2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：选修4－4 第2讲 参数方程
第 2 讲 参数方程
一、知识梳理
1．参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，
从参数方程得到普通方程．
(2)如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝f(t)，把它代入普通方程，求
出另一个变数与参数的关系 y＝g(t)，那么{x＝f（t），
y＝g（t） 就是曲线的参数方程，在参数方程与
普通方程的互化中，必须使 x，y 的取值范围保持一致．
2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程
名称 普通方程 参数方程
直线 y－y0＝k(x－x0) {x＝x0＋tcos α
y＝y0＋tsin α
(t 为参数)
圆 (x－x0)2＋(y－y0)2＝R2 {x＝x0＋Rcos θ
y＝y0＋Rsin θ
(θ 为参数且 0≤θ<2π)
椭圆
x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0) {x＝acos t
y＝bsin t
(t 为参数且 0≤t<2π)
抛物线 y2＝2px(p>0) {x＝2pt2
y＝2pt (t 为参数)
常用结论
1．直线参数方程的三个应用及一个易错点
(1)三个应用：
已知直线 l 经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α，点 M(x，y)为 l 上任意一点，则直线 l 的参
数方程为{x＝x0＋tcos α，
y＝y0＋tsin α (t 为参数)．
①若 M1，M2 是直线 l 上的两个点，对应的参数分别为 t1，t2，则|M0M1→
| |M0M2→
|＝|t1t2|，|M1M2→
|＝|t2－t1|＝ （t2＋t1）2－4t1t2；
②若线段 M1M2 的中点为 M3，点 M1，M2，M3 对应的参数分别为 t1，t2，t3，则 t3＝
t1＋t2
2 ；
③若直线 l 上的线段 M1M2 的中点为 M0(x0，y0)，则 t1＋t2＝0，t1t2<0.
(2)一个易错点：在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该
直线倾斜角的正余弦值．否则参数不具备该几何含义．
2．掌握圆的参数方程的两种应用
(1)解决与圆上的动点有关的距离取值范围以及最大值和最小值问题，通常可以转化为
点与圆、直线与圆的位置关系．
(2)求距离的问题，通过设圆的参数方程，就转化为求三角函数的值域问题．
二、教材衍化
1．曲线{x＝－1＋cos θ，
y＝2＋sin θ (θ 为参数)的对称中心( )
A．在直线 y＝2x 上 B．在直线 y＝－2x 上
C．在直线 y＝x－1 上 D．在直线 y＝x＋1 上
解析：选 B.由{x＝－1＋cos θ，
y＝2＋sin θ， 得{cos θ＝x＋1，
sin θ＝y－2.
所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.曲线是以(－1，2)为圆心，1 为半径的圆，所以对称中心为(－
1，2)，在直线 y＝－2x 上．
2．在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l：{x＝t，
y＝t－a(t 为参数)过椭圆 C：{x＝3cos φ，
y＝2sin φ
(φ 为参数)的右顶点，则常数 a 的值为________．
解析：直线 l 的普通方程为 x－y－a＝0，
椭圆 C 的普通方程为x2
9＋y2
4＝1，
所以椭圆 C 的右顶点坐标为(3，0)，若直线 l 过点(3，0)，
则 3－a＝0，
所以 a＝3.
答案：3
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)参数方程{x＝f（t），
y＝g（t） 中的 x，y 都是参数 t 的函数．( )
(2)过 M0(x0，y0)，倾斜角为 α (α ≠ π
2)的直线 l 的参数方程为{x＝x0＋tcos α，
y＝y0＋tsin α (t 为参
数)．参数 t 的几何意义表示：直线 l 上以定点 M0 为起点，任一点 M(x，y)为终点的有向线
段 M0M 的数量．( )
(3)方程{x＝2cos θ，
y＝1＋2sin θ(θ 为参数)表示以点(0，1)为圆心，以 2 为半径的圆．( )
(4)已知椭圆的参数方程{x＝2cos t，
y＝4sin t (t 为参数)，点 M 在椭圆上，对应参数 t＝π
3，点 O
为原点，则直线 OM 的斜率为 3.( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
二、易错纠偏
常见误区|Ｋ (1)不注意互化的等价性致误；
(2)直线参数方程中参数 t 的几何意义不清致误；
(3)交点坐标计算出错致错．
1．若曲线 C 的参数方程为{x＝1＋cos 2θ，
y＝sin2θ (θ 为参数)，则曲线 C 上的点的轨迹是
( )
A．直线 x＋2y－2＝0
B．以(2，0)为端点的射线
C．圆(x－1)2＋y2＝1
D．以(2，0)和(0，1)为端点的线段
解析：选 D.将曲线 C 的参数方程化为普通方程得 x＋2y－2＝0(0≤x≤2，0≤y≤1)．故
选 D.
