贵州省铜仁市第一中学2020届高三上学期模拟考试数学试题(理科)

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贵州省铜仁市第一中学2020届高三上学期模拟考试数学试题(理科)

铜仁一中2019-2020学年度高三第二次模拟考试 数学试卷(理科)‎ 注意事项:‎ ‎1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两个部分,共150分,考试时间120分钟。‎ ‎2.请将答案正确填写在答题卡上,否则无效。‎ 第I卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题:(本大题共12个小题,每小题5分,共60分).‎ ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 考查集合的基本运算,由条件可计算出A、B两集合,然后计算即可.‎ ‎【详解】由题可得:;‎ ‎,故选择D.‎ ‎【点睛】考查集合的基本运算.属于简单题.‎ ‎2.已知复数,则复数在复平面内对应的点位于( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 考查复数基本概念,由可计算出,即可得出选项 ‎【详解】由,选择C.‎ ‎【点睛】考查复数的基本概念,属于基础题.‎ ‎3.学校为了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况,随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示: ‎ 将阅读时间不低于30分钟的观众称为“阅读霸”,则下列命题正确的是( )‎ A. 抽样表明,该校有一半学生为阅读霸 B. 该校只有50名学生不喜欢阅读 C. 该校只有50名学生喜欢阅读 D. 抽样表明,该校有50名学生为阅读霸 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据频率分布直方图得到各个时间段的人数,进而得到结果.‎ ‎【详解】根据频率分布直方图可列下表:‎ 阅读时间(分)‎ 抽样人数(名)‎ ‎10‎ ‎18‎ ‎22‎ ‎25‎ ‎20‎ ‎5‎ 抽样100名学生中有50名为阅读霸,占一半,据此可判断该校有一半学生为阅读霸.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】这个题目考查了频率分布直方图的实际应用,以及样本体现整体的特征的应用,属于基础题.‎ ‎4.已知为等边三角形,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断两向量夹角容易出错,是,而不是 ‎【详解】‎ 由图发现的夹角不是而是其补角,‎ ‎【点睛】本题考查的是两向量夹角的定义,属于易错题,该类型题建议学生多画画图.‎ ‎5.已知函数的最小正周期为,则该函数的图象( )‎ A. 关于直线对称 B. 关于直线对称 C. 关于点对称 D. 关于点对称 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由的最小正周期,可以求出,从而可以简单的判断出其相关性质 详解】,所以,即,‎ 令关于对称,可判断A正确,B错误;‎ 关于对称,可判断C、D错误.‎ ‎【点睛】根据三角函数的性质求参数,确定表达式后,再次研究其相关性质(对称性、奇偶性、单调性、周期性等),属于中档题.‎ ‎6.已知等差数列的前13项之和为,则等于( )‎ A. B. C. —1 D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的前13项之和 ,求得,则,运算求得结果.‎ ‎【详解】由题意可得, 则, 故选C.‎ 本题考查等差数列的定义和性质,前n项和公式的应用,求出,是解题的关键.‎ ‎7.函数的部分图像是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 函数偶函数,排除AD。且 ‎ 当 排除B。选A。‎ 故答案为A。‎ 点睛:这个题目考查的是由函数的解析式画函数的图像;一般这种题目是排除法来做的;先找函数的定义域,值域,看是否和解析式相符;再看函数的对称性,奇偶性,看两者是否相符;还有可以判断函数的极限值。‎ ‎8.我国古代《九章算术》里,记载了一个“商功”的例子:今有刍童,下广二丈,袤三丈,上广三丈,袤四丈,高三丈.问积几何?其意思是:今有上下底面皆为长方形的草垛(如图所示),下底宽2丈,长3丈;上底宽3丈,长4丈;高3丈.问它的体积是多少?该书提供的算法是:上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘,同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘,将两次运算结果相加,再乘以高,最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为( )‎ A. 13.25立方丈 B. 26.5立方丈 C. 53立方丈 D. 106立方丈 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题目给出的体积计算方法,将几何体已知数据代入计算,求得几何体体积 ‎【详解】由题,刍童的体积为立方丈 ‎【点睛】本题考查几何体体积的计算,正确利用题目条件,弄清楚问题本质是关键。‎ ‎9.