高中数学人教a版必修三 第二章 统计 学业分层测评12 word版含答案

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学业分层测评(十二) 用样本的频率分 布估计总体分布 (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．下列命题正确的是( ) A．频率分布直方图中每个小矩形的面积等于相应组的频数 B．频率分布直方图的面积为对应数据的频率 C．频率分布直方图中各小矩形高(平行于纵轴的边)表示频率与组 距的比 D．用茎叶图统计某运动员得分：13，51，23，8，26，38，16， 33，14，28，39 时，茎是指中位数 26 【解析】 在频率分布直方图中，横轴表示样本数据；纵轴表示 频率 组距，由于小矩形的面积＝组距×频率 组距＝频率，所以各小矩形的面积 等于相应各组的频率，因此各小矩形面积之和等于 1. 【答案】 C 2．将容量为 100 的样本数据，按由小到大排列分成 8 个小组，如 下表所示： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 频数 10 13 14 14 15 13 12 9 第 3 组的频率和累积频率为( ) A．0.14 和 0.37 B． 1 14 和 1 27 C．0.03 和 0.06 D． 3 14 和 6 37 【解析】 由表可知，第三小组的频率为 14 100 ＝0.14，累积频率为 10＋13＋14 100 ＝0.37. 【答案】 A 3．如图 228 所示是一容量为 100 的样本的频率分布直方图，则 由图形中的数据可知样本落在[15，20)内的频数为( ) 图 228 A．20 B．30 C．40 D．50 【解析】 样本数据落在[15，20)内的频数为 100×[1－5×(0.04 ＋0.1)]＝30. 【答案】 B 4．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎 叶图(如图 229 所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( ) 图 229 A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，53 【解析】 由题意知各数为 12，15，20，22，23，23，31，32， 34，34，38，39，45，45，45，47，47，48，48，49，50，50，51， 51，54，57，59，61，67，68，中位数是 46，众数是 45，最大数为 68， 最小数为 12，极差为 68－12＝56. 【答案】 A 5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图 2210，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若 低于 60 分的人数是 15 人，则该班的学生人数是( ) 图 2210 A．45 B．50 C．55 D．60 【解析】 根据频率分布直方图的特点可知，低于 60 分的频率是 (0.005＋0.01)×20＝0.3，所以该班的学生人数是15 0.3 ＝50. 【答案】 B 二、填空题 6．200 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图 2211 所示，时速在[50，60)的汽车大约有______辆． 图 2211 【解析】 在[50，60)的频率为 0.03×10＝0.3， ∴汽车大约有 200×0.3＝60(辆)． 【答案】 60 7．(2016·东营高一检测)从甲、乙两个班中各随机选出 15 名同学 进行随堂测验，成绩的茎叶图如图 2212 所示，则甲、乙两组的最高 成绩分别是________，________，从图中看，________班的平均成绩 较高． 图 2212 【解析】 由茎叶图可知，甲班的最高分是 96，乙班的最高分是 92.甲班的成绩集中在 60～80 之间，乙班成绩集中在 70～90 之间，故 乙班的平均成绩较高． 【答案】 96 92 乙 8．从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查，发现其用电量都 在 50 度至 350 度之间，频率分布直方图如图 2213 所示： 图 2213 (1)直方图中 x 的值为________； (2)在这些用户中，用电量落在区间[100，250)内的户数为________． 【解析】 由于(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋x＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，解得 x＝0.004 4；数据落在[100，250)内的频率是(0.003 6 ＋0.006 0＋0.004 4)×50＝0.7，所以月用电量在[100，250)内的用户数 为 100×0.7＝70. 【答案】 (1)0.004 4 (2)70 三、解答题 9．为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为 A 药，B 药)的疗效， 随机地选取 20 位患者服用 A 药，20 位患者服用 B 药，这 40 位患者服 用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)，实验的观 测结果如下： 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间： 0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3．5 2．5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2．4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间： 3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1．