【数学】2018届一轮复习人教B版　选考内容学案

【数学】2018届一轮复习人教B版　选考内容学案

第十三章　选考内容 ‎1.坐标系与参数方程 ‎(1)了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．‎ ‎(2)了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．‎ ‎(3)能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．‎ ‎(4)了解参数方程，了解参数的意义．‎ ‎(5)能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．‎ ‎2．不等式选讲 ‎(1)理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：‎ ‎①|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；‎ ‎②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)．‎ ‎(2)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：‎ ‎|ax＋b|≤c；　|ax＋b|≥c；　|x－c|＋|x－b|≥a.‎ ‎(3)通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．‎ ‎13．1　坐标系与参数方程 ‎1．极坐标系 ‎(1)在平面内取一个定点O，叫做________；自极点O引一条射线Ox，叫做________；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取________方向)，这样就建立了一个________．‎ 设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的________ ，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的________，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的________，记为M(ρ，θ)．‎ 一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．‎ ‎(2)一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示________．特别地，极点O的坐标为________(θ∈R)．和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有________表示．‎ 如果规定ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的点可用________极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是________的．‎ ‎2．极坐标和直角坐标的互化 ‎(1)把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)．从图中可以得出它们之间的关系：‎ ‎__________________________．‎ 由上式又得到下面的关系式：‎ ‎__________________________．‎ 这就是极坐标与直角坐标的互化公式．‎ ‎(2)把直角坐标转化为极坐标时，通常有不同的表示法(极角相差2π的整数倍)．一般只要取θ∈________就可以了．‎ ‎3．简单曲线的极坐标方程 ‎(1)曲线的极坐标方程的定义 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0(因为平面内点的极坐标表示不惟一)，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程____________叫做曲线C的极坐标方程．‎ ‎(2)常见曲线的极坐标方程 ‎①圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程为__________________________；‎ ‎②圆心为(r，0)，半径为r的圆的极坐标方程为 ‎__________________________；‎ ‎③圆心为，半径为r的圆的极坐标方程为 (0≤θ<π)；‎ ‎④过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程为 ‎______________________________；‎ ‎⑤过点(a，0)(a＞0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程为 ；‎ ‎⑥过点，与极轴平行的直线的极坐标方程为 ‎______________________________(0<θ<π)．‎ ‎4．直线的参数方程 ‎(1)过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为．‎ ‎(2)直线的参数方程中参数t的几何意义是：_________________________________________.‎ 当与e(直线的方向向量)同向时，t取____________．当与e反向时，t取____________，当M与M0重合时，t＝____________.‎ ‎5．圆的参数方程 圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为．‎ ‎6．椭圆的参数方程 中心在原点，焦点在x轴上的椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是(φ为参数)，规定参数φ的取值范围是____________．‎ 自查自纠：‎ ‎1．(1)极点　极轴　逆时针　极坐标系　极径　极角　‎ 极坐标 ‎(2)同一个点　(0，θ)　无数种　惟一　惟一确定 ‎2．