设D为椭圆上任意一点,A(0,-2),B(0,2),延长AD至点P,使得|PD|=|BD|,则点P的轨迹方程为( )‎ A. x2+(y-2)2=20 B. x2+(y-2)2=5‎ C. x2+(y+2)2=20 D. x2+(y+2)2=5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得,从而得到点的轨迹是以点为圆心,半径为的圆,进而可得其轨迹方程.‎ ‎【详解】由题意得,‎ 又点为椭圆上任意一点,且为椭圆的两个焦点,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴点的轨迹是以点A为圆心,半径为的圆,‎ ‎∴点的轨迹方程为.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查圆的方程的求法和椭圆的定义,解题的关键是根据椭圆的定义得到,然后再根据圆的定义得到所求轨迹,进而求出其方程.考查对基础知识的理解和运用,属于基础题.‎ ‎10.已知函数的最大值为,最小值为,则的值为( )‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由奇函数性质可以知道,其最大值与最小值互为相反数,本题中可以将转化为,其中为奇函数.‎ ‎【详解】,令,即 而是在R上的奇函数,设其最大值为,最小值为,由奇函数性质可得,所以,故选择C ‎【点睛】求函数最大值最小值问题,我们时常会考虑函数是否有奇偶性,值得注意奇函数最大值与最小值的和为0,本题中构造奇函数加常数型的函数,难度较大.‎ ‎11.已知函数,给定以下命题:‎ ‎①为偶函数;②为周期函数,且最小正周期为;③若,则恒成立。‎ 正确的命题个数为( )个。‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数奇偶性的定义判断①;根据周期性的定义判断②;利用判断③.‎ ‎【详解】定义域为R,‎ 因为,所以①正确.‎ ‎,所以②正确;又所以③错误.故选C.‎ ‎【点睛】与三角函数为载体,考查函数奇偶性、周期性及恒成立问题,奇偶性、周期性更多直接借助定义来判断,判断恒成立问题,我们可以借助某些特殊值不符合,从而判断其为假命题,本题难度较大.‎ ‎12.已知函数,若方程有4个不同的实根,且,则( )‎ A. 12 B. 16 C. 18 D. 20‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数图象的翻折,做出图象,寻找出相对应的关系 ‎【详解】‎ 可以画出如上图的图象,由性质可知:‎ ‎,‎ ‎,‎ 故选择D.‎ ‎【点睛】本题是一道函数及其图象的综合性考题,难度很大,该类型考题首先考查利用函数的平移、伸缩、翻折得出复杂函数的图象,并根据跟的分布得出对应交点横坐标的关系,而不是蛮干.‎ 第II卷(非选择题,共90分)‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分).‎ ‎13.等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于________.‎ ‎【答案】-24‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得(3x+3)2=x(6x+6),解x的值,可得此等比数列的前三项,从而求得此等比数列的公比,从而求得第四项.‎ ‎【详解】由于 x,3x+3,6x+6是等比数列的前三项,故有(3x+3)2=x(6x+6),解x=-3, 故此等比数列的前三项分别为-3,-6,-12,故此等比数列的公比为2,故第四项为-24, 故答案为-24.‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式,等比数列的性质,属于基础题.‎ ‎14.函数,若,则__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据解析式得到a的范围,进而得到,解出参数a=1,代入表达式得到.‎ ‎【详解】由时是减函数可知,若,则,∴,由得,解得,则.‎ 故答案为:2.‎ ‎【点睛】这个题目考查了分段函数的应用,解决分段函数求值问题的策略 ‎(1)在求分段函数的值f(x0)时,一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集,然后再代入相应的关系式。‎ ‎(2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内,其对应法则也不同的函数,分段函数是一个函数,而不是多个函数;分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集,故解分段函数时要分段解决。‎ ‎(3)求f(f(f(a)))的值时,一般要遵循由里向外逐层计算的原则。‎ ‎15.在△ABC中,若cosA=,cosB=,则cosC=________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 在△ABC中,0<A<π,0<B<π,cosA=>0,cosB=>0,得0<A<,0<B<,从而sinA=,sinB=,所以cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=sinA·sinB-cosA·cosB=×-×=‎ ‎16.已知函数.