陕西省咸阳市2018-2019学年高二下学期期末考试教学质量检测数学（理）试题

陕西省咸阳市2018-2019学年高二下学期期末考试教学质量检测数学（理）试题

咸阳市2018~2019学年度第二学期期末教学质量检测 高二数学（理科）试题 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出复数z，然后根据公式，求出复数的模即可.‎ ‎【详解】，，.故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的模计算，较基础.‎ ‎2.已知函数在处的导数为l，则（ ）‎ A. 1 B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的定义可得到， ，然后把原式等价变形可得结果.‎ ‎【详解】因为，且函数在处的导数为l，所以，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的定义及计算，较基础.‎ ‎3.‎ 某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数有（　　）种．‎ A. 8 B. ‎15 ‎C. 18 D. 30‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题是一个分类计数问题，解决问题分成两个种类，根据分类计数原理知共有3+5＝8种结果．‎ ‎【详解】由题意知本题是一个分类计数问题，‎ 解决问题分成两个种类，一是可以用综合法证明，有5种方法，‎ 一是可以用分析法来证明，有3种方法，‎ 根据分类计数原理知共有3+5＝8种结果，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查分类计数问题，本题解题的关键是看清楚完成这个过程包含两种方法，看出每一种方法所包含的基本事件数，相加得到结果．‎ ‎4.下列求导计算正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数求导法则得到相应的结果.‎ ‎【详解】A选项应为，‎ C选项应为，‎ D选项应为.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】这个题目考查了函数的求导运算，牢记公式，准确计算是解题的关键，属于基础题.‎ ‎5.的展开式中的常数项为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简二项式的展开式，令的指数为零，求得常数项.‎ ‎【详解】二项式展开式的通项为，令，故常数项为，故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查二项式展开式中的常数项，属于基础题.‎ ‎6.若随机变量，且，则（ ）‎ A. 0.6 ‎B. 0.5‎ C. 0.4 D. 0.3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据随机变量X服从正态分布N（3，σ2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=3，根据正态曲线的特点，即可得到结果．‎ ‎【详解】∵随机变量X服从正态分布N（3，σ2），‎ ‎∴对称轴是x=3．‎ ‎∵P（X≥5）=0.2，‎ ‎∴P（1＜X＜5）=1﹣2P（X≥5）=1﹣0.4=0.6．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值 从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的．‎ ‎7.二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现.则由四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为，，由此类比可得，，从而可得到结果.‎ ‎【详解】因为二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现.所以由四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四为测度W，应满足 ，又因为，所以，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查类比推理以及导数的计算.‎ ‎8.曲线与直线围成的平面图形的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先作出直线与曲线围成的平面图形的简图，联立直线与曲线方程，求出交点横坐标，根据定积分即可求出结果.‎ ‎【详解】作出曲线与直线围成的平面图形如下：‎ 由解得：或，‎ 所以曲线与直线围成的平面图形的面积为 ‎.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查定积分的应用，求围成图形的面积只需转化为对应的定积分问题求解即可，属于常考题型.‎ ‎9.甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件为“三个人去的景点各不相同”，事件为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 这是求甲独自去一个景点的前提下，三个人去的景点不同的概率，求出相应的基本事件的个数，即可得出结果.‎ ‎【详解】甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙、丙只能在剩下的两个景点选择，根据分步乘法计数原理可得，对应的基本事件有种；另外，三个人去不同景点对应的基本事件有种，所以，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查条件概率，确定相应的基本事件个数是解决本题的关键.‎ ‎10.已知关于的线性回归方程为，且变量，之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是（ ）‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.8‎ ‎3.1‎ ‎4.3‎ A. 