中考数学尺规作图专题复习

中考数学尺规作图专题复习

中考总复习—尺规作图 一、理解“尺规作图”的含义 在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的．‎ ‎2.基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.‎ 二、熟练掌握尺规作图题的规范语言 ‎1.用直尺作图的几何语言：‎ ‎①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；‎ ‎②连结两点××；或连结××；‎ ‎③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；‎ ‎2.用圆规作图的几何语言：‎ ‎①在××上截取××＝××；‎ ‎②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；‎ ‎③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；‎ ‎④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、× .‎ 三、了解尺规作图题的一般步骤 尺规作图题的步骤：‎ ‎1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；‎ ‎2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；‎ ‎3.作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.‎ 在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要.‎ 四、最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。五种基本作图：‎ ‎ ①、作一条线段等于已知线段；‎ ‎ ②、作已知线段的垂直平分线（中点）；‎ ‎ ③、作已知直线的垂线（分过直线外一点作直线的垂线和过直线上一点作直线的垂线两种情况）；‎ ‎ ④、作一个角等于已知角；‎ ‎ ⑤、作已知角的角平分线；‎ 8‎ 补充：⑥、作已知线段的黄金分割点；‎ ‎4.1、作一条线段等于已知线段 已知：如图，线段a .‎ 求作：线段AB，使AB = a .‎ 作法：‎ （1） 作射线AP；‎ （2） 在射线AP上用圆规截取AB=a .‎ 则线段AB就是所求作的图形。‎ ‎4.2、作已知线段的垂直平分线（中点）‎ 已知：如图，线段MN.‎ 求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）.‎ 作法：‎ ‎（１）分别以M、N为圆心，大于　　　‎ ‎　的相同线段为半径画弧，‎ 两弧相交于P，Q；‎ ‎（２）连接PQ交MN于O．‎ 则点O就是所求作的ＭＮ的中点。‎ ‎（试问：PQ与ＭＮ有何关系？）‎ ‎4.3、作已知直线的垂线 ‎4.3.1、过直线外一点作直线的垂线 已知：直线a、及直线a外一点A.(画出直线a、点A) A C D B 求作：直线a的垂线直线b，使得直线b经过点A. 作法：‎ ‎ _________________ a ‎(1)以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交直线a于点C、D.‎ ‎(2)以点C为圆心，以AD长为半径在直线另一侧画弧. ‎(3)以点D为圆心，以AD长为半径在直线另一侧画弧，交前一条弧于点B. ‎ ‎(4)经过点A、B作直线AB.直线AB就是所画的垂线b.(如图) ‎ ‎4.3.2、过直线上一点作直线的垂线 已知：直线a、及直线a上一点A. M C D N 求作：直线a的垂线直线b，使得直线b经过点A. 作法：‎ ‎ ______________________ a ‎ A ‎(1)以A为圆心，任一线段的长为半径画弧，交a于C、B两点 ‎(2)点C为圆心，以大于CB一半的长为半径画弧；‎ 8‎ ‎(3)以点B为圆心，以同样的长为半径画弧，两弧的交点分别记为M、N ‎(4)经过M、N，作直线MN直线MN就是所求作的垂线b ‎ ‎4.4、作一个角等于已知角 求作一个角等于已知角∠MON（如图1）．‎ 图（1） 图（2）‎ ‎ 作法：‎ （1） 作射线；‎ （2） 在图（1）上，以O为圆心，任意长为半径作弧，交OM于点A，交ON于点B；‎ （3） 以为圆心，OA的长为半径作弧，交于点C；‎ ‎（4）以C为圆心，以AB的长为半径作弧，交前弧于点D；（5）过点D作射线．‎ 则∠就是所要求作的角．‎ ‎4.5、作已知角的角平分线 已知：如图，∠AOB，‎ 求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。‎ 作法：‎ ‎（1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，‎ 分别交OA，OB于M，N；‎ ‎（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于　　　‎ ‎　的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；‎ （1） 作射线OP。‎ 则射线OP就是∠AOB的角平分线。