高三数学同步辅导教材(第12讲)

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高三数学总复习教程（第 12 讲） 一、本讲内容 三角函数的概念、图象、性质 一、本讲进度，角的定义，弧度制，终边相同的角，象限角，三角函数的定义，各象限三角函数的符号， 同角三角函数间关系，诱导公式，三角函数线，三角函数的图象和性质。 二、学习指导 用平面内射线端点旋转的观点定义角，由于运动中存在“向什么方向转”和“转多少”的问题，从而 把角的范围扩大到了整个实数集。 用弧长与半径的比值来度量角，单位是统一的——弧度、而无须象角度制那样用分级单位：度、分、 秒……，比较先进在数学研究中统统采用它。 把角置于直角坐标系中，同角的终边上非顶点的一点的坐标（x，y）及它列顶点的距离 r 来定义三角 函数，克服了初中时定义的局限性，适应了角的概念的推广，由此定义就可确定各象限角三角函数的符 号和同角三角函数间的关系（按记忆法则牢记）以及诱导公式的推导。 根据三角函数的图象记忆三角函数的性质——定义域、值域、对称轴方程，对称中心，奇偶性，单调 性，周期性，不仅行之有效，而且有列于对数形结合能力的培养。 三角函数线是作三角函数图象的基础，特别二、三、四象限角的三角函数线是难点之一，应予重视。 三、典型例题讲评 例 1．（ 1）周长为定值 m 的扇形的最大面积是多少？此时扇形的中心角是多少？ （2）一扇形周长为 m，面积为 S，这样的扇形是确定的吗？满足怎样的条件，扇形是确定的？此时中 心角是多少？内切圆半径是多少？ 第（1）小题中可设扇形半径为 r，则弧长为 m－2r，则其面积 S= 2 1 r(m－2r)的最大值，只要利用二次 函数或基本不等式即可求出： 第（2）小题是“开放性问题”，由（1）知，S=r( 2 m －r)是关于 r 的二次方程，如果有实根，两根均 正，故可用判解式解决它。 例 2．α 是第三象限角，是否存在实数 m，使关于 x 的方程 8x2+6mx+2m+1=0 的两根恰当 sinα 和 cos α ？若存在求出相应的 m，若不存在，说明理由。 α 为第三象限角，故 sinα ，cosα ∈(－1，0)如果这样的 m 存在， 则        08 12cossin 04 3cossin m m   故 m＞0，由两式消α ，9m2－8m－20=0，m=2（－ 9 20 舍去） 若此时不仅使 sin +cosα ∈  2,1  ， cosα ∈     2 1,0 ，还使与方程判别式≥0，则此 m 即为所求， 但本领中 m=2，－ 4 3 m=－ 2 3 ＜－ 2 ，故不存在. 例 3．设 sinα +cosα =k，若 sin3α +cos3α ＜0 成立，求 k 的取值范围. 用 k 来表示 sin3α +cos3α ：k(1－ 2 12 k )＜0 成立，亦即 k(k2－3)＞0，同时注意到 k= sin(α + 4  ) 的取值范围即可求了 k 的范围. 例 4．设函数 f (x)满足 2f (－sinx)+3f (sinx)= 4sinxcosx（x∈[－ 2  ， 2  ]） （1）判断 f(x)的奇偶性。 （2）求出 f(x)的解析式 由 2f(－sinx)+3f(ε ·x)= 4ε ·xcosx，以－x 代 x，有 2f(sinx)+3f(－sinx)=－4sinxcosx 两式相加，5(f(－ sinx)+f(sinx))=0，知 f(x)为奇函数于是原式即 f(sinx)= 4sinxcosx，∵x∈[－ 2  ， 2  ] ∴cosx= x2sin1 ， ∴f(x)=4x 21 x x∈[－1，1] 例 5．已知函数 f(x)=Asinω x+Bcosω x （ω ＞0）的最小正周期为 2，当 x= 3 1 时，f(x)取得最大值 2. （1）求 f(x)的表达式； （2）在[ 4 21 ， 4 23 ]上是否有 x0，使 x=x0 是 f(x)的对称轴？ 