高考数列命题热点研讨3

高考数列命题热点研讨3

第三讲：2013年高考数列命题热点研讨（3）‎ 主讲人：孟老师 第四部分：数列2013年考题大预测 列作为高考的必考点之一，也是高考的重点和热点.数列题目占的分值约为17分，一般是一个小题和一个大题.是2013年新课标高考的一个必考的内容.根据往年的试题，我预测，高考仍然会是稳中求变的考察.小题仍然以基础为主，主要考察通项公式、前n项和等内容.大题主要是考察函数与方程思想、转化与化归思想、化简、求解能力、数学归纳法、求和的几种方法为重点.但是近几年北京和安徽等省市都把数列设置成了压轴的大题，这是一种新的命题趋势，是我们大家值得注意的.数列题若是作为压轴题来出，难度是相当的大的，希望同学们有心理准备.不过要是平时复习好了，也没有什么怕的.‎ 孟老师大胆预测1：等差数列 等差数列是高考的必考点，这个不用我做预测，大家都知道要出，但是出什么题型，怎么出，我们就不得而知了.这里本人试着小小的预测一下，看2013年高考是否能出到本人预测的题目所考察的店.我们要注意等差数列的对称性等问题，要会求通项和前n项和.‎ 预测例题1（2012年重庆高考）‎ 在等差数列中，则的前5项和=‎ A.7 B‎.15 C.20 D.25 ‎ ‎【答案】B 孟老师大胆预测2：等比数列 等比数列也是高考的一个命题点，考察的内容和方式和等差数列基本上一样.我们要注意基本公式的运用和基本公式经过变形后的运用.当然基本公式变形的运用是为了我们简化计算过程的，要是不会用变形，我们在计算的时候可能就要花费一些力气了.小题难度比较下，大题难度一般为中等.‎ 预测例题2‎ 设等比数列{an}的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lgan}的前多少项和最大？(lg2=0 3,lg3=0 4)‎ 解：命题意图 本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力 ‎ 知识依托 本题须利用等比数列通项公式、前n项和公式合理转化条件，求出an;进而利用对数的运算性质明确数列{lgan}为等差数列，分析该数列项的分布规律从而得解 ‎ 错解分析 题设条件中既有和的关系，又有项的关系，条件的正确转化是关键，计算易出错；而对数的运算性质也是易混淆的地方 ‎ 技巧与方法 突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n 项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列Sn是n的二次函数，也可由函数解析式求最值 ‎ 解法一 设公比为q,项数为‎2m,m∈N*,依题意有 化简得 ‎ 设数列{lgan}前n项和为Sn,则 Sn=lga1+lga1q2+…+lga1qn－1=lga1n·q1+2+…+(n－1)‎ ‎=nlga1+n(n－1)·lgq=n(2lg2+lg3)－n(n－1)lg3‎ ‎=(－)·n2+(2lg2+lg3)·n 可见，当n=时，Sn最大 ‎ 而=5,故{lgan}的前5项和最大 ‎ 解法二 接前，,于是lgan=lg［108()n－1］=lg108+(n－1)lg,‎ ‎∴数列{lgan}是以lg108为首项，以lg为公差的等差数列，‎ 令lgan≥0,得2lg2－(n－4)lg3≥0,‎ ‎∴n≤=5 5 ‎ 由于n∈N*,可见数列{lgan}的前5项和最大 ‎ 孟老师大胆预测3：数列的综合 高考试卷中若是数列作为压轴题出现，那么对数列的要求就会比较高.数列会和对数、三角函数、导数甚至会和二项式结合出来命题，这是值得我们大家注意的.我们要非常熟悉数列的求和方法：分组求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项求和法、累加法、相乘相消法等方法.