2．已知直线{x＝x0＋at，
y＝y0＋bt (t 为参数)上两点 A，B 对应的参数值是 t1，t2，则|AB|＝( )
A．|t1＋t2| B．|t1－t2|
C. a2＋b2|t1－t2| D．|t1－t2|
a2＋b2
解 析 ： 选 C. 依 题 意 ， A(x0 ＋ at1 ， y0 ＋ bt1) ， B(x0 ＋ at2 ， y0 ＋ bt2) ， 则 |AB| ＝
[x0＋at1－（x0＋at2）]2＋[y0＋bt1－（y0＋bt2）]2＝ a2＋b2|t1－t2|.故选 C.
3．在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲
线 C1 的极坐标方程为 ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线 C2 的参数方程为{x＝t2，
y＝2 2t(t 为参数)，
则 C1 与 C2 交点的直角坐标为________．
解析：由 ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，得 x＋y＝－2 ①.
又{x＝t2，
y＝2 2t，消去 t，得 y2＝8x ②.
联立①②得{x＝2，
y＝－4，即交点坐标为(2，－4)．
答案：(2，－4)
参数方程与普通方程的互化(自主练透)
1．将下列参数方程化为普通方程．
(1){x＝1
t，
y＝1
t t2－1
(t 为参数)；
(2){x＝2＋sin2θ，
y＝－1＋cos 2θ(θ 为参数)．
解：(1)由 t2－1≥0⇒t≥1 或 t≤－1
⇒0
0，t2>0，所以|PA|＋|PB|＝t1＋t2＝7.
2．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为{x＝3cos θ，
y＝sin θ (θ 为参数)，直线 l 的参
数方程为{x＝a＋4t，
y＝1－t (t 为参数)．
(1)若 a＝－1，求 C 与 l 的交点坐标；
(2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17，求 a.
解：(1)曲线 C 的普通方程为x2
9＋y2＝1.
当 a＝－1 时，直线 l 的普通方程为 x＋4y－3＝0.
由{x＋4y－3＝0，
x2
9 ＋y2＝1，
解得{x＝3，
y＝0 或{x＝－21
25，
y＝24
25.
从而 C 与 l 的交点坐标为(3，0)，(－21
25，
24
25).
(2)直线 l 的普通方程为 x＋4y－a－4＝0，故 C 上的点(3cos θ，sin θ)到 l 的距离为 d＝
|3cos θ＋4sin θ－a－4|
17
＝|5sin（θ＋φ）－a－4|
17
，φ 满足 tan φ＝3
4.
当－a－4≤0，即 a≥－4 时，d 的最大值为a＋9
17 .
由题设得a＋9
17
＝ 17，所以 a＝8；
当－a－4>0，即 a<－4 时，d 的最大值为
－a＋1
17
，
由题设得
－a＋1
17
＝ 17，所以 a＝－16.
综上，a＝8 或 a＝－16.
参数方程与极坐标方程的综合应用(师生共研)
(2020·淄博模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，设倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为
{x＝ 3＋tcos α，
y＝2＋tsin α (α 为参数)．在以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立的极坐
标系中，曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝ 2
1＋3cos2θ，直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 A，
B.
(1)若 α＝π
6，求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；
(2)若|OP|为|PA|与|PB|的等比中项，其中 P( 3，2)，求直线 l 的斜率．
【解】 (1)因为 α＝π
6，所以直线 l 的参数方程为{x＝ 3＋ 3
2 t，
y＝2＋1
2t
(t 为参数)．
消 t 可得直线 l 的普通方程为 x－ 3y＋ 3＝0.
因为曲线 C 的极坐标方程 ρ＝ 2
1＋3cos2θ可化为 ρ2(1＋3cos2θ)＝4，
所以曲线 C 的直角坐标方程为 4x2＋y2＝4.