如果存在，求对称轴方程，如不存在，说明理由。 f(x)= 22 BA  sin(ω x+ )，其中 tan = A B ，由 T=  2 =2， 知ω = a ，故 3  + =2kπ + 2  ，tan = 3 1 与 22 BA  =2 联立，可解得 A、B. 第（2）小题只须写出对称轴的一般方程，看有无合适的 k 即可。 例 6．讨论函数 f(x)=cos2(x－α )－2 cos(x－α )cosxcosα +cos2α 的奇偶性，周期性，单调性，值域。 本题中把 f(x)化简是关键，配方后，利用两角差的余弦公式，做三角题，相关公式要熟记，才能“见 景生情”、“浮想联翩” 例 7．已知函数 f(x)=a+bcosx+csinx 的图象过 A（0，1）和 B（ 2  ，1）两点，当 x∈ [0， ]时，恒有 )(xf ≤2，求实数 a 的取值范围。 当 a 上述范围内的最大整数值时，若存在实数 m、n、 ，使 mf(x)+nf(x－ )=1，求 m、n、 的 值 f(x)图象过 A、B 可求得 b 与 a、c 与 a 的关系。 恒有 ≤2，即最大值≤2，最小值大于等于－2，可以讨论 a 与 1 的大小关系加以解决，也可换无 后无作直线段，加以解决（见附录） 后半题一下涌出 3 个未知数的 m、n、 ，似使人无所适从，因是寻找 m、n、 ，使式子恒成立， 故可取 n 个特殊值，解出 m、n、 后再以验证。 四、巩固练习 1．已知函数 f(x)=1―2a―2acosx―2sin2x 的最小值为 f(a). （1）用 a 表示 f(a) （2）求使 f(a)= 2 1 的 a 的值，并对此 a 求 f(x) 最大值. 2．已知函数 f(x)=2asin2x－2 2 sinx+a+b 的定义域为[0， 2  ]值域为[－5，1]求 a、b 的值. 3．把函数 y=sin( 8 7 π －x)cos(x+ 8  )的图象向右平移 a（a＞0）个单位后，图象关于直线 x= 4  对称。 （1）求 a 的最小值； （2）当 a 取最小值，x∈( 8 9 π ，― π )时，图象上任意两点连线的斜率恒大于零。 4．化简： （1）tanθ tan2θ +tan2θ tan3θ +…+tan nθ tna(n+1)θ （2）(1+tan10)(1+tan20)…(1+tan450) 5．若函数 y=f(x)图象上每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍，再将图象按 a =(－ 2  ，－1)平移， 所得新图象的解析式为 y= 2 1 sinx，求 f(x)表达式。 6．右图为函数 y=Acos(ω x+θ )－B 的图象的一 部分，式中 A，ω ＞0 写出该图象的解析式，并 求 a 的值。 7．求下列函数的值域和单调递增区间。 （1）y= x xx cos1 sin2sin  ； （2）y=sinxcosx+sinx+cosx+1 （3）y=log3 xx xx cossin cossin   8．讨论函数的奇偶性： （1）y= xx xx cossin1 cossin1   （2）y=sin4x－cos4x+cos2x （3）y=lg xx xx ee ee sinsin sinsin     9．函数 y=5cos( 3 12 k π x－ 6  )对任意实数 a，在[a，a+3]上 2 5 的值出现的次数不少于 4 次且不多于 8 次，求 k. 10．α 、β ∈(cos 2  )，x＞0，f(x)=(   sin cos )x+(   sin cos )x，α +β ＞ 2  是 f(x)＜2 的什么条件？证明你的结 论。 五、参考答案 1．（ 1）f(x)=2cos2x－2acosx－2a－1 当 2 a ∈[－1，1]，即 a∈[－2，2]时，f(a)= 2 2a －2a－1. 