‎ 预测例题3（2011年全国卷）‎ ‎（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 设数列满足且 ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设 解：（I）由题设 即是公差为1的等差数 列. 又 所以 ‎（II）由（I）得 ‎ ‎ 热点预测 ‎1（2011年四川）‎ 数列的首项为， 为等差数列且 .若则，，则 ‎（A）0 （B）3 （C）8 （D）11‎ 答案：B解析：由已知知由叠加法 ‎2（2011年湖南高考）‎ 设是等差数列的前项和，且，则 答案：25解析：由可得，所以.‎ ‎3（2012北京高考）‎ 已知等差数列为其前n项和.若，，则=_______.‎ ‎【解析】因为 ‎，‎ 所以，.‎ ‎【答案】，‎ ‎4（2012辽宁高考）‎ 在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=‎ ‎(A)58 (B)88 (C)143 (D)176‎ ‎【答案】B ‎【解析】在等差数列中，‎ ‎，答案为B ‎【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前n项和公式，同时考查运算求解能力，属于中档题.解答时利用等差数列的性质快速又准确.‎ ‎5（2012安徽卷）‎ 公比为2的等比数列{} 的各项都是正数，且 =16，则=‎ ‎（A） 1 （B）2‎ ‎（C） 4 （D）8‎ ‎【解析】选 ‎6（2010年天津高考）（本小题满分14分）‎ 在数列中，，且对任意.，，成等差数列，其公差为.‎ ‎（Ⅰ）若=，证明，，成等比数列（）‎ ‎（Ⅱ）若对任意，，，成等比数列，其公比为.‎ 本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.‎ ‎（Ⅰ）证明：由题设，可得.‎ 所以 ‎==2k(k+1)‎ 由=0，得 于是.‎ 所以成等比数列.‎ ‎（Ⅱ）证法一：（i）证明：由成等差数列，及 成等比数列，得 当≠1时，可知≠1，k 从而 所以是等差数列，公差为1.‎ ‎（Ⅱ）证明：，，可得，从而=1.由（Ⅰ）有 所以 因此，‎ 以下分两种情况进行讨论：‎ （1） 偶数时，设n=‎2m()‎ 若m=1,则.‎ 若m≥2，则 ‎+‎ 所以 ‎(2)当n为奇数时，设n=‎2m+1（）‎ 所以从而···‎ 综合（1）（2）可知，对任意,,有 证法二：（i）证明：由题设，可得 所以 由可知.可得，‎ 所以是等差数列，公差为1.‎ ‎（ii）证明：因为所以.‎ 所以，从而，.于是，由（i）可知所以是公差为1的等差数列.由等差数列的通项公式可得= ，故.‎ 从而.‎ 所以，由，可得 ‎.‎ 于是，由（i）可知 以下同证法一.‎ ‎7（2010年全国新课标卷）（本小题满分12分）‎ 设数列满足 ‎（1）的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前n项和 解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时，‎ ‎.而 ‎ 所以数列{}的通项公式为.‎ ‎（Ⅱ）由知 ‎ ①‎ 从而 ②‎ ‎①-②得 .‎ 即 ‎ ‎8（2011年广东高考）‎ 设b>0,数列满足a1=b，.‎ ‎（I）求数列的通项公式；（II）证明：对于一切正整数n，‎ 解（１）法一：，得 ‎，‎ 设，则，‎ ‎（ⅰ）当时，是以为首项，为公差的等差数列，‎ 即，∴‎ ‎（ⅱ）当时，设，则，‎ 令，得，‎ ‎，‎ 知是等比数列，，又，‎ ‎，．‎ 法二：（ⅰ）当时，是以为首项，为公差的等差数列，‎ 即，∴‎ ‎（ⅱ）当时，，，‎ ‎，‎ 猜想，下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当时，猜想显然成立；②假设当时，，则 ‎，‎ 所以当时，猜想成立，‎ 由①②知，，．‎ ‎（２）（ⅰ）当时， ，故时，命题成立；‎ ‎（ⅱ）当时，，‎ ‎，‎ ‎，以上n个式子相加，‎ ‎．故当时，命题成立；综上（ⅰ）（ⅱ）知命题成立．‎