(1)　　(2)．‎ 点拨：‎ ‎ 已知直线l经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α，点M(x，y)为l上任意一点，则直线l 的参数方程为(t为参数)．(1)若M1，M2是直线l上的两个点，对应的参数分别为t1，t2，则||||＝|t1t2|，||＝|t2－t1|＝.(2)若线段M1M2的中点为M3，点M1，M2，M3对应的参数分别为t1，t2，t3，则t3＝.(3)若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0，y0)，则t1＋t2＝0，t1t2<0.‎ ‎　在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acosθ(a＞0)，过点P(－2，－4)的直线l：(t为参数)与曲线C相交于M，N两点．‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；‎ ‎(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值．‎ 解：(1)把代入ρsin2θ＝2acosθ，得y2＝2ax(a>0)．‎ 由(t为参数)消去t得x－y－2＝0.‎ 所以曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是y2＝2ax(a>0)，x－y－2＝0.‎ ‎(2)将(t为参数)代入y2＝2ax(a>0)，‎ 整理得t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0.‎ 设t1，t2是该方程的两根，‎ 则t1＋t2＝2(4＋a)，t1t2＝8(4＋a)，‎ 因为|MN|2＝|PM|·|PN|，‎ 所以(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1t2＝t1t2，‎ 所以8(4＋a)2－4×8(4＋a)＝8(4＋a)，所以a＝1.‎ ‎　()在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．‎ 解：(1)C1的普通方程为＋y2＝1，C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.‎ ‎(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cosα，sinα)．因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，d(α)＝＝，‎ 当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.‎ 点拨：‎ 圆与椭圆的参数方程的异同点：①圆与椭圆的参数方程，实质都是三角代换，有关圆或椭圆上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用圆或椭圆的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解．②圆的参数方程中的参数与椭圆的参数方程中的参数的几何意义不同，圆的参数方程中的参数是圆心角，椭圆的参数方程中的参数是离心角，只有椭圆上的点在坐标轴上时，离心角才等于圆心角．‎ ‎　()已知曲线C： ＋＝1，直线l：(t为参数)．‎ ‎(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；‎ ‎(2)过曲线C上任一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．‎ 解：(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．‎ 直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.‎ ‎(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为 d＝|4cosθ＋3sinθ－6|.‎ 则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝.‎ 当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.‎ 当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.‎ ‎　()在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinα，C3：ρ＝ 2cosθ.‎ ‎(1)求C2与C3交点的直角坐标；‎ ‎(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．‎ 解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.‎ 联立解得 或 所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和.‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，‎ 其中0≤α<π.‎ 因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(2cosα，α)．‎ 所以|AB|＝|2sinα－2cosα|＝4.‎ 当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.‎ 点拨：‎ 本题主要考查极坐标方程与参数方程的相关知识，具体涉及极坐标方程与直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容，意在考查方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．‎ ‎　已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sin.