变量，之间呈正相关关系 B. 可以预测当时，‎ C. 由表中数据可知，该回归直线必过点 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线性回归方程的定义以及相关的结论，逐项判断，可得结果.‎ ‎【详解】选项A，因为线性回归方程为，其中，所以变量，之间呈正相关关系，正确；选项B，当时，，正确；选项C，根据表格数据可得， ， ，因为回归直线必过点，所以，正确；选项D， ，解得，错误.故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查线性相关与线性回归方程的应用.‎ ‎11.现将甲、乙、丙、丁四个人安排到座位号分别是的四个座位上，他们分别有以下要求，‎ 甲：我不坐座位号为和的座位；‎ 乙：我不坐座位号为和的座位；‎ 丙：我的要求和乙一样；‎ 丁：如果乙不坐座位号为的座位，我就不坐座位号为的座位.‎ 那么坐在座位号为的座位上的是（ ）‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对甲分别坐座位号为3或4分类推理即可判断。‎ ‎【详解】当甲坐座位号3时，‎ 因为乙不坐座位号为1和4的座位 所以乙只能坐座位号为2，这时只剩下座位号为1和4‎ 又丙的要求和乙一样，矛盾，故甲不能坐座位号3.‎ 当甲坐座位号为4时，‎ 因为乙不坐座位号为1和4的座位，丙的要求和乙一样：‎ 所以丁只能坐座位号1，‎ 又如果乙不坐座位号为2的座位，丁就不坐座位号为1的座位.‎ 所以乙只能坐座位号2，这时只剩下座位号3给丙。‎ 所以坐在座位号为3的座位上的是丙.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了逻辑推理能力，考查了分类思想，属于中档题。‎ ‎12.已知定义在上的函数的导函数为，且对任意都有，，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先构造函数，求导得到在R上单调递增，根据函数单调性可求得不等式的解集.‎ ‎【详解】构造函数， ， .‎ 又任意都有.在R上恒成立. 在R上单调递增.当时，有，即的解集为.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用函数的单调性解不等式，根据题目条件构造一个新函数是解决本题的关键.‎ 二、填空题。‎ ‎13.已知复数，，若为纯虚数，则_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简，令其实部为0，可得结果.‎ ‎【详解】因为，且为纯虚数，所以，即.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的除法运算以及复数为纯虚数的等价条件.‎ ‎14.已知随机变量X的分布列为P（X＝k）＝（k＝1,2,3,4），则a等于_______．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ 试题分析：．随机变量的取值有1、2、3、4,分布列为：‎ ‎ ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎4 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由概率的基本性质知：‎ 考点：1、离散型随机变量的分布列．‎ ‎15.某校从6名教师中选派3名教师去完成3项不同的工作，每人完成一项，每项工作由1人完成，其中甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有_____种.‎ ‎【答案】48‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先选人后分配，选人分有甲丙和没有甲丙2种情况，然后选出的3人全排列，两步的结果相乘可得解.‎ ‎【详解】根据题意，可以分两步完成选派：①先从6名教师中选出3名老师，需分2种情况进行讨论.1.甲和丙同去，有种不同选法；2.甲和丙同不去，有种不同选法，所以不同的选法有种.②将选出的3名老师全排列，对应3项不同的工作，有种情况.根据分步计数原理得不同的选派方案共有种.‎ ‎【点睛】本题主要考查排列组合的综合题，先选人后分配是解决本题的关键.‎ ‎16.已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在上是减函数的等价条件是在恒成立，然后分离参数求最值即可.‎ ‎【详解】在上是减函数， 在恒成立，即， 在的最小值为， ‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导函数研究含参函数的单调性问题，把在上是减函数转化为在恒成立是解决本题的关键.‎ 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目.‎ ‎（Ⅰ）3名女生相邻，有多少种不同的站法？‎ ‎（Ⅱ）女生甲不能站在最左端，有多少种不同的站法？‎ ‎【答案】（Ⅰ）720种；（Ⅱ）4320种 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）相邻问题用“捆绑法”；（Ⅱ）有限制元素采取“优先法”.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）3名女生相邻可以把3名女生作一个元素，和4名男生共有5个元素排列，有种情况，其中3名女生内部还有一个排列，有种情况，‎ ‎∴一共有种不同的站法.‎ ‎（Ⅱ）根据题意，女生甲不能站在最左端，那么除最左端之外，甲有种站法，‎ 将剩余的6人全排列，安排在剩余的位置，有种站法，‎ ‎∴一共有种不同的站法.‎ ‎【点睛】本题主要考查排列的应用，较基础.‎ ‎18.已知函数，曲线在处的切线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求实数，的值；‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）最大值为，最小值为.（Ⅱ）最大值为，最小值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）切点在函数上，也在切线方程为上，得到一个式子，切线的斜率等于曲线在的导数，得到另外一个式子，联立可求实数，的值；（Ⅱ）函数在闭区间的最值在极值点或者端点处取得，通过比较大小可得最大值和最小值.