基础题.‎ ‎6.下列各数中，最小的是( 　)‎ A. 101 010(2) B. 111(5) C. 32(8) D. 54(6)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 故最小的是 故答案选 ‎7.某校高一年级有甲，乙，丙三位学生，他们前三次月考的物理成绩如表：‎ 第一次月考物理成绩 第二次月考物理成绩 第三次月考物理成绩 学生甲 ‎80‎ ‎85‎ ‎90‎ 学生乙 ‎81‎ ‎83‎ ‎85‎ 学生丙 ‎90‎ ‎86‎ ‎82‎ 则下列结论正确的是（　　）‎ A. 甲，乙，丙第三次月考物理成绩的平均数为86‎ B. 在这三次月考物理成绩中，甲的成绩平均分最高 C. 在这三次月考物理成绩中，乙的成绩最稳定 D. 在这三次月考物理成绩中，丙的成绩方差最大 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由表格中数据，利用平均数公式以及方差的定义与性质，对选项中的命题逐一判断正误即可．‎ ‎【详解】由表格中数据知，甲、乙、丙的第三次月考物理成绩的平均数为 ‎，错误；‎ 这三次月考物理成绩中，甲的成绩平均分为85，‎ 丙的成绩平均分最高为，∴错误；‎ 这三次月考物理成绩中，乙的成绩波动性最小，最稳定，∴正确；‎ 这三次月考物理成绩中，甲的成绩波动性最大，方差最大，∴错误．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了平均数公式、方差定义与性质，是基础题．方差反映了随机变量稳定于均值的程度，， .‎ ‎8.如图的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入，，的值分别为，，，则输出和的值分别为（ ）‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 模拟执行程序框图，可得：，，不满足，不满足，‎ ‎，满足，，满足，， 不满足，满足，输出的值为2，的值为4，故选A.‎ ‎9.若，则下列不等式成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由不等式性质证明不等式是正确的，举反例说明不等式是错误的．‎ ‎【详解】若，则、均错，若，则错，‎ ‎∵，∴，C正确．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查不等式的性质，解题时一定要注意不等式的性质：“不等式两边同乘以或除以一个正数，不等号方向不变，同乘以或除以一个负数，不等号方向改变”，这里一定要注意所乘（或除）的数一定要分正负，否则易出错．‎ ‎10.一箱产品中有正品4件，次品2件，从中任取2件，事件：‎ ‎①恰有1件次品和恰有2件次品； ②至少有1件次品和全是次品；‎ ‎③至少有1件正品和至少1件次品； ④至少有1件次品和全是正品.‎ 其中互斥事件为（ ）‎ A ①③④ B. ①④ C. ②③④ D. ①②‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据互斥事件的定义依次判断各个选项即可得到结果.‎ ‎【详解】对于①，恰有件次品和恰有件次品不可能同时发生，为互斥事件；‎ 对于②，至少有件次品包含全是次品的情况，不是互斥事件；‎ 对于③，至少有件正品和至少有件次品均包含件次品和件正品的情况，不是互斥事件；‎ 对于④，至少有件次品和全是正品不可能同时发生，为互斥事件.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查互斥事件的辨析，关键是明确互斥事件的定义，属于基础题.‎ ‎11.小正方形按照下图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成数列有以下结论:①；②是一个等差数列；③数列是一个等比数列；④数列的递堆公式其中正确的是（ ）‎ ‎ ‎ A. ①②④ B. ①③④ C. ①② D. ①④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由图形可得：a1=1,a2=1+2，…‎ ‎∴ .‎ 所以①a5=15； 正确； ‎ ‎②an−an−1= n,所以数列{an}不是一个等差数列；故②错误；‎ ‎③数列{an}不是一个等比数列；③错误；‎ ‎④数列{an}的递推关系是an+1=an+n+1(n∈N∗).正确；‎ 本题选择D选项.‎ 点睛： 数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．‎ ‎12.若正实数满足，则（ ）‎ A. 有最大值4 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：因为正实数，满足，所以，故有最小值4，故A不正确；由基本不等式可得，故有最大值，故B不正确；由于，故由最大值为，故C正确；，故由最小值，故D不正确．