‎ ‎(1)求圆C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sin的公共点，求x＋y的取值范围．‎ 解：(1)因为圆C的极坐标方程为ρ＝4sin，‎ 所以ρ2＝4ρsin＝4ρ.‎ 又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ 所以x2＋y2＝2 y－2x，‎ 所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2 y＝0.‎ ‎(2)方法一：设z＝x＋y，‎ 由圆C的方程x2＋y2＋2x－2 y＝0⇒(x＋1)2＋(y－)2＝4，‎ 所以圆C的圆心是(－1，)，半径是2，‎ 将代入z＝x＋y得z＝－t.‎ 又直线l过C(－1，)，圆C的半径是2，所以－2≤t≤2，‎ 即x＋y的取值范围是．‎ 方法二：直线l的参数方程化成普通方程为x＋y＝2.‎ 由 解得P1(－1－，＋1)，P2(－1＋，－1)．‎ 因为P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sin的公共点，‎ 所以点P在线段P1P2上，‎ 所以x＋y的最大值是×(－1＋)＋(－1)＝2，‎ 最小值是×(－1－)＋(＋1)＝－2，‎ 所以x＋y的取值范围是．‎ 类型六　利用参数方程求轨迹 ‎　()在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，‎ 曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，如图，曲线C与x轴交于O，B两点，P是曲线C在x轴上方图象上任意一点，连接OP并延长至M，使PM＝PB，当P变化时，求动点M的轨迹的长度．‎ 解：设M(ρ′，θ)，θ∈，则OP＝2cosθ，PB＝2sinθ.‎ 所以ρ′＝OP＋PM＝OP＋PB＝2cosθ＋2sinθ，‎ 所以ρ′2＝2ρ′cosθ＋2ρ′sinθ，‎ 化为普通方程：x2＋y2＝2x＋2y，‎ 所以M的轨迹方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2(x>0，y>0)．‎ 可知M的轨迹为一个半圆弧，‎ 所以点M的轨迹长度为π.‎ 点拨：‎ 用参数法求轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，然后再消去参数，化为普通方程．很多与直线、圆、圆锥曲线有关的求轨迹的题目中，参数法更简捷．‎ ‎　已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x＋ y＝2.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．‎ ‎(1)将圆C和直线l的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程，并指出它是什么曲线．‎ 解：(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为C：ρ＝2，l：ρ(cosθ＋sinθ)＝2.‎ ‎(2)设P，Q，R的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，‎ 则由|OQ|·|OP|＝|OR|2得ρρ1＝ρ.‎ 又ρ2＝2，ρ1＝，‎ 所以＝4，‎ 故点Q轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cosθ＋sinθ)(ρ≠0)．‎ 点Q轨迹的普通方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，去掉(0，0)点．‎ 故点Q的轨迹是圆心为(1，1)，半径为的圆，去掉(0，0)点．‎ ‎1．极坐标系 ‎(1)极坐标系内两点间的距离公式 设极坐标系内两点P1(ρ1，θ1)，P2(ρ2，θ2)，则＝.‎ 特例：当θ1＝θ2时，＝.‎ ‎(2)极坐标方程与直角坐标方程的互化 ‎①直角坐标方程化为极坐标方程，只须将公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入直角坐标方程并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程，则往往要通过变形，构造出形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．‎ ‎②通常情况下，由tanθ确定角θ时，应根据点P所在象限取最小正角．在这里要注意：当x≠0时，θ角才能由tanθ＝按上述方法确定．当x＝0时，tanθ没有意义，这时又分三种情况：当x＝0，y＝0时，θ可取任何值；当x＝0，y>0时，可取θ＝；当x＝0，y<0时，可取θ＝.‎ ‎2．求简单曲线的极坐标方程的方法 ‎(1)设点M(ρ，θ)为曲线上任意一点，由已知条件，构造出三角形，利用正弦定理求解与θ的关系；‎ ‎(2)先求出曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的变换公式，把直角坐标方程化为极坐标方程．‎ ‎3．参数方程与普通方程的互化 ‎(1)参数方程化为普通方程——消去参数．‎ 消去参数的常用方法有：‎ ‎①先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程，即代入法；‎ ‎②利用三角函数中的恒等式消去参数，运用最多的是sin2α＋cos2α＝1，即三角公式法；‎ ‎③整体观察，对两式进行四则运算(运用较多的是两式整体相除)，或先分离参数再运算．‎ 总的来说，消参无定法，只要能消参，方法可灵活多样，多法齐用．‎ ‎(2)普通方程化为参数方程——选参数．‎ 一般来说，选择参数时应考虑以下两点：‎ ‎①曲线上每一点的坐标(x，y)都能由参数取某一值唯一地确定出来；‎ ‎②参数与x，y的相互关系比较明显，容易列出方程．‎ 参数的选取应根据具体条件来考虑．可以是时间，也可以是线段的长度、方位角、旋转角，动直线的斜率、倾斜角、截距，动点的坐标等．