2018高考数学（文）复习-2013-2017高考分类汇编-第13章 推理与证明

2018高考数学（文）复习-2013-2017高考分类汇编-第13章 推理与证明

第十三章 推理与证明 第一节 合情推理与演绎推理 题型143 归纳推理 ‎2013年 ‎1. (2013陕西文13） 观察下列等式：‎ 照此规律，第个等式可为 . ‎ ‎2014年 ‎1.（2014陕西文14）已知，， ，， 则的表达式为__________.‎ ‎2. （2014安徽文12）如图所示，在等腰直角三角形中，斜边，过点作的垂线，垂足为；过点作的垂线，垂足为；过点作的垂线，垂足为；…，以此类推，设，，，…，，则 .‎ ‎2015年 ‎1.（2015陕西文16）观察下列等式：‎ ‎……‎ 据此规律，第个等式可为__________.‎ ‎1.解析 观察等式知，第个等式的左边有个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且 分子为，分母是到的连续正整数，等式的右边是.‎ 故答案为.‎ ‎2.（2015江苏23）已知集合，，‎ 设整除或整除，，令表示集合所含元素的个数．‎ ‎（1）写出的值；‎ ‎（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明．‎ ‎2. 分析 其实解决此除了需要有良好的数学分类思维以外，还需下表辅助我们理解问题的本质．‎ 带标记的表示为的倍数或约数（其实是奇葩，其余的都是的倍数），带标记的表示为的倍数或约数，而则表示既是的倍数或约数又是的倍数或约数（即为的倍数或约数，此题不作研究）．‎ 这样研究时，可直接得:‎ ‎，‎ 当时，可直接得：‎ ‎．‎ 这就是本题的本质，以为周期进行分类整合并进行数学归纳研究．‎ 解析 （1）当时，，，‎ 可取，，，，，，，，，‎ ‎，，，，共个，故．‎ ‎（2）当时，，‎ 证明：当时，枚举可得，，，，‎ ‎，，符合通式；‎ 假设时，成立，即成立，‎ 则当时，此时，此时比多出有序数对个，‎ 即多出，，，，，，，，，，，‎ 从而，符合通式；‎ 另外，当，，，，，同理可证，‎ 综上，即，‎ 即当时也成立．‎ 例如时，，则，‎ 综上所述：．‎ ‎2016年 ‎1.（2016山东文12）观察下列等式：‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎……‎ 照此规律，‎ ‎_________.‎ ‎1. 解析 通过观察这一系列等式可以发现，等式右边最前面的数都是，接下来是和项数有关的两项的乘积，经归纳推理可知是，所以第个等式右边是.‎ 题型144 类比推理——暂无 题型145 演绎推理——隐含在好多题目的证明过程中 补充题型 逻辑推理 ‎2014年 ‎1.（2014新课标Ⅰ文14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过，，三个城市时，‎ ‎ 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；‎ ‎ 乙说：我没去过城市；‎ ‎ 丙说：我们三人去过同一城市；‎ ‎ 由此可判断乙去过的城市为 .‎ ‎2017年 ‎1.（2017全国2卷文9）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：“你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩”．看后甲对大家说：“我还是不知道我的成绩”．根据以上信息，则（ ）.‎ A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 ‎1.解析 由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果.故选D.‎ 第二节 证明 题型146 综合法与分析法证明 ‎2015年 ‎1.（2015全国II文24）选修4-5：不等式选讲 设，，，均为正数，且.证明：‎ ‎(1)若，则；‎ ‎(2)是的充要条件.‎ ‎1. 分析（1）由，及 ，可证明 ，两边开 方即得；（2）由第（1）问的结论来证明.在证明中要注意分别证明充 分性和必要性.‎ 解析 （1）因为，，‎ 由题设，，得，因此.‎ ‎（2）(i)若，则，即.‎ 因为，所以，由（1）得.‎ ‎(ii)若，则，‎ 即.因为，所以，‎ 于是，因此.‎ 综上，是的充要条件.‎ 命题意图 不等式的证明要紧抓不等式的性质，结合其正负性来证明.充要条件的证明体现了数学推理的严谨性，要分充分性和必要性两个方面来证明.‎ ‎2016年 ‎1.（2016四川文18（1））在中，角，，所对的边分别是，，，且证明：.‎ ‎1. 解析 根据正弦定理，可设，则，，.‎ 代入中，有，‎ 可变形得 在中，由，有，所以 ‎2.（2016浙江文16（1））在中，内角，，所对的边分别为，，.已知.‎ 证明：.‎ ‎2.解析 （1）由正弦定理得，‎ 故，‎ 于是.又，故，所以或，‎ 因此（舍去）或，所以 题型147 反证法证明 ‎2014年 ‎1. （2014山东文4）用反证法证明命题：“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）.‎ A. 方程没有实根 B. 方程至多有一个实根 C. 方程至多有两个实根 D. 方程恰好有两个实根 ‎2015年 ‎1.（2015湖南理16（3））设，，且.‎ ‎（1）；‎ ‎（2）与不可能同时成立.‎ ‎1. 解析 证明： 由，，得 .‎ ‎（）由基本不等式及，有，即.‎ ‎() 假设与同时成立，则由及得；同理，‎ ‎，从而，与相矛盾. 故与不可能同时成立.‎ ‎2016年 ‎1.（2016全国甲文16）有三张卡片，分别写有和，和，和. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是”，则甲的卡片上的数字是_______. ‎ ‎1. 解析 由题意得：丙不拿，若丙，则乙，甲满足；若丙，则乙，甲不满足，故甲.‎ ‎2.（2016上海文22）对于无穷数列与，记，，若同时满足条件：‎ ‎①，均单调递增；②且，则称与是无穷互补数列.‎ ‎（1）若，，判断与是否为无穷互补数列，并说明理由；‎ ‎（2）若=且与是无穷互补数列，求数列的前项的和；‎ ‎（3）若与是无穷互补数列，为等差数列且，求与的通项公式.‎ ‎2. 解析 （1）易知，，‎ 而，，所以，从而与不是无穷互补数列.‎ ‎（2）由题意，因为，所以.‎ 数列的前项的和为.‎ ‎（3）设的公差为，，则.‎ 由，得或.‎ 若，则，，与“与是无穷互补数列”矛盾，‎ 因为此时不是无穷数列；‎ 若，则，，.‎ 综上所述，，.‎