4 1．6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0．5 (1)分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ (2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更 好？ 【导学号：28750037】 图 2214 【解】 (1)设 A 药观测数据的平均数为-x，B 药观测数据的平均数 为-y.由观测结果可得 -x＝ 1 20(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋ 2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3， -y＝ 1 20(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋ 1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6. 由以上计算结果可得-x＞-y，因此可看出 A 药的疗效更好． (2)由观测结果可绘制茎叶图如图： 从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有 7 10 的叶集中在茎 “2.”，“3.”上，而 B 药疗效的试验结果有 7 10 的叶集中在茎“0.”，“1.”上， 由此可看出 A 药的疗效更好． 10．为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行 一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图 2215)，图中从左到右各小长方形的面积之比为 2∶4∶17∶15∶9∶3， 第二小组的频数为 12. 图 2215 (1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？ (2)若次数在 110 以上(含 110 次)为达标，则该校全体高一年级学生 的达标率是多少？ 【解】 (1)频率分布直方图是以面积的形式反映了数据落在各小 组内的频率大小的，因此第二小组的频率为 4 2＋4＋17＋15＋9＋3 ＝ 0.08. 又因为第二小组的频率＝第二小组的频数 样本容量 ， 所以样本容量＝第二小组的频数 第二小组的频率＝ 12 0.08 ＝150. (2)由频率分布直方图可估计，该校高一年级学生的达标率为： 17＋15＋9＋3 2＋4＋17＋15＋9＋3 ×100%＝88%. [能力提升] 1．如图 2216 是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图， 据图可知( ) 图 2216 A．甲运动员的成绩好于乙运动员 B．乙运动员的成绩好于甲运动员 C．甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异 D．甲运动员的最低得分为 0 分 【解析】 由茎叶图可以看出甲运动员的成绩主要集中在 30 至 40 之间，比较稳定，而乙运动员均匀地分布在 10 至 40 之间，所以甲运 动员成绩较好．故选 A. 【答案】 A 2．某学校随机抽取 20 个班，调查各班中有网上购物经历的人数， 所得数据的茎叶图如图 2217 所示．以组距为 5 将数据分组成[0，5)， [5，10)，…，[30，35)，[35，40]时，所作的频率分布直方图是( ) 图 2217 【解析】 借助已知茎叶图得出各小组的频数，再由频率＝ 频数 样本容量求出各小组的频率，进一步求出频率 组距并得出答案． 法一 由题意知样本容量为 20，组距为 5. 列表如下： 分组 频数 频率 频率 组距 [0，5) 1 1 20 0.01 [5，10) 1 1 20 0.01 [10，15) 4 1 5 0.04 [15，20) 2 1 10 0.02 [20，25) 4 1 5 0.04 [25，30) 3 3 20 0.03 [30，35) 3 3 20 0.03 [35，40] 2 1 10 0.02 合计 20 1 观察各选择项的频率分布直方图知选 A. 法二 由茎叶图知落在区间[0，5)与[5，10)上的频数相等，故频率、 频率 组距也分别相等，比较四个选项知 A 正确，故选 A. 【答案】 A 图 2218 3．某校开展“爱我海西，爱我家乡”摄影比赛，9 位评委为参赛 作品 A 给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最 低分后，算得平均分为 91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图 中的 x)无法看清，若记分员计算无误，则数字 x 应该是________． 【解析】 当 x≤4 时， 89＋89＋92＋93＋（90＋x）＋92＋91 7 ＝91， 解之得 x＝1.当 x＞4 时，易证不合题意． 【答案】 1 4．某车站在春运期间为了了解旅客购票情况，随机抽样调查了 100 名旅客从开始在售票窗口排队到购到车票所用的时间 t(以下简称为购 票用时，单位为 min)，下面是这次调查统计分析得到的频率分布表和 频率分布直方图：(如图 2219 所示) 分组 频数 频率 一组 0≤t<5 0 0 二组 5≤t<10 10 0.10 三组 10≤t<15 10 ② 四组 15≤t<20 ① 0.50 五组 20≤t≤25 30 0.30 合计 100 1.00 图 2219 解答下列问题： (1)这次抽样的样本容量是多少？ (2)在表中填写出缺失的数据并补全频率分布直方图； (3)旅客购票用时的平均数可能落在哪一组？ 【解】 (1)样本容量是 100. (2)①50 ②0.10 所补频率分布直方图如图中的阴影部分： (3)设旅客平均购票用时为 t min，则有 0×0＋5×10＋10×10＋15×50＋20×30 100 ≤t <5×0＋10×10＋15×10＋20×50＋25×30 100 ， 即 15≤t<20.所以旅客购票用时的平均数可能落在第四组．