‎ 在二者互化的过程中，要注意等价性，注意其中曲线上的点的横、纵坐标的取值范围是否因为转化而发生改变，如果发生改变则它们所表示的曲线就不是同一曲线．‎ ‎1．若直线l的参数方程是(t∈R)，则l的方向向量d可能是(　　)‎ A．(1，2) B．(2，1) ‎ C．(－2，1) D．(1，－2)‎ 解：易求出直线方程为x＋2y－5＝0，方向向量(a，b)满足＝－，检验知(－2，1)满足．故选C.‎ ‎2．参数方程(θ为参数)表示的曲线上的点到坐标轴的最短距离为(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 解：参数方程(θ为参数)表示的曲线的普通方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，这是圆心为(－3，4)，半径为2的圆，故圆上的点到坐标轴的最短距离为1.故选A.‎ ‎3．在极坐标系中，直线ρ(cosθ－sinθ)＝2与圆ρ＝4sinθ的交点的极坐标为(　　)‎ A. B. C. D. 解：ρ(cosθ－sinθ)＝2可化为直角坐标方程x－y＝2，即y＝x－2.ρ＝4sinθ可化为 x2＋y2＝4y，把y＝x－2代入x2＋y2＝4y，得 4x2－8x＋12＝0，即x2－2x＋3＝0，所以 x＝，y＝1.所以直线与圆的交点坐标为(，1)，化为极坐标为.故选A.‎ ‎4．()以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系 ‎，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为(　　)‎ A. B．2 C. D．2 解：圆ρ＝4cosθ在直角坐标系下的方程为(x－2)2＋y2＝4，直线的普通方程为x－y－4＝0，圆心到直线的距离是＝，弦长为2＝2.故选D.‎ ‎5．()若直线l：(t为参数)与曲线C：(θ为参数)相切，则实数m为(　　)‎ A．－4或6 B．－6或4‎ C．－1或9 D．－9或1‎ 解：由(t为参数)，得直线l：2x＋y－1＝0，由(θ为参数)，得曲线C：x2＋(y－m)2＝5，因为直线与曲线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即＝，解得m＝－4或m＝6.故选A.‎ ‎6．()在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ－3cosθ)＝0，曲线C的参数方程为( t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|＝(　　)‎ A．2 B．2 C．4 D．2 解：因为ρ(sinθ－3cosθ)＝0，所以ρsinθ＝3ρcosθ，所以y＝3x，由消去t得y2－x2＝4，联立得方程组解得或 不妨令A，B，由两点间的距离公式得|AB|＝＝2.故选B.‎ ‎7．在极坐标系中，点到直线ρ(cosθ＋sinθ)＝6的距离为__________．‎ 解：点P化为P(1，)，直线 ρ(cosθ＋sinθ)＝6化为x＋y－6＝0.所以点P到直线的距离d＝＝1.故填1.‎ ‎8．()若点P(x，y)在曲线 (θ为参数，θ∈R)上，则的取值范围是________．‎ 解：由 消去参数θ得x2＋(y－2)2＝1，①‎ 设＝k，则y＝kx，代入①式并化简，得(1＋k2)x2－4kx＋3＝0，此方程有实数根，所以Δ＝16k2－12(1＋k2)≥0，解得k≤－或k≥.故填(－∞，－]∪[，＋∞)．‎ ‎9．()在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(φ为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线l的极坐标方程是2ρsin＝3，射线OM：θ＝与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．‎ 解：(1)圆C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，‎ 又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，‎ 所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.‎ ‎(2)设P(ρ1，θ1)，则由 得ρ1＝1，θ1＝，设Q(ρ2，θ2)，则由 得ρ2＝3，θ2＝，‎ 所以PQ＝2.‎ ‎10．已知圆M：(θ为参数)的圆心F是抛物线E：的焦点，过F的直线交抛物线于A，B两点，求|AF|·|FB|的取值范围．‎ 解：圆M：的普通方程是(x－1)2＋y2＝1，‎ 所以F(1，0)．‎ 抛物线E：的普通方程是y2＝2px，‎ 所以＝1，p＝2，抛物线的方程为y2＝4x.‎ 设过焦点F的直线的参数方程为(t为参数)．‎ 代入y2＝4x，得t2sin2φ－4tcosφ－4＝0.‎ 所以|AF|·|FB|＝|t1t2|＝.‎ 因为00，t2>0，‎ 所以|MA|＋|MB|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝3.‎ ‎5．()在极坐标系中，已知A，点P是曲线ρsin2θ＝4cosθ上任意一点，设点P到直线ρcosθ＋1＝0的距离为d，求|PA|＋d的最小值．‎ 解：点A的直角坐标为A(0，1)，曲线ρsin2θ＝4cosθ的普通方程为y2＝4x，是抛物线．‎ 直线ρcosθ＋1＝0的直角坐标方程为x＋1＝0，是此抛物线的准线．‎ 由抛物线定义，点P到抛物线准线的距离等于它到焦点F(1，0)的距离，所以d＝|PF|，‎ 所以当A，P，F三点共线时，|PA|＋d最小，最小值为|AF|＝.‎ ‎6．()在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.‎ ‎(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．‎ 解：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得C的极坐标方程为ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.