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文档介绍
创新设计 高考总复习高考数学 全国专用一轮复习第八篇 空间几何体的表面积与体积
第 2 讲 空间几何体的表面积与体积 A 级 基础演练 (时间:30 分钟 满分:55 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.(2013·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示,则侧视图的面积为 ( ). A.2+ 3 B.1+ 3 C.2+2 3 D.4+ 3 解析 依题意得,该几何体的侧视图的面积等于 22+1 2 ×2× 3=4+ 3. 答案 D 2.(2011·湖南)设右图是某几何体的三视图,则该几 何体的体积为 ( ). A.9 2π+12 B.9 2π+18 C.9π+42 D.36π+18 解析 该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体,球的直径为 3,长方 体的底面是边长为 3 的正方形,高为 2,故所求体积为 2×32+4 3π 3 2 3=9 2π+ 18. 答案 B 3.一个几何体的三视图如图所示,那么此几何体的侧面积(单位:cm2)为 ( ). A.48 B.64 C.80 D.120 解析 据三视图知,该几何体是一个正四棱 锥(底面边长为 8),直观图如图,PE 为侧面 △PAB 的边 AB 上的高,且 PE=5.∴此几何 体的侧面积是 S=4S △ PAB =4×1 2 ×8×5= 80(cm2). 答案 C 4.(2012·新课标全国)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为 ( ). A. 2 6 B. 3 6 C. 2 3 D. 2 2 解析 在直角三角形 ASC 中,AC=1,∠SAC=90°,SC=2,∴SA= 4-1= 3;同理 SB= 3.过 A 点作 SC 的垂线交 SC 于 D 点,连接 DB,因△SAC≌ △SBC,故 BD⊥SC,故 SC⊥平面 ABD,且平面 ABD 为等腰三角形,因∠ASC =30°,故 AD=1 2SA= 3 2 ,则△ABD 的面积为1 2 ×1× AD2- 1 2 2 = 2 4 ,则三棱锥的体积为1 3 × 2 4 ×2= 2 6 . 答案 A 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.已知 S、A、B、C 是球 O 表面上的点,SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,SA=AB= 1,BC= 2,则球 O 的表面积等于________. 解析 将三棱锥 S-ABC 补形成以 SA、AB、BC 为棱的长方体,其对角线 SC 为球 O 的直径,所以 2R=SC=2,R=1,∴表面积为 4πR2=4π. 答案 4π 6.(2012·天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 ________ m3. 解析 由三视图可知,该几何体是组合体,上面是长、宽、高分别是 6,3,1 的 长方体,下面是两个半径均为3 2 的球,其体积为 6×3×1+2×4 3 ×π× 3 2 3=18 +9π(m3). 答案 18+9π 三、解答题(共 25 分) 7.(12 分)如图,已知某几何体的三视图如下(单位:cm): (1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法); (2)求这个几何体的表面积及体积. 解 (1)这个几何体的直观图如图所示. (2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q- A1D1P 的组合体.由 PA1=PD1= 2,A1D1=AD=2,可 得 PA1 ⊥ PD1. 故 所 求 几 何 体 的 表 面 积 S = 5×22 + 2×2× 2+2×1 2 ×( 2)2=22+4 2(cm2), 体积 V=23+1 2 ×( 2)2×2=10 (cm3). 8.(13 分)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面为直角三角 形,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC1= 2,P 是 BC1 上一动点,如图所示,求 CP+PA1 的最小值. 解 PA1 在平面 A1BC1 内,PC 在平面 BCC1 内,将其 铺平后转化为平面上的问题解决.