陕西省延安市吴起县高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

陕西省延安市吴起县高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

吴起高级中学2019-2020学年第一学期中期考试高二文科数学能力卷 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 下列说法正确的是 （ ）‎ A. 数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}‎ B. 数列1，0，−1，−2与数列−2，−1，0，1是相同的数列 C. 数列{}的第k项为1+‎ D. 数列0，2，4，6，…可记为{2n}‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由数列的定义可知A中{1，3，5，7}表示的是一个集合，而非数列，故A错误；‎ B中，数列中各项之间是有序的，故数列1，0，−1，−2与数列−2，−1，0，1是不同的数列，故B错误；‎ C中，数列{}的第k项为=1+，故C正确；‎ 数列0，2，4，6，…的通项公式为an=2n−2，故D错．‎ 故选C．‎ 考点：数列的概念，数列的通项公式．‎ ‎2.正项等比数列{}中，若a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，那么公比q等于 A. 3 B. 3或－3‎ C. 9 D. 9或－9‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为为正项等比数列，所以其公比。由可得，所以，故选A ‎3.已知，，且，不为0，那么下列不等式成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：根据不等式的性质，可知，则，故选D.‎ 考点：不等式的性质.‎ ‎4.命题“若，则”的逆命题是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则.‎ C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据命题“若，则”逆命题为“若，则”即可得结果.‎ ‎【详解】由于命题“若，则”的逆命题为“若，则”，‎ 故命题“若，则”的逆命题是“若，则”‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了逆命题的概念，属于基础题.‎ ‎5.不等式的解集是（ )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：且且 ‎，化简得解集 考点：分式不等式解法 ‎6.在中，角A，B，C所对的边为a,b,c，，，则外接圆的面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理即可得出外接圆的半径，即可得出外接圆的面积．‎ ‎【详解】设外接圆的半径，‎ 则，解得，‎ ‎∴外接圆的面积，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了利用正弦定理求外接圆的半径、圆的面积，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎7.若实数，满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A. －3 B. ‎1 ‎C. 9 D. 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出可行域，向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.‎ ‎【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，向上平移基准直线到的位置，此时目标函数取得最大值为.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用线性规划的知识求目标函数的最大值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎8.若的三个内角满足，则（ ）‎ A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，得出，可得出角为最大角，并利用余弦定理计算出，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状.‎ ‎【详解】由，可得出，‎ 设，则，，则角为最大角，‎ 由余弦定理得，则角为钝角，‎ 因此，为钝角三角形，故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎9.在△ABC中，“”是“A＜B”的(　　)‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用大角对大边得到，进而利用正弦定理将边边关系得到，即证明了必要性，再同理得到充分性．‎ ‎【详解】在三角形中，若A＜B，则边a＜b，由正弦定理，得．若，则由正弦定理，得a＜b，根据大边对大角，可知A＜B，即是A＜B的充要条件．故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定以及正弦定理，意在考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．解决此题的关键是利用“大边对大角，大角对大边”进行与的转化.‎ ‎10.等比数列的各项均为正数，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由等比数列的性质可得：，所以.‎ ‎.‎ 则，‎ 故选：B.‎ ‎11.条件或，条件，p是q（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过举反例，判断出成立推不出成立，通过判断逆否命题真假，判断出原命题的真假得到后者成立能推出前者成立，由充分条件、必要条件的定义得到结论．‎ ‎【详解】若成立，例如当，时，不成立，即不成立，‎ 反之，若且，则是真命题，‎ 所以若，则或是真命题，即成立，‎ 所以是的必要而不充分条件，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了判断一个命题是另一个命题的什么条件，一般先判断前者成立是否能推出后者成立，再判断后者成立能否推出前者成立，属于中档题．‎ ‎12.已知，，，则的最小值为（ ）‎ A. 4 B. ‎2 ‎C. 1 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把看成的形式，把“‎4”‎换成，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值．