‎ ‎(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．‎ 设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.‎ 于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11，‎ ‎|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝，‎ 由|AB|＝得cos2α＝，tanα＝±，‎ 所以l的斜率为或－.‎ ‎ ()在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 直线l的极坐标方程为θ＝，曲线C的参数方程为 ‎(1)写出直线l与曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)过点M平行于l的直线与曲线C交于A，B两点，若|MA|·|MB|＝，求点M轨迹的直角坐标方程．‎ 解：(1)直线l：y＝x，曲线C：＋y2＝1.‎ ‎(2)设点M(x0，y0)及过点M的直线为l1： (t为参数)，‎ 直线l1与曲线C联立可得：‎ ＋(x0＋2y0)t＋x＋2y－2＝0.‎ 因为|MA|·|MB|＝，所以＝，‎ 即x＋2y＝6，而方程＋＝1表示一个椭圆．‎ 取y＝x＋m代入＋y2＝1得：3x2＋4mx＋2m2－2＝0，‎ 由Δ≥0得－≤m≤，‎ 故点M的轨迹是椭圆＋＝1夹在平行直线y＝x±之间的两段弧．‎ ‎13．2　不等式选讲 ‎1．基本不等式及其推广 ‎(1)a2＋b2≥__________(a，b∈R)，当且仅当__________时，等号成立．‎ ‎(2)≥__________(a，b>0)，当且仅当__________时，等号成立．‎ ‎(3)≥__________(a，b，c>0)，当且仅当________时，等号成立．‎ ‎(4)≥______________(ai>0，i＝1，2，…，n)，当且仅当__________________时，等号成立．‎ ‎2．绝对值不等式 ‎(1)定理1：如果a，b是实数，那么≤__________，当且仅当__________时，等号成立．‎ ‎(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么≤__________，当且仅当____________时，等号成立．‎ ‎(3)a⇔______________．‎ ‎3．证明不等式的方法 ‎(1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小；‎ ‎(2)综合法；‎ ‎(3)分析法；‎ ‎(4)反证法；‎ ‎(5)放缩法：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法；‎ ‎(6)数学归纳法．‎ 以上方法可参见本书第十二章“算法初步、推理与证明”．‎ 自查自纠：‎ ‎1．(1)2ab　a＝b　(2)　a＝b　(3)　a＝b＝c ‎(4)　a1＝a2＝…＝an ‎2．(1)＋　ab≥0‎ ‎(2)＋　(a－b)(b－c)≥0‎ ‎(3)－aa ‎3．(1)作差　作商　(5)放大　缩小 ‎ 不等式1<|x＋1|<3的解集为(　　)‎ A．(0，2) ‎ B．(－2，0)∪(2，4)‎ C．(－4，0) ‎ D．(－4，－2)∪(0，2)‎ 解：原不等式等价于或解之得00，下面四个不等式中，正确的是(　　)‎ ‎①|a＋b|>|a|; ②|a＋b|<|b|；‎ ‎③|a＋b|<|a－b|; ④|a＋b|>|a|－|b|.‎ A．①和② B．①和③‎ C．①和④ D．②和④‎ 解：因为ab>0，所以a与b同号，所以|a＋b|＝|a|＋|b|>|a|>|a|－|b|，故①正确，②③错误，④正确．故选C.‎ ‎ “a＝2”是“关于x的不等式|x＋1|＋|x＋2|1，所以“a＝2”是“关于x的不等式 |x＋1|＋|x＋2|2；‎ ‎(2)若关于x的不等式a>f(x)有解，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)不等式f(x)＞2⇔ 或 ‎ 或 解得x<－7或4.‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎(2)f(x)＝ 可知在上，f(x)单调递减；在 上，f(x)单调递增．‎ 要a＞f(x)有解，只要a＞f(x)min.‎ 由f(x)单调性知f(x)min＝f＝－.‎ 所以实数a的取值范围是.‎ 类型二　含字母参数的绝对值不等式 ‎　设函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋1|(a>0)，g(x)＝x＋2.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)≤g(x)的解集；‎ ‎(2)若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝1时，原不等式等价于|2x－1|＋|2x＋1|≤x＋2.‎ 等价于或或 解得x∈∅或0≤x<或≤x≤，‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎(2)|2x－a|＋|2x＋1|≥x＋2等价于|2x－a|＋|2x＋1|－x－2≥0，令h(x)＝|2x－a|＋|2x＋1|－x－2，‎ 因为a＞0，所以h(x)＝ 易得h(x)min＝h＝－1，令－1≥0，得a≥2.故a的取值范围是＝n(n＋2)，‎ 所以n(n＋1)g(a)，我们可将左边放缩成f1(a)，但必须同时保证f1(a)－g(a)≥0，否则称为放缩过度．‎ ‎(6)()已知m为正整数，用数学归纳法证明：当x>－1时，(1＋x)m≥1＋mx.‎ 证明：当x＝0或m＝1时，原不等式中等号显然成立．‎ 下面用数学归纳法证明：‎ 当x>－1，且x≠0，m≥2时，(1＋x)m>1＋mx.‎ ‎①当m＝2时，由x≠0得(1＋x)2＝1＋2x＋x2＞1＋2x，不等式成立．