(2)设直线 l 上两点 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，
将{x＝ 3＋tcos α，
y＝2＋tsin α 代入曲线 C 的直角坐标方程 4x2＋y2＝4 可得 4( 3＋tcos α)2＋(2
＋tsin α)2＝4，
化简得(4cos2α＋sin2α)t2＋(8 3cos α＋4sin α)t＋12＝0，
因为|PA|·|PB|＝|t1t2|＝ 12
4cos2α＋sin2α，|OP|2＝7，
所以 12
4cos2α＋sin2α＝7，解得 tan2α＝16
5 .
因为 Δ＝(8 3cos α＋4sin α)2－48(4cos2α＋sin2α)>0
即 2sin α(2 3cos α－sin α)>0，可知 tan α>0，
解得 tan α＝4 5
5 ，
所以直线 l 的斜率为4 5
5 .
(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角
坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何
意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．
1．(2020·河南省第五次测评)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：{x＝ 5cos α，
y＝2＋ 5sin α(α 为参
数)．以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2：ρ2＝4ρcos θ－3.
(1)求 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；
(2)若曲线 C1 与 C2 交于 A，B 两点，A，B 的中点为 M，点 P(0，－1)，求|PM|·|AB|的
值．
解：(1)曲线 C1 的普通方程为 x2＋(y－2)2＝5.
由 ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，得曲线 C2 的直角坐标方程为 x2＋y2－4x＋3＝0.
(2)将两圆的方程 x2＋(y－2)2＝5 与 x2＋y2－4x＋3＝0 作差得直线 AB 的方程为 x－y－1
＝0.
点 P(0，－1)在直线 AB 上，设直线 AB 的参数方程为{x＝ 2
2 t，
y＝－1＋ 2
2 t
(t 为参数)，
代入 x2＋y2－4x＋3＝0 化简得 t2－3 2t＋4＝0，所以 t1＋t2＝3 2，t1t2＝4.
因为点 M 对应的参数为t1＋t2
2 ＝3 2
2 ，
所以|PM|·|AB|＝|t1＋t2
2 |·|t1－t2|＝3 2
2 × （t1＋t2）2－4t1t2＝3 2
2 × 18－4 × 4＝3.
2．(2019·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为{x＝1－t2
1＋t2，
y＝ 4t
1＋t2
(t 为参
数)．以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2ρcos
θ＋ 3ρsin θ＋11＝0.
(1)求 C 和 l 的直角坐标方程；
(2)求 C 上的点到 l 距离的最小值．
解：(1)因为－1＜1－t2
1＋t2≤1，
且 x2＋(y
2 )2
＝(1－t2
1＋t2 )2
＋ 4t2
（1＋t2）2＝1，
所以 C 的直角坐标方程为 x2＋y2
4＝1(x≠－1)．
l 的直角坐标方程为 2x＋ 3y＋11＝0.
(2)由(1)可设 C 的参数方程为{x＝cos α，
y＝2sin α (α 为参数，－π＜α＜π)．
C 上的点到 l 的距离为
|2cos α＋2 3sin α＋11|
7
＝
4cos(α－π
3)＋11
7 .
当 α＝－2π
3 时，4cos(α－π
3 )＋11 取得最小值 7，故 C 上的点到 l 距离的最小值为 7.
[基础题组练]
1．(2020·安徽巢湖模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l： {x＝－1
2t，
y＝3＋ 3
2 t
(t 为参
数)．以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝
4sin(θ＋π
3)．
(1)求曲线 C 的直角坐标方程．
(2)设点 M 的直角坐标为(0，3)，直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，求|MA|＋|MB|的值．
解：(1)把 ρ＝4sin(θ＋π
3 )，展开得 ρ＝2sin θ＋2 3 cos θ，两边同乘 ρ 得 ρ2＝2ρsin θ＋
2 3ρcos θ ①.
将 ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y 代入①，
即得曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2 3x－2y＝0 ②.
(2)将{x＝－1
2t，
y＝3＋ 3
2 t
代入②式，得 t2＋3 3t＋3＝0，
点 M 的直角坐标为(0，3)．
设这个方程的两个实数根分别为 t1，t2，
则 t1＋t2＝－3 3，t1·t2＝3，
所以 t1<0，t2<0.
则由参数 t 的几何意义即得|MA|＋|MB|＝|t1＋t2|＝3 3.
2．(2020·太原模拟)在直角坐标系中，圆 C 的参数方程为： {x＝1＋2cos α，
y＝ 3＋2sin α (α 为参
数)，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同．
(1)求圆 C 的极坐标方程；
(2)若直线 l：{x＝tcos φ，
y＝tsin φ (t 为参数)被圆 C 截得的弦长为 2 3，求直线 l 的倾斜角．
解：(1)圆 C：{x＝1＋2cos α，
y＝ 3＋2sin α，消去参数 α 得(x－1)2＋(y－ 3)2＝4，
即 x2＋y2－2x－2 3y＝0，
因为 ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ.