‎ ‎【详解】∵，，且，‎ ‎∴，‎ 等号成立的条件为，‎ 所以的最小值为1，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了基本不等式在求最值中的应用，解决本题的关键是写成形式，属于中档题.‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.要求每小题写出最简结果）‎ ‎13.命题“”的否定是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题可以先观察题目所给命题，通过命题特征可知其为全称命题，再通过全称命题的相关性质以及全称命题的否定形式即可得出答案。‎ ‎【详解】由全称命题的否定为特称命题可知，‎ 命题“”的否定是“”，‎ 故答案为。‎ ‎【点睛】本题主要考查了命题的否定，特别注意，命题中有全称量词时命题是全称命题，全称命题的否定为特称命题，属于基础题。‎ ‎14.等差数列中，已知，则____________.‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用等差数列的性质得答案．‎ ‎【详解】∵数列是等差数列，且，‎ ‎∴由等差数列的性质，得．‎ 故答案为：16．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的性质，在等差数列中，若，，，，且，则，属于基础题．‎ ‎15.已知命题：“，使”为真命题，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 依题意，函数开口向上，且对称轴为，在上单调递增， 故.‎ ‎16.《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题，今年超强台风“山竹”登陆时再现了这一现象（如图所示），不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后（没有完全断开），树干与底面成角，折断部分与地面成角，树干底部与树尖着地处相距米，则大树原来的高度是____米（结果保留根号）．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设树干底部为，树尖着地处为，折断点为，得到三角形的三个角的大小，再由正弦定理即可求解.‎ ‎【详解】如图所示,设树干底部为，树尖着地处为，折断点为，‎ 则,, 所以．由正弦定理知,‎ ‎，所以(米)， (米)，‎ ‎(米)．答案： ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查解三角形的应用，常用正弦定理和余弦定理等来解题，难度不大.‎ 三、解答题：（本题共六大题，共70分）‎ ‎17.已知条件，条件，若“”为真，求的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的解法求出命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可．‎ ‎【详解】由，得或；‎ 由，得，；‎ 又∵为真时，∴为真，为真，即，‎ 则x的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的判断，根据不等式的解法求出命题的等价条件是解决本题的关键，属于中档题.‎ ‎18.在等差数列中，已知，，求当取何值时，数列的前n项和最大，并求此最大值.‎ ‎【答案】当时，最大，最大值为169‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令公差为，根据等差数列前项和公式列出关于的方程，解出可得的通项公式，根据求出即可求出最大值.‎ ‎【详解】令公差为，依题意：‎ ‎，‎ ‎∴，∴.‎ 由，‎ ‎∴，∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎19.解关于的不等式:＜.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：＜即。‎ 所以，‎ 考点：含参数一元二次不等式的解法。‎ 点评：中档题，含参数一元二次不等式的求解，首先应考虑因式分解法，讨论根的大小，写出解集。‎ ‎20.某工厂拟建一座底为矩形且面积为的三级污水处理池（平面图如图所示），如果池四周的围墙建造单价为每米400元，中间两道隔墙单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元.请你设计：污水处理池的长和宽为多少米时，总造价最低，并求出总造价.‎ ‎【答案】污水处理池的长为‎18米，宽为米，总造价最低，为44800元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令池底长为x米，宽为米，总造价为y元，依题意化简得，利用基本不等式求解即可.‎ ‎【详解】令池底长为x米，宽为米，总造价为y元，依题意：‎ ‎，‎ 取等号的条件是，则长为‎18米，宽为米，总造价最低，为44800元.‎ ‎【点睛】本题考查了基本不等式的应用、造价与建筑面积和单价的关系等基础知识与基本方法，属于中档题．‎ ‎21.在中，角所对的边分别是，.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）是边上的中线，若，，求的长.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理化简已知等式可得：，由于，可得：，结合范围，可求的值．‎ ‎（2）由三角形面积公式可求，进而利用余弦定理可得，即可解得的值．‎ ‎【详解】解：（1）在中，，由正弦定理得，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，即，‎ ‎∵，∴.‎ ‎（2）在中，，，，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵是的中线，∴，‎ 在中，由余弦定理得 ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎22.已知数列满足 ‎（1）若数列满足，求证：等比数列；‎ ‎（2）求数列的前项和 ‎【答案】(1) 见解析；(2) .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）通过恒等变形，得到即，结论得证;‎ ‎（2）由(1)可得，分成一个等比数列，一个常数列求和即可.‎ 试题解析： (1) 由题可知，从而有，，所以是以1为首项，3为公比的等比数列. ‎ ‎ (2) 由(1)知，从而，‎ 有.‎ 点晴：本题考查的是数列中的递推关系和数列求和问题.第一问中关键是根据得到，即证得是等比数列;第二问中的通项由 ‎，比较明显地可以分成一个等比数列，一个常数列求和即可.‎