‎ 8‎ ‎4.6、作已知线段的黄金分割点 尺规作图典型例题归纳 ‎1、已知两边及夹角作三角形。‎ 已知：如图，线段m，n, ∠.‎ 求作：△ABC，使∠A=∠，AB=m，AC=n.‎ 作法：‎ （1） 作∠A=∠；‎ （2） 在AB上截取AB=m ,AC=n；‎ （3） 连接BC。‎ 则△ABC就是所求作的三角形。‎ ‎2、如图（1），已知直线AB及直线AB外一点C，过点C作CD∥AB（写出作法，画出图形）．‎ 分析 根据两直线平行的性质，同位角相等或内错角相等，故作一个角∠ECD=∠EFB即可．‎ 作法 如图（2）．‎ 图（1） 图（2）‎ ‎（1）过点C作直线EF，交AB于点F；‎ ‎（2）以点F为圆心，以任意长为半径作弧，交FB于点P，交EF于点Q；‎ ‎（3）以点C为圆心，以FP为半径作弧，交CE于M点；‎ 8‎ ‎（4）以点M为圆心，以PQ为半径作弧，交前弧于点D；‎ ‎（5）过点D作直线CD，CD就是所求的直线．‎ ‎3、如下图，△ABC中，a=5cm，b=3cm，c=3.5cm，∠B=，∠C=，请你从中选择适当的数据，画出与△ABC全等的三角形（把你能画的三角形全部画出来，不写画法但要在所画的三角形中标出用到的数据）．‎ 分析 本题实质上是利用原题中的5个数据，列出所有与△ABC全等的各种情况，依据是SSS、SAS、AAS、ASA．‎ 解 与△ABC全等的三角形如下图所示．‎ ‎4、正在修建的中山北路有一形状如下图所示的三角形空地需要绿化．拟从点A出发，将△ABC分成面积相等的三个三角形，以便种上三种不同的花草，请你帮助规划出图案（保留作图痕迹，不写作法）．‎ ‎（2003年，桂林）‎ 分析 这是尺规作图在生活中的具体应用．要把△ABC分成面积相等的三个三角形，且都是从A点出发，说明这三个三角形的高是相等的，因而只需这三个三角形的底边也相等，所以只要作出BC边的三等分点即可．‎ 8‎ 作法 如下图，‎ 找三等分点的依据是平行线等分线段定理．‎ ‎5、如图（1）所示，已知线段a、b、h（h＜b）．‎ 求作△ABC，使BC=a，AB=b， BC边上的高AD=h．‎ 图（1）‎ 错解 如图（2），‎ ‎（1）作线段BC=a；‎ ‎（2）作线段BA=b，使AD⊥BC且AD=h．‎ 则△ABC就是所求作的三角形．‎ 错解分析 ①不能先作BC；②第2步不能同时满足几个条件，完全凭感觉毫无根据；③未考虑到本题有两种情况．对于这种作图题往往都是按照由里到外的顺序依次作图，如本题先作高AD，再作AB，最后确定BC．‎ 图（2） 图（3）‎ 正解 如图（3）．‎ ‎（1）作直线PQ，在直线PQ上任取一点D，作DM⊥PQ；‎ ‎（2）在DM上截取线段DA=h；‎ ‎（3）以A为圆心，以b为半径画弧交射线DP于B；‎ ‎（4）以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BP和射线BQ于和；‎ ‎（5）连结、，则△（或△）都是所求作的三角形．‎ 8‎ ‎6、如下图，已知钝角△ABC，∠B是钝角．‎ 求作：（1）BC边上的高；（2）BC边上的中线（写出作法，画出图形）．‎ 分析 （1）作BC边上的高，就是过已知点A作BC边所在直线的垂线；‎ ‎（2）作BC边上的中线，要先确定出BC边的中点，即作出BC边的垂直平分线．‎ 作法 如下图 ‎（1）①在直线CB外取一点P，使A、P在直线CB的两旁；‎ ‎②以点A为圆心，AP为半径画弧，交直线CB于G、H两点；‎ ‎③分别以G、H为圆心，以大于GH的长为半径画弧，两弧交于E点；‎ ‎④作射线AE，交直线CB于D点，则线段AD就是所要求作的△ABC中BC边上的高．‎ ‎（2）①分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径画弧，两弧分别交于M、N两点；‎ ‎②作直线MN，交BC于点F；‎ ‎③连结AF，则线段AF就是所要求作的△ABC中边BC上的中线．‎ 说明 在已知三角形中求作一边上的高线、中线、角平分线时，首先要把握好高线、中线、角平分钱是三条线段；其次，高线、中线的一个端点必须是三角形中这边所对的顶点，而关键是找出另一个端点．‎ ‎7、 如下图，已知线段a、b、∠α、∠β．‎ 求作梯形ABCD，使AD=a，BC=b，AD∥BC，∠B=∠α；∠C=∠β．‎ 分析 假定梯形已经作出，作AE∥DC交BC于E，则AE将梯形分割为两部分，一部分是△ABE，另一部分是AECD．在△ABE中，已知∠B=∠α，∠AEB=∠β，BE=b-a，所以，可以首先把它作出来，而后作出AECD．‎ 作法 如下图．‎ 8‎ ‎（1）作线段BC=b；‎ ‎（2）在BC上截取BE=b-a ；‎ ‎（3）分别以B、E为顶点，在BE同侧作∠EBA=∠α，∠AEB=∠β，BA、EA交于A；‎ ‎（4）以EA、EC为邻边作AECD．‎ 四边形ABCD就是所求作的梯形．‎ 说明 基本作图是作出较简单图形的基础，三角形是最简单的多边形，它是许多复杂图形的基础．因此，要作一个复杂的图形，常常先作一个比较容易作出的三角形，然后以此为基础，再作出所求作的图形．‎ ‎8、青岛国际帆船中心要修建一处公共服务设施，使它到三所运动员公寓A.B.C 的距离相等． ‎ ‎（1）若三所运动员公寓A.B.C的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施（用点P表示）的位置；‎ ‎（2）若∠BAC＝66º，则∠BPC＝ º.‎ 8‎