所以ρ2－2ρcos θ－2 3ρsin θ＝0，ρ＝4cos(θ－π
3 ).
(2)因为直线 l：{x＝tcos φ，
y＝tsin φ 的极坐标方程为 θ＝φ，
当 θ＝φ 时 ρ＝4cos(φ－π
3 )＝2 3.
即 cos (φ－π
3 )＝ 3
2 ，
所以 φ－π
3＝π
6或 φ－π
3＝－π
6.
所以 φ＝π
2或 φ＝π
6，
所以直线 l 的倾斜角为π
6或π
2.
3．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为{x＝2t－1，
y＝－4t－2(t 为参数)，以坐标原
点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为ρ＝ 2
1－cos θ.
(1)求曲线 C2 的直角坐标方程；
(2)设 M1 是曲线 C1 上的点，M2 是曲线 C2 上的点，求|M1M2|的最小值．
解：(1)因为 ρ＝ 2
1－cos θ，
所以 ρ－ρcos θ＝2，
即 ρ＝ρcos θ＋2.
因为 x＝ρcos θ，ρ2＝x2＋y2，
所以 x2＋y2＝(x＋2)2，化简得 y2－4x－4＝0.
所以曲线 C2 的直角坐标方程为 y2－4x－4＝0.
(2)因为{x＝2t－1，
y＝－4t－2，
所以 2x＋y＋4＝0.
所以曲线 C1 的普通方程为 2x＋y＋4＝0.
因为 M1 是曲线 C1 上的点，M2 是曲线 C2 上的点，
所以|M1M2|的最小值等于点 M2 到直线 2x＋y＋4＝0 的距离的最小值．
不妨设 M2(r2－1，2r)，点 M2 到直线 2x＋y＋4＝0 的距离为 d，
则 d＝2|r2＋r＋1|
5
＝
2[(r＋1
2 )2
＋3
4]
5
≥ 3
2 5
＝3 5
10 ，
当且仅当 r＝－1
2时取等号．
所以|M1M2|的最小值为3 5
10 .
4．在直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为{x＝3cos α，
y＝2sin α (α 为参数)，以原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 D 的极坐标方程为 ρ＝4sin(θ－π
6 ).
(1)写出曲线 C 的极坐标方程以及曲线 D 的直角坐标方程；
(2)若过点 A(2 2，π
4)(极坐标)且倾斜角为π
3的直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点，弦 MN 的
中点为 P，求 |AP|
|AM|·|AN|的值．
解：(1)由题意可得曲线 C 的普通方程为x2
9＋y2
4＝1，
将{x＝ρcos θ，
y＝ρsin θ 代入曲线 C 的普通方程可得，曲线 C 的极坐标方程为 ρ2cos2θ
9 ＋
ρ2sin2θ
4 ＝1.
因为曲线 D 的极坐标方程为 ρ＝4sin(θ－π
6 )，
所以 ρ2＝4ρsin(θ－π
6 )＝4ρ( 3
2 sin θ－1
2cos θ)，
又 ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以 x2＋y2＝2 3y－2x，
所以曲线 C 的极坐标方程为ρ2cos2θ
9 ＋ρ2sin2θ
4 ＝1；曲线 D 的直角坐标方程为 x2＋y2
＋2x－2 3y＝0.
(2)点 A(2 2，π
4)，则{x＝2 2cosπ
4＝2，
y＝2 2sinπ
4＝2，
所以 A(2，2)．
因为直线 l 过点 A(2，2)且倾斜角为π
3，所以直线 l 的参数方程为{x＝2＋tcos π
3，
y＝2＋tsin π
3
(t 为
参数)，代入x2
9＋y2
4＝1 中可得，31
4 t2＋(8＋18 3)t＋16＝0，
设 M，N 对应的参数分别为 t1，t2，
由一元二次方程根与系数的关系得，t1＋t2＝－32＋72 3
31 ，t1t2＝64
31，
所以 |AP|
|AM|·|AN|＝
|t1＋t2
2 |
|t1t2|＝4＋9 3
16 .