‎ 考点：基本不等式 二、填空题 ‎13.已知，应用秦九韶算法计算时的值时，_______.‎ ‎【答案】11‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据秦九韶算法将变形，代入可求得结果.‎ ‎【详解】，‎ 当时，，，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查秦九韶算法的问题，属于基础题.‎ ‎14.已知公比不为1的等比数列的首项，前项和为，若是与的等差中项，则__________．‎ ‎【答案】2017‎ ‎【解析】‎ 由题设可得，又，故，则，应填答案．‎ ‎15.若不等式x2﹣kx+k﹣1＞0对x∈（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是 ．‎ ‎【答案】（﹣∞，2]‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，分离参数，利用函数的单调性，即可得到实数k的取值范围．‎ 解：不等式x2﹣kx+k﹣1＞0可化为（1﹣x）k＞1﹣x2‎ ‎∵x∈（1，2）‎ ‎∴k＜=1+x ‎∴y=1+x是一个增函数 ‎∴k≤1+1=2‎ ‎∴实数k取值范围是（﹣∞，2]‎ 故答案为（﹣∞，2]‎ 考点：一元二次不等式的应用．‎ ‎16.已知实数，满足约束条件，若（，）的最大值为12，则的最小值为__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件可得可行域，利用线性规划的知识可知过时，取最大值，由此得到，利用配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值.‎ ‎【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：‎ 将化为，则取最大值时，直线在轴截距最大；‎ ‎，，，则如图所示过点时，最大.‎ 由得：，，‎ ‎（当且仅当，即时取等号），‎ 即的最小值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查线性规划与基本不等式的综合应用问题，关键是能够利用线性规划求得最值，得到满足的关系式，进而根据基本不等式问题中“”的应用配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最值.‎ 三、解答题 ‎17.已知命题：，，命题：，，若命题是真命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数的性质和值域可分别求得命题为真时的取值范围；根据为真可知至少一个为真命题，由此可得结果.‎ ‎【详解】若命题为真，则，‎ 又，∴，∴；‎ 若命题为真，则当时，，解得：，满足条件；‎ 当时，，解得：；‎ 当时，满足条件；‎ ‎；‎ 为真命题，则至少一个为真命题，或，‎ 即实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查根据复合命题的真假性求解参数范围的问题，关键是能够利用二次函数的性质和值域求得两个命题分别为真时参数的取值范围.‎ ‎18.华罗庚中学高二排球队和篮球队各有10名同学，现测得排球队10人的身高（单位：）分别是：162、170、171、182、163、158、179、168、183、168，篮球队10人的身高（单位：）分别是：170、159、162、173、181、165、176、168、178、179.‎ ‎（1）请根据两队身高数据作出茎叶图，并分析指出哪个队的身高数据方差较小（无需计算）以及排球队的身高数据的中位数与众数；‎ ‎（2）现从两队所有身高超过的同学中随机抽取三名同学，则恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是多少？‎ ‎【答案】（1）茎叶图见解析,篮球队的身高数据方差较小.排球队的身高数据中位数为169,众数168‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知数据可画出茎叶图；根据茎叶图可知篮球队的身高数据更集中，可知方差较小；由中位数和众数的定义可求得结果；‎ ‎（2）利用列举法可得到所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，由古典概型概率公式可求得结果.‎ ‎【详解】（1）茎叶图如图所示：‎ 由茎叶图可知，排球队的平均身高为，篮球队的平均身高为，可知篮球队的身高在平均数附近的集中程度高于排球队的集中程度，由此可知：篮球队的身高数据方差较小.‎ 将排球队的数据按从小到大数据排列，则中位数为：，‎ 排球队身高数据中，个数最多，则众数.