‎ ‎②假设当m＝k(k≥2)时不等式成立，即有(1＋x)k＞1＋kx.‎ 当m＝k＋1时，‎ ‎(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k＞(1＋x)(1＋kx)‎ ‎＝1＋x＋kx＋kx2＞1＋(k＋1)x.‎ 所以当m＝k＋1时不等式成立．‎ 由①②知，原不等式成立．‎ 点拨：‎ 数学归纳法主要是用来证明与正整数有关的命题，需要两步．第一步是证明n取第一个值n0(n0＝1或2等)，命题成立(奠基)，第二步是假设n＝k时(k∈N＋，且k≥n0)命题正确，证明当n＝k＋1时命题也正确，关键是从n＝k到n＝k＋1的变形，常采用“放缩法”或“拼凑法”来实现．详见本书12.5节．‎ ‎　(1)()设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：‎ ‎(Ⅰ)若ab>cd，则＋>＋；‎ ‎(Ⅱ)＋>＋是<的充要条件．‎ 证明：(Ⅰ)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，由题设a＋b＝c＋d，ab>cd，得(＋)2>(＋)2.因此＋>＋.‎ ‎(Ⅱ)(i)若<，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd，由(Ⅰ)得＋>＋.‎ ‎(ⅱ)若＋>＋，则(＋)2>(＋)2，即a＋b＋2>c＋d＋2.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd，于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此<.综上，＋>＋是<的充要条件．‎ ‎(2)()设a>0，b>0，且a＋b＝＋.求证：‎ ‎(Ⅰ)a＋b≥2；‎ ‎(Ⅱ)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．‎ 证明：由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.‎ ‎(Ⅰ)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1时取等号．‎ ‎(Ⅱ)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0得00，所以f(n)在N＋上是增函数．所以f(n)≥f(1)＝＋＋＝，故＋＋…＋≥.‎ ‎1．解绝对值不等式要掌握去绝对值符号的方法，必要时运用分类讨论的思想，有时也可利用绝对值的几何意义解题．去掉绝对值符号的方法主要有：公式法、零点分段法(体现分类讨论思想)、平方法、几何法(体现数形结合思想)、构造法(构造函数，利用函数图象求解．体现函数与方程思想)等．这几种方法应用时各有侧重，在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；但是若不等式含有多个绝对值时，则应采用分段讨论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能运用．因此，在去绝对值符号时，用何种方法须视具体情况而定．‎ ‎2．在对不等式证明题进行分析，寻找解(证)题的途径时，要提倡综合法和分析法同时使用，如同打山洞一样，由两头向中间掘进，这样可以缩短条件与结论的距离，是数学解题分析中最有效的方法之一．‎ ‎3．作差比较法一般适用于式子为多项式、对数式、三角式结构；作商比较法一般适用于式子为乘积、幂结构．‎ ‎4．运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立问题中的参数范围问题．‎ ‎5．用放缩法证不等式，将所证不等式中的某些项适当放大或缩小(主要方法是拆分、配凑、增减项等)，可使有关项之间的不等关系更加明晰，更加强化，且有利于式子的代数变形、化简，从而达到证明的目的．这种方法灵活性较大，技巧性较强．‎ ‎1．“ab≥0”是“|a－b|＝|a|－|b|”的 (　　)‎ A．充分不必要条件 ‎ B．必要不充分条件 C．充要条件 ‎ D．既不充分也不必要条件 解：当b>a≥0时，|a－b|≠|a|－|b|，故充分性不成立．‎ 当|a－b|＝|a|－|b|时，两边平方得ab＝|ab|，则ab≥0，故必要性成立．‎ 综上可知，“ab≥0”是“|a－b|＝|a|－|b|”的必要不充分条件．故选B.‎ ‎2．已知不等式|2x－t|＋t－1<0的解集为，则t＝ (　　)‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 解法一：因为|2x－t|<1－t，所以t－1<2x－t<1－t，即2t－1<2x<1，t－0，m>1，不等式的解为0)，若不等式f(x)≥6的解集为(－∞，－2]∪[4，＋∞)，则a的值为__________．‎ 解：由已知有解得a＝3.故填3.‎ ‎14．设f(x)＝|2x－1|，若不等式f(x)≥对任意实数a≠0恒成立，则x的取值集合是__________．‎ 解：＝－≤|＋|＝3，所以右式最大值为3，从而|2x－1|≥3，解得x≤－1或x≥2.故x的取值集合为{x|x≤－1或x≥2}．故填{x|x≤－1或x≥2}．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．(10分)在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．‎ 解：因为圆C的圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，所以在ρsin ‎＝－中令θ＝0，得ρ＝1.‎ 所以圆C的圆心坐标为(1，0)．‎ 因为圆C经过点P，‎ 所以圆C的半径为PC＝＝1.‎ 所以圆C经过极点．‎ 所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.‎ ‎16．(10分)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为ρsin＝，曲线C的参数方程为(α为参数)．‎ ‎(1)写出直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．