[综合题组练]
1．(2020·广州模拟)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：{x＝2＋ 7cos α，
y＝ 7sin α (α 为参数)．以
O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为ρ＝8cos θ，直线 l
的极坐标方程为 θ＝π
3(ρ∈R)．
(1)求曲线 C1 的极坐标方程与直线 l 的直角坐标方程；
(2)若直线 l 与曲线 C1，C2 在第一象限分别交于 A，B 两点，P 为曲线 C2 上的动点，求
△PAB 面积的最大值．
解：(1)依题意得，曲线 C1 的普通方程为(x－2)2＋y2＝7，曲线 C1 的极坐标方程为 ρ2－
4ρcos θ－3＝0.
直线 l 的直角坐标方程为 y＝ 3x.
(2)曲线 C2 的直角坐标方程为(x－4)2＋y2＝16，
设 A(ρ1，π
3)，B(ρ2，π
3)，
则 ρ21－4ρ1cos π
3－3＝0，即 ρ21－2ρ1－3＝0，
得 ρ1＝3 或 ρ1＝－1(舍)，
又ρ2＝8cos π
3＝4，则|AB|＝|ρ2－ρ1|＝1.
C2(4，0)到 l 的距离 d＝|4 3|
4
＝2 3，以 AB 为底边的△PAB 的高的最大值为 4＋2 3，
则△PAB 的面积的最大值为1
2×1×(4＋2 3)＝2＋ 3.
2．(2020·南昌模拟)在直角坐标系 xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极
坐标系．已知直线 l 的极坐标方程为 ρcos θ－ρsin θ＝2，曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2θ＝
2Pcos θ(P>0)．
(1)求直线 l 过点(－2，－4)的参数方程；
(2)已知直线 l 与曲线 C 交于 N，Q 两点，M(－2，－4)，且|NQ|2＝|MN|·|MQ|，求实数 P
的值．
解：(1)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入直线 l 的极坐标方程，得直线 l 的直角坐标方程
为 x－y－2＝0.
所以直线 l 过点(－2，－4)的参数方程为{x＝－2＋ 2
2 t，
y＝－4＋ 2
2 t
(t 为参数)．
(2)由 ρsin2θ＝2Pcos θ(P>0)，
得(ρsin θ)2＝2Pρcos θ(P>0)，
将 ρcos θ＝x，ρsin θ＝y 代入，得 y2＝2Px(P>0)．
将直线 l 的参数方程与曲线 C 的直角坐标方程联立，得 t2－2 2(4＋P)t＋8(4＋P)＝0，(*)
Δ＝8P(4＋P)>0.
设点 N，Q 分别对应参数 t1，t2，恰好为上述方程的根，
则|MN|＝t1，|MQ|＝t2，|NQ|＝|t1－t2|.
由题设得(t1－t2)2＝|t1t2|，即(t1＋t2)2－4t1t2＝|t1t2|.
由(*)得 t1＋t2＝2 2(4＋P)，t1t2＝8(4＋P)>0，
则有(4＋P)2－5(4＋P)＝0，
得 P＝1 或 P＝－4.因为 P>0，所以 P＝1.
3．(2020·栖霞模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为{x＝acos t，
y＝2sin t (t 为
参数，a>0)，以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐
标方程为 ρcos(θ＋π
4 )＝－4 2.
(1)设 P 是曲线 C 上的一个动点，当 a＝2 3时，求点 P 到直线 l 的距离的最小值；
(2)若曲线 C 上所有的点都在直线 l 的右下方，求实数 a 的取值范围．
解：(1)由 ρcos(θ＋π
4 )＝－4 2，得到 ρ(cos θ－sin θ)＝－8，
因为 ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，
所以直线 l 的普通方程为 x－y＋8＝0.
设 P(2 3cos t，2sin t)，则点 P 到直线 l 的距离
d＝|2 3cos t－2sin t＋8|
2
＝
|4sin(t－π
3 )－8|
2
＝2 2|sin(t－π
3 )－2|，
当 sin(t－π
3 )＝1 时，dmin＝2 2，
所以点 P 到直线 l 的距离的最小值为 2 2.
(2)设曲线 C 上任意点 P(acos t，2sin t)，由于曲线 C 上所有的点都在直线 l 的右下方，
所以 acos t－2sin t＋8>0 对任意 t∈R 恒成立．
a2＋4sin(t－φ)<8，其中 cos φ＝ 2
a2＋4
，
sin φ＝ a
a2＋4.
从而 a2＋4<8.
由于 a>0，解得 0
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