高考数学复习专题练习第3讲 二项式定理
第3讲 二项式定理
一、选择题
1． (4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是( )
A．－20 B．－15
C．15 D．20
解析 Tr＋1＝C(4x)6－r(－2－x)r
＝C·22x(6－r)·(－1)r·－xr＝C·(－1)r·212x－3xr
令12x－3xr＝0，则r＝4，所以T5＝C＝15，故选C.
答案 C
2．设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为 ( )．
A．－150 B．150 C．300 D．－300
解析 由已知条件4n－2n＝240，解得n＝4，
Tr＋1＝C(5x)4－rr＝(－1)r54－rCx4－，
令4－＝1，得r＝2，T3＝150x.
答案 B
3．已知8展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是 ( )．
A．28 B．38 C．1或38 D．1或28
解析 由题意知C·(－a)4＝1 120，解得a＝±2，令x＝1，得展开式各项系数和为(1－a)8＝1或38.
答案 C
4．在5的二项展开式中，x的系数为 ( )．
A．10 B．－10 C．40 D．－40
解析 因为Tr＋1＝C(2x2)5－rr＝C25－r·(－1)rx10－3r，所以10－3r＝1，所以r＝3，所以x的系数为C25－3(－1)3＝－40.
答案 D
5．已知0
0)与y＝|logax|的大致图象如图所示，所以n＝2.故(x＋1)n＋(x＋1)11＝(x＋2－1)2＋(x＋2－1)11，所以a1＝－2＋C＝－2＋11＝9.
答案 B
6．(1＋ax＋by)n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为( )
A．a＝2，b＝－1，n＝5 B．a＝－2，b＝－1，n＝6
C．a＝－1，b＝2，n＝6 D．a＝1，b＝2，n＝5
解析 不含x的项的系数的绝对值为(1＋|b|)n＝243＝35，不含y的项的系数的绝对值为(1＋|a|)n＝32＝25，
∴n＝5，再验证选项知应选D.
答案 D
二、填空题
7． 18的展开式中含x15的项的系数为________(结果用数值表示)．
解析 Tr＋1＝Cx18－rr＝(－1)rCrx18－r，令18－r＝15，解得r＝2.所以所求系数为(－1)2·C2＝17.
答案 17
8．若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.
解析 f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，它的通项为Tr＋1＝C(1＋x)5－r·(－1)r，T3＝C(1＋x)3(－1)2＝10(1＋x)3，∴a3＝10.
答案 10
9．若n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为________．
解析 n的展开式各项系数之和为64，令x＝1，得2n＝64，故n＝6，
则Tr＋1＝C·36－r·x·(－1)r·x－
＝(－1)rC·36－r·x3－r，
令3－r＝0得r＝3.
故常数项为(－1)3C·33＝－540.
答案 －540
10．设二项式6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．
解析 由Tr＋1＝Cx6－rr＝C(－a)rx6－r，
得B＝C(－a)4，A＝C(－a)2，∵B＝4A，a＞0，∴a＝2.
答案 2
三、解答题
11．已知二项式n的展开式中各项的系数和为256.
(1)求n；(2)求展开式中的常数项．
解 (1)由题意，得C＋C＋C＋…＋C＝256，即2n＝256，解得n＝8.
(2)该二项展开式中的第r＋1项为Tr＋1＝C()8－r·r＝C·x，令＝0，得r＝2，此时，常数项为T3＝C＝28.
12．设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M－N＝992.
(1)判断该展开式中有无x2项？若有，求出它的系数；若没有，说明理由；
(2)求此展开式中有理项的项数．
解 令x＝1得M＝4n，而N＝2n，由M－N＝992，
得4n－2n＝992.即(2n－32)·(2n＋31)＝0，
故2n＝32，n＝5.
(1)Tk＋1＝C·5－kk＝(－1)kC·55－k·x·x＝(－1)k·C·55－k·x
由题意，令＝2，解得k＝3，故含x2项存在．
它的系数为(－1)3·C·55－3＝－250.
(2)展开式中的有理项应满足，故k只能取3，即展开式中只有一项有理项．
13．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．
解 5的展开式的通项为Tr＋1＝C5－r·r＝5－rCx，令20－5r＝0，得r＝4，故常数项T5＝C×＝16.又(a2＋1)n展开式的各项系数之和等于2n，由题意知2n＝16，得n＝4.由二项式系数的性质知，(a2＋1)n展开式中系数最大的项是中间项T3，故有Ca4＝54，解得a＝±.
14．已知n，
(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．
解 (1)∵C＋C＝2C，∴n2－21n＋98＝0.
∴n＝7或n＝14，
当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.
∴T4的系数为C423＝，
T5的系数为C324＝70，
当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.
∴T8的系数为C727＝3 432.
(2)∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0.
∴n＝12或n＝－13(舍去)．设Tk＋1项的系数最大，
∵12＝12(1＋4x)12，
∴ ∴9.4≤k≤10.4，∴k＝10.
∴展开式中系数最大的项为T11，
T11＝C·2·210·x10＝16 896x10.