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ），‎ ‎∵曲线在处的切线方程为，‎ ‎∴解得，.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，则，‎ 令，解得，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增，‎ 又，，，‎ ‎∴在区间上的最大值为，最小值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查导函数与切线方程的关系以及利用导函数求最值的问题.‎ ‎19.某社区为了解居民参加体育锻炼的情况，从该社区随机抽取了18名男性居民和12名女性居民，对他们参加体育锻炼的情况进行问卷调查.现按是否参加体育锻炼将居民分成两类：甲类（不参加体育锻炼）、乙类（参加体育锻炼），结果如下表：‎ 甲类 乙类 男性居民 ‎3‎ ‎15‎ 女性居民 ‎6‎ ‎6‎ ‎（Ⅰ）根据上表中的统计数据，完成下面的列联表；‎ 男性居民 女性居民 总计 不参加体育锻炼 参加体育锻炼 总计 ‎（Ⅱ）通过计算判断是否有90%的把握认为参加体育锻炼与否与性别有关？‎ 附：，其中.‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎【答案】（Ⅰ）列联表见解析；（Ⅱ）有90%的把握认为参加体育锻炼与否与性别有关.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）直接根据给出的数据填入表格即可；（Ⅱ）根据列联表，代入公式，计算出 的观测值与临界值进行比较，进而得出结论.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）填写的列联表如下：‎ 男性居民 女性居民 总计 不参加体育锻炼 ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ 参加体育锻炼 ‎15‎ ‎6‎ ‎21‎ 总计 ‎18‎ ‎12‎ ‎30‎ ‎（Ⅱ）计算，‎ ‎∴有90%的把握认为参加体育锻炼与否与性别有关.‎ ‎【点睛】本题主要考查列联表及独立性检验，较基础.‎ ‎20.已知数列满足：，且.‎ ‎（Ⅰ）求，，的值，并猜想数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）试用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想.‎ ‎【答案】（Ⅰ），，，猜想.（Ⅱ）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）令，可得，，的值，根据，可猜想数列的通项公式；（Ⅱ）①当时，猜想显然成立；②假设当时猜想成立，通过证明当时，猜想也成立，从而得到证明.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）由递推公式可得，，，‎ 猜想.‎ ‎（Ⅱ）下面用数学归纳法证明猜想成立.‎ ‎①当时，猜想显然成立；‎ ‎②假设当时猜想成立，即，‎ 则时，由，‎ 得，‎ 即当时，猜想也成立，‎ 由①②可知，对任意均成立 ‎【点睛】本题主要考查归纳推理及用数学归纳法证明猜想成立.‎ ‎21.高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.‎ ‎（Ⅰ）理论上，小球落入4号容器概率是多少？‎ ‎（Ⅱ）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为，求的分布列与数学期望.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的分布列见解析，数学期望是 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）若要小球落入4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层向左，根据二项分布公式可求得概率；（Ⅱ）落入4号容器的小球个数的可能取值为0，1，2，3，算出对应事件概率，利用离散型随机变量分布列数学期望的公式可求得结果.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）记“小球落入4号容器”为事件，‎ 若要小球落入4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层向左，‎ ‎∴理论上，小球落入4号容器的概率.‎ ‎（Ⅱ）落入4号容器的小球个数的可能取值为0，1，2，3，‎ ‎∴，，‎ ‎，，‎ ‎∴的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查二项分布及其数学期望的计算，较基础.‎ ‎22.已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）当时，求的单调区间与极值；‎ ‎（Ⅱ）当时，若函数在上有唯一零点，求的值 ‎【答案】（Ⅰ）的单调递增区间是，单调递减区间是.极大值是，无极小值.（Ⅱ）1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）把代入，令，求出极值点，再求出的单调区间，确定函数的极值；（Ⅱ）函数在 上有唯一零点，等价于的极小值等于0，列出等式，可求得t.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）当时，，‎ 则，‎ 令，得，‎ ‎∴的单调递增区间是，单调递减区间是.‎ ‎∴的极大值是，无极小值.‎ ‎（Ⅱ）当时，，‎ 由，得，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴的极小值是，∴只要，即，‎ 令，则，∴在上单调递增.‎ ‎∵，‎ ‎∴的值是1.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导函数求增减区间和极值；以及根据函数零点的个数，确定参数的取值，数形结合方法的应用是解决本题的关键.‎