当 a＞2 时，f(a)=2－2a－2a－1=1－4a 当 a＜－2 时，f(a)=2+2a－2a－1=1 ∴f(a)= － 2 2a －2a－1 x∈[－2，2] 1－4a x∈（2，+∞） 1 x∈（－∞，－2） （2）令－ －2a－1= a=－1 或－3 ∴a=－1 令 1－4a= , a= 8 1 ＜2， 舍去. ∴a=－1，此时 f(x)=2a2x+2ax+1，最大值为 2+2+1=5 2．记 t=sinx∈[0，1]，f(t)=2at2－2 2 at+a+b 的对称轴为 t= 2 2 ，故 f( )=b 和 f(0)=a+b 为其最值，当 a＞0 时      1 5 ba b       5 6 b a a1 -3 y 1 0 x 当 a＜0 时      1 5 b ba       1 6 b a 3．（ 1）把函数 y=sin( 8 7 π －x)·cos(x+ 8  )=sin[π －( π －x)]cos(x+ 8  )=sin(x+ 8 1 π +x)= 2 1 sin(2x+ 4  )，它关于 x= 4  对称，故 2× －2a+ =kπ + 2  （k∈Z）a=－ 2 k π + 8  ，（ k∈Z）a 的最小 正值为 8  . （2）此时，y= 2 1 sin2x x∈(－ 8 9 π ，－ π ). y/= ·cos2x·2=cos2x，∵2x∈(－ 4 9 π ，－ 4 7 π )，恒正故比较函数图象上任两点连线斜率恒正。 设学过导数的同学，也可采用如下办法：对任意的－ π ＜x1＜x2＜－ π ， k= 12 12 2sin2 12sin2 1 xx xx   = )(2 )]()sin[()]()sin[( 12 21212121 xx xxxxxxxx   = )(2 )sin()cos(2 12 1221 xx xxxx   ∵x1+x2∈(－ π ，－ π )，∴cos(x1+x2)＞0 ∵x2－x1∈（0， 4  ），∴sin(x2－x1)＞0. 又 x2－x1＞0 ∴k＞0 4．（ 1）∵tan[(k+1)θ －kθ ]=   )1tan(tan1 tan)1tan(   kk kk ∴tankθ tan(k+1)θ =   tan tan)1tan( kk  －1. 分别取 k=1，2，…，n，并把这 n 个式子相加，即得原式=   tan tan)1tan( n －n=   tan )1tan( n (n+1)。 （2）∵ (1+tank0)(1+tan(45－k)0)=1=tank0tan(45－k)0+tank0+tan(45－k)0=1+tank0tan(45－k)0+tan[k+(45－k)]0. (1－tank0tan(45－k)0)=1+tank0tan(45－k)0+tan450(1－tank0tan(45－k)0)=2，又 1+tan450=2 ∴原式=223. 5．把 y= sinx 按b =( 2  ，1)平移后解析式为 y= sin(x－ 2  )+1，纵坐标不变，横坐标变为原来的 ， 则其解析式为 y= sin(2x－ 2  )+1. 也可表示为 y=1－ cos2x. 6．A= 2 )3(1  =2，B= 2 )3(1  =－1。 y=2cos(ω x+θ )－1. 过原点，故 0=2cosθ －1，取θ = 3  或－ 3  . 过（ ，1）故 1=2cos( 2  +θ )－1， 2  +θ =2kπ . ω = 4kπ －2θ （k∈Z） 过（1，0）故 0=2cos(ω +θ )－1 * 若θ = 3  ，则ω = 4kπ － 3 2 π ，*式为 2cos(4kπ － π + 3  )－1=0.成立. 若θ =－ 3  ，则ω = 4kπ + π ，*式为 2a(4kπ + π － )－1=0，也成立. 又 T=  2 ＞2，∴ω ＜π ，∴ω = π . f(x)=2cos( π x－ )－1. T=   3 2 2 =3，∴a=3+1= 4. 7．