铺平平面 A1BC1、 平面 BCC1,如图所示.计算 A1B=AB1= 40,BC1=2,又 A1C1=6,故△A1BC1 是∠A1C1B=90°的直角三角形. CP+PA1≥A1C.在△AC1C 中,由余弦定理,得 A1C= 62+ 22-2·6· 2·cos 135°= 50=5 2, 故(CP+PA1)min=5 2. B 级 能力突破 (时间:30 分钟 满分:45 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.(2012·哈尔滨模拟)某品牌香水瓶的三视图如下(单位:cm),则该几何体的表 面积为 ( ). A. 95-π 2 cm2 B. 94-π 2 cm2 C. 94+π 2 cm2 D. 95+π 2 cm2 解析 该几何体的上下为长方体,中间为圆柱. S 表面积=S 下长方体+S 上长方体+S 圆柱侧-2S 圆柱底=2×4×4+4×4×2+2×3×3+ 4×3×1+2π×1 2 ×1-2×π 1 2 2=94+π 2. 答案 C 2.(2013·福州模拟)如图所示,已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长均为 1,且 AA1⊥底面 ABC,则三棱锥 B1-ABC1 的体积为 ( ). A. 3 12 B. 3 4 C. 6 12 D. 6 4 解析 三棱锥 B1-ABC1 的体积等于三棱锥 A-B1BC1 的体积,三棱锥 A- B1BC1 的高为 3 2 ,底面积为1 2 ,故其体积为1 3 ×1 2 × 3 2 = 3 12. 答案 A 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.(2013·江西盟校二联)已知某几何体的直观图及三 视图如图所示,三视图的轮廓均为正方形,则该几 何体的表面积为________. 解析 借助常见的正方体模型解决.由三视图 知,该几何体由正方体沿面 AB1D1 与面 CB1D1 截去两个角所得,其表面由两个等边三角形、 四个直角三角形和一个正方形组成.计算得其 表面积为 12+4 3. 答案 12+4 3 4.(2012·长春二模)如图所示,正方体 ABCD- A1B1C1D1 的棱 长为 6,则 以正方体 ABCD- A1B1C1D1 的中心为顶点,以平面 AB1D1 截正方 体外接球所得的圆为底面的圆锥的全面积为 ________. 解析 设 O 为正方体外接球的球心,则 O 也是 正方体的中心,O 到平面 AB1D1 的距离是体对角线长的1 6 ,即为 3.又球的半 径是正方体对角线长的一半,即为 3 3,由勾股定理可知,截面圆的半径为 3 32- 32=2 6,圆锥底面面积为 S1=π·(2 6)2=24π,圆锥的母线即为 球的半径 3 3,圆锥的侧面积为 S2=π×2 6×3 3=18 2π.因此圆锥的全面积 为 S=S2+S1=18 2π+24π=(18 2+24)π. 答案 (18 2+24)π 三、解答题(共 25 分) 5.(12 分)(2013·杭州模拟)如图,在四边形 ABCD 中, ∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2 2, AD=2,求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何 体的表面积及体积. 解 由已知得:CE=2,DE=2,CB=5, S 表面=S 圆台侧+S 圆台下底+S 圆锥侧=π(2+5)×5+π×25+π×2×2 2=(60+4 2)π, V=V 圆台-V 圆锥=1 3(π·22+π·52+ 22·52π2)×4-1 3π×22×2=148 3 π. 6.(13 分)如图(a),在直角梯形 ABCD 中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD =CD=2,将△ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC⊥平面 ABC,得到几何体 D- ABC,如图(b)所示. (1)求证:BC⊥平面 ACD; (2)求几何体 D-ABC 的体积. (1)证明 在图中,可得 AC=BC=2 2, 从而 AC2+BC2=AB2, 故 AC⊥BC, 又平面 ADC⊥平面 ABC,平面 ADC∩平面 ABC=AC,BC⊂平面 ABC,∴BC ⊥平面 ACD. (2)解 由(1)可知,BC 为三棱锥 B-ACD 的高,BC=2 2,S△ACD=2, ∴VB-ACD=1 3S△ACD·BC=1 3 ×2×2 2=4 2 3 , 由等体积性可知,几何体 D-ABC 的体积为4 2 3 .查看更多