‎ 解：(1)因为ρsin＝，‎ 所以ρ＝，‎ 所以y－x＝，即直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.‎ ‎(2)解法一：由已知可得，曲线C上的点的坐标为(2＋2cosα，2sinα)，所以曲线C上的点到直线l的距离d＝＝≤.故曲线C上的点到直线l的距离的最大值为.‎ 解法二：曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，所以曲线C是以(2，0)为圆心，2为半径的圆．圆心到直线l的距离为＝，所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为＋2＝.‎ ‎17．(10分)()在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，直线l的参数方程为(t为参数，α为直线的倾斜角)．‎ ‎(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C有唯一的公共点，求角α的大小．‎ 解：(1)当α＝时，直线l的普通方程为x＝－1；‎ 当α≠时，直线l的普通方程为y＝(tanα)·(x＋1)．‎ 由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，所以x2＋y2＝2x，即为曲线C的直角坐标方程．‎ ‎(2)把x＝－1＋tcosα，y＝tsinα代入x2＋y2＝2x，整理得t2－4tcosα＋3＝0.‎ 当α＝时，方程化为t2＋3＝0，方程不成立；‎ 当α≠时，由Δ＝16cos2α－12＝0，得cos2α＝，所以cosα＝或cosα＝－.故直线l的倾斜角α为或.‎ ‎18．(10分)()在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ.‎ ‎(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.‎ 解：(1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2.‎ C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆．‎ 将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0.‎ ‎(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sinθcosθ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.‎ a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上．所以a＝1.‎ ‎19．(10分)()已知关于x的不等式|ax－1|＋|ax－a|≥1(a>0)．‎ ‎(1)当a＝1时，求此不等式的解集；‎ ‎(2)若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝1时，得2|x－1|≥1，即|x－1|≥，解得x≥或x≤，所以不等式的解集为.‎ ‎(2)因为|ax－1|＋|ax－a|≥|a－1|，‎ 所以原不等式解集为R等价于|a－1|≥1，所以a≥2或a≤0.‎ 因为a>0，所以a≥2，所以实数a的取值范围为[2，＋∞)．‎ ‎20．(10分)()设f(x)＝|x－1|－2|x＋1|的最大值为m.‎ ‎(1)求m；‎ ‎(2)若a，b，c∈(0，＋∞)，＋b2＝m，求ab＋bc的最大值．‎ 解：(1)f(x)＝|x－1|－2|x＋1|＝ 画出f(x)的图象如图所示，‎ 所以f(x)max＝f(－1)＝2，‎ 即m＝2.‎ ‎(2)由(1)知＋b2＝2.‎ 因为a，b，c∈(0，＋∞)，所以ab≤，bc≤，‎ 所以ab＋bc≤＋＝＋b2＝2.‎ 所以ab＋bc的最大值为2.‎ ‎21．(10分)()已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)＜2的解集．‎ ‎(1)求M；‎ ‎(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.‎ 解：(1)f(x)＝ 当x≤－时，由f(x)＜2得－2x＜2，解得x＞－1，所以－1＜x≤－；‎ 当－＜x＜时，f(x)＜2成立；‎ 当x≥时，由f(x)＜2得2x＜2，解得x＜1，所以≤x＜1.‎ 所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}．‎ ‎(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)＜0，‎ 因此|a＋b|＜|1＋ab|.‎ ‎22．(10分)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.‎ ‎(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；‎ ‎(2)设函数g(x)＝|2x－1|，当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2，‎ 解不等式|2x－2|＋2≤6，得－1≤x≤3.‎ 因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．‎ ‎(2)当x∈R时，‎ f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|‎ ‎≥|2x－a＋1－2x|＋a ‎＝|1－a|＋a.‎ 所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.　①‎ 当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解；‎ 当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.‎ 所以a的取值范围是[2，＋∞)．‎