（ 1）y= x xx cos1 cossin2 2  =2cosx(1+cosx) （cosx≠1） ∴y∈[－ 2 1 ，4] 原函数的单调递增区间，即使 cosx∈      2 1,1 的单调递减空间和使 cosx∈[－ ，1]的单调递增区间。 ∴原函数的单调递增区间为        kk 2,3 22 及[2kπ － π ，2kπ ] （k∈Z） （2）Y= sin2x+ 2 cos(x－ 4  )+1= cos(2x－ 2  )+ cos(x－ 4  )+1=cos2(x－ 4  )+ cos(x－ 4  )+ ∈[0， 2 3 + ] 单调增区间：x－ ∈[2kπ + 4 3 π ，2kπ +π ]或[2kπ － π ，2kπ ] 即 x∈[2kπ +π ，2kπ + 4 5 π ]及[2kπ － 2  ，2kπ + 4  ] (k∈Z) （3）y=log3 )4cos(2 )4sin(2     x x =log3tan(x－ )∈R. 单调增区间：x－ ∈(kπ ，kπ + 2  )，x∈(kπ + ，kπ + π ) （k∈Z） 8．（ 1）y= 2cos2sin22cos2 2cos2sin22sin2 2 2 xxx xxx   =tan 2 x 22cos )2cos2(sin xx xx    =tan (tan ≠－1) ≠kπ + 且 kπ － ，x≠2kπ +π 且 x≠2kπ － 2  . (k∈Z)。定义域不是关于原点的对称区域，不是 奇偶数，也不是偶函数。 （2）y=(sin2x+cosx)(sin2x－cos2x)+cos2x =－cos2x+cos2x=0 ∴f(x)是奇函数，也是偶函数. （3）定义域：esinx＞e—sinx sinx＞0，x(2kπ ，2kπ +π )（k∈Z）不是奇函数，也不是偶函数。 9．        32 1arccos2 32 1arccos25 T T 又 T=   3 12 2 k = 12 6 k ，arccos 2 1 = 3  ∴2k+1∈              3 23 30, 3 23 6 ， ∴2k+1=7， k=3. 10．充要条件 α +β ＞ 2  ，故α ＞ 2  －β ，两边均∈(0， 2  )，∴sinα ＞sin ( 2  －β )=cosβ ＞0 ∴   sin cos ∈(0，1)， 同理   sin cos ∈(0，1)，而 x＞0. ∴(   sin cos )x∈（0，1）， (   sin cos )x∈(0，1) ∴(   sin cos )x+(   sin cos )x＜2。 类似地，若α +β = 2  ，则   sin cos =   sin cos =1，f(x)=2，若α +β ＜ 2  ，则   sin cos ，   sin cos 均大于 1， f(x)＞2. ∴f(x)＜2 的充要条件是α +β ＞ . 六、附录 例 1．（ 1）设扇形半径为 r，则弧长为 m－2r，于是扇形面积 S= r(m－2r)= 4 1 (2r)(m－2r)≤ ·( 2 m )2= 16 2m ，等号当且仅当 r= 4 m 时，此时 l=m－ = ，中心角θ = 4 2 m m =2. （2）设扇形半径为 r，则 S= r(m－2r). r2－ r+S=0， △= 4 2m －4S 当 m2＞16S 时，上方程有两不等正根，故 m3=16S 时， 方程仅有一正根，即 r 是唯一确定的，此时 r= ，中 心角θ = 4 42 m mm  =2. 2r+rθ =m，∴ 2  = r rm 2 2 ，sin 2  =sin r rm 2 2 . -x--x x--x--x -x- -x- x- - θ R r 2 证内切圆半径为 R，则 sin 2  = Rr R  . ∴ Rm R 4 =sin1 R= )1sin1(4 1sin  m 例 2．若这样的 m 存在，则应有 sinα +cosα =－ 4 3 m ① sinα cosα = 8 1 (2m+1) ② ①2－2×②. 9m2－8m－20=0，m=2 或－ 9 20 . 