‎ ‎（2）两队所有身高超过的同学恰有人，其中人来自排球队，记为，人来自篮球队，记为，则从人中抽取名同学的基本事件为：‎ ‎，，，，，，，，，，共个；‎ 其中恰好两人来自排球队一人来自篮球队所含的事件有：，，，，，，共个,‎ 恰好两人来自排球队,一人来自篮球队的概率.‎ ‎【点睛】本题考查茎叶图的画法、根据茎叶图计算中位数和众数以及判断方差大小的问题、古典概型概率问题的求解等知识；求解古典概型概率问题时，如基本事件个数较少，则常采用列举法来进行求解.‎ ‎19.已知数列的前项和为，，是等差数列，且.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1），.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先利用求出数列的通项公式，再求数列 的通项公式；（2）先求出，再利用等差等比数列的求和公式以及裂项相消法得解.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，两式相减，得，‎ ‎∴.又当时，，∴.‎ 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以，‎ ‎∴.因为当数列为等差数列，∴.‎ ‎（2）据（1）可知，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查递推公式求数列通项，考查分组求和，考查等差数列和等比数列的前n项和，考查等差等比数列的通项公式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎20.某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的政治成绩（均为整数）分成六段：，，，…后得到如下频率分布直方图.‎ ‎（1）根据频率分布直方图，估计该校高二年级学生期中考试政治成绩的平均分、众数、中位数；（小数点后保留一位有效数字）‎ ‎（2）用分层抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则各分数段抽取的人数分别是多少？‎ ‎【答案】（1）71；（2）抽取人数依次为2人；3人；3人；6人；5人；1人 ‎【解析】‎ ‎【试题分析】（1‎ ‎）依据题设提供的频率分布直方图中的图形信息与数据信息可知众数为75，，中位数为70．3，平均数为．（2）按照分层抽样的思想方法求出各层的抽取的比例为1:3，然后计算出各层的人数分别为6,9,9,18,15,3，进而算出所抽取的人数2人；3人；3人；6人；5人；1人．‎ 解：（1）由图可知众数为75，当分数x<70．3时对应的频率为0．5，所以中位数为70．3，平均数为 ‎（2）各层抽取比例为，各层人数分别为6,9,9,18,15,3，所以抽取人数依次为2人；3人；3人；6人；5人；1人 ‎21.某种设备的使用年限(年)和维修费用(万元),有以下的统计数据:‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎（Ⅰ）画出上表数据的散点图；‎ ‎（Ⅱ）请根据上表提供的数据，求出关于的线性 回归方程；‎ ‎（Ⅲ）估计使用年限为10年，维修费用是多少万元？‎ ‎（附：线性回归方程中，其中，）．‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2) ;(3) 当时，万元 ‎【解析】‎ ‎（1）直接将四个点在平面直角坐标系中描出；（2）先计算，，再借助计算出，求出回归方程；（3）依据线性回归方程求出当时，的值：‎ ‎【试题分析】（1）按数学归纳法证明命题的步骤：先验证时成立，再假设当时，不等式成立，分析推证时也成立：‎ ‎(1) ‎ ‎(2)； ‎ ‎ ‎ 所求的线性回归方程：‎ ‎ (3)当时，万元 ‎22.已知等比数列的公比，且满足：，且是的等差中项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求使成立的正整数的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）6．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）求等比数列的通项公式，关键是求出首项和公比，这可直接用首项和公比表示出已知并解出即可（可先把已知化简后再代入）；（2）求出的表达式后，要求其前项和，需用错位相减法．然后求解不等式可得最小值．‎ 试题解析：（1）∵是的等差中项，∴，‎ 代入，可得，‎ ‎∴，∴，解之得或，‎ ‎∵，∴，∴数列的通项公式为 ‎（2）∵，‎ ‎∴，．．．．．．．．．．．．．．．①‎ ‎，．．．．．．．．．．．．．②‎ ‎②—①得 ‎∵，∴，∴，‎ ‎∴使成立的正整数的最小值为6‎ 考点：等比数列通项公式，错位相减法．‎