又α 为第三象限内，∴sinα +cosα = 2 sin(α + 4  )∈  2,1  而当 m=2 时，－ m=－ 2 3 , m=－ 时，－ m= 3 5 ，均不在上述范围内，故这样的 m 不存在. 例 3．由已知,k= sin(α + )∈[－ ， ]，又 k2=1+sinα cosα . ∴sin3α +cos3α =(sinα +cosα )(1－sinα cosα )=k(1－ 2 12 k )＜0. 即 k(k－ 3 )（k+ ）＞0，得 k∈( ，+∞)∪(－ ，0). ∴k∈ 0,2 . 例 4．由已知 2f(－sinx)+3f(sinx)= 4sinxcosx. 以－x 代 x 2f(sinx)+3f(－sinx)=－sinxcosx. 两式相加，可得 f(sinx)+f(－sinx)=0，∴f(x)必当奇函数. 从而原式即 f(sinx)= 4ε ·xcosx. 又 x∈[－ 2  ， 2  ]，∴cosx= x2sin1 . sinx∈[－1，1]. ∴f(x)= 4x 21 x ，x∈[－1，1]. 例 5．f(x)= 22 BA  sin(ω x+ )，其中 tan = A B . 由 T=  2 =2 知ω =π . 当 x= 3 1 时，sin( 3  + )=1， 22 BA  =2。 + 3  =2θπ+ 2  ， =tan =+ 3 3 ，解得      1 3 B A 3x      1 3 B A ∴f(x)= sinπ x+cosπ x=2sin(π x+ 6  或 f(x)=－ sinπ x－cosπ x=－2sin(π x+ 6  )=2sin(π x+ 6 7 π ). 对称轴方程为π x+ 6  =π x+ 2  , x=k+ ，取 k=5 时恰在[ 4 21 ， 4 23 ]中，对称轴方程：x= 3 16 . 例 6．f(x)=cos2(x－α )－2cos(x－α )cosxcosα +cos2xcos2α +cos2α －cos2xcos2α =[cos(x－α )－cosxcosα ]2+cos2α sin2x =(sinxsinα )2+cos2α sin2x=sin2x= 2 1 (1－cos2x) ∴f(x)为偶函数，T= 2 2 =π ，值域为[0，1] 单调递增区间：[kπ ，kπ + 2  ] （k∈Z） 单调递减区间：[kπ － 2  ，kπ ] (k∈Z) 例 7．y=f(x)图象过 A、B 两点，故有 a+b=1 和 a+c=1. ∴f(x)=a+(1－a)cosx+(1－a)sinx=a+ 2 (1－a)cos(x－ 4  ). X∈[0， 2  ]，x－ 4  ∈[－ 4  ， ]，cos(x－ )∈[ 2 1 ，1] 记 cos(x－ )=t 则 f(t)=a+(1－a)t，t∈[1， ]图象为线段，故 f(1)=1∈[－2，2]，f( )=a+(－a) ∈[－2，2] ∴a∈[－ ，4+3 ] 最大整数为 8，此时 f(x)=8－7 cos(x－ ). m[8－7 cos(x－ )]+n[8－7 cos(x－ － )]=1 * 令 x= 4 3 π ，有 8m+n(8－7 sin )=1 ① 令 x= 4  ，有 8m－7 m+n(8－7 cos )=1. ② 令 x= + ，有 m[8－7 cos ]+n[8－7 ]=1 ③ 令 x= + π 有 m(8+7 cos )+8n=1 ④ 由①、④消 sin ，得(m+n)(8m+8n－1)=0 由②、③消 cos ，得(m－n)[(8－7 )(m+n)－1]=0 若      0 0 nm nm ，则 m=n=0 *式从不成立. 若      01))(278( 0 nm nm 无解. 若      01)(8 0 nm nm m=n= 16 1 . 若      01)(8 01))(278( nm nm 无解. 把 m=n= 代入①②sin =0，cos =－1，取 =π 此时*式恒为 0