若存在,使得,则实数取值范围是____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 解答:‎ ‎∵f(x)=ex(x−b),‎ ‎∴f′(x)=ex(x−b+1),‎ 若存在x∈[ ,2],使得f(x)+xf′(x)>0,‎ 则若存x∈[,2],使得ex(x−b)+xex(x−b+1)>0,‎ 即存在x∈[,2],使得b< 成立,‎ 令 ,‎ 则 ,‎ g(x)在 递增,‎ ‎∴g(x)最大值=g(2)= ,‎ 则实数的取值范围是 点睛: (1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号.‎ ‎(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减),求参数范围问题,可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题,从而构建不等式,要注意“=”是否可以取到.‎ 三、解答题(本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤).‎ ‎17.已知,函数 ‎ (1)求的最小正周期;‎ ‎(2)当时,求函数的值域.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用向量数量积的坐标表示公式,写出函数的表达式,利用正弦的二倍角公式、余弦二倍角的降幂公式、以及辅助角公式化简函数的解析式,最后利用最小正周期公式求出最小正周期;‎ ‎(2)根据的取取值范围,求出的取取值范围,利用正弦函数的图象性质,求出函数的值域.‎ ‎【详解】(1)‎ ‎,‎ ‎,所以的最小正周期为;‎ ‎(2)‎ 的值域为.‎ ‎【点睛】本题考查了求正弦型函数的周期和闭区间上的值域问题,利用二倍角的正弦、余弦公式、辅助角公式是解题的关键.‎ ‎18.已知公差不为0的等差数的前3项和=9,且成等比数列 ‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设为数列的前n项和,求证 .‎ ‎【答案】(1);(2)详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 考查等差数列通项公式的计算,我们可以直接设,通过方程算出 ‎(2) 考查裂项相消法,在计算中要注意提取相应倍数 ‎【详解】(1)由=9得:①;‎ 成等比数列得:②;‎ 联立①②得; 故 ‎(2)∵ ‎ ‎ ∴‎ ‎【点睛】以等差数列为载体,考查等差数列通项公式的计算,裂项相消法求新数列的前n相和,并且考查了分离参数方法判断值小于,属于常规题,难度不大.‎ ‎19.在中,角的对边分别为,且.‎ ‎(1)求角的大小;‎ ‎(2)已知外接圆半径,求的周长.‎ ‎【答案】(1)(2)3+3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用余弦的二倍角公式和同角三角函数关系式化简整理并结合范围0<A<π,可求A的值.(2)由正弦定理可求a,利用余弦定理可得c值,即可求周长.‎ ‎【详解】(1) ‎ ‎ ,‎ 即 ‎ 又 ‎ ‎(2) , ‎ ‎∵,‎ ‎∴由余弦定理得 a2=b2+c2﹣2bccosA, ‎ ‎∴, ‎ ‎∵c>0,所以得c=2, ‎ ‎∴周长a+b+c=3+3.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数恒等变换的应用,正弦定理,余弦定理在解三角形中的应用,考查了转化思想,属于中档题.‎ ‎20.设函数,其中.‎ ‎(1)当时,求函数在点处的切线方程;‎ ‎(2)若,求函数的极值.‎ ‎【答案】(1);(2)详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)具体函数求在某点处切线问题,对函数求导确定直线斜率求出切线方程 ‎(2)求极值步骤:求根,比较根大小(如果根大小关系不确定)进行讨论,依据不同情况列表,根据表格得出结论 ‎【详解】(1)当时,‎ ‎ 且,∴切线方程为 ‎ (2),令 ‎ ①若,列表如下 ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 因此,函数的极小值为,函数的极大值为.‎ ‎ ②若,列表如下 ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 因此,函数的极小值为,函数的极大值为.‎ ‎【点睛】(1)求切线方程要区分“过某点”与“在某点处”的切线方程 ‎(2)求极值并不只是考虑,还需要考虑根两侧导函数值是否编号;当根大小不能确定,我们还需要有效的讨论.‎ ‎21.已知函数,且.‎ ‎(1)判断函数的单调性;‎ ‎(2)若方程有两个根为,,且,求证:.‎ ‎【答案】(1)在上是单调递减,在上是单调递增;(2)详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)定积分为载体,可求解的值,从而不含有参数,求其单调性,变为常规题.‎ ‎(2)可以通过比值代换法,经过代数变形,将所证的双变量的不等式化为单变量的函数不等式,再次构造关于的函数,研究最值从而得证.‎ ‎【详解】(1)函数的定义域:.‎ ‎ ,∴,∴,‎ 令,解得,故在上是单调递减;‎ 令,解得,故在上是单调递增. ‎ ‎(2)由,为函数的两个零点,得,,‎ 两式相减,可得,即,,‎ 因此,,令,‎ 由,得.则, ‎ 构造函数, 则,‎ ‎∴函数在上单调递增,故,‎ 即,可知.故命题得证.‎ ‎【点睛】不含参函数单调性研究,属于简单题 该类型考题在前几年高考中出现过——极值点偏移问题;本题中运用做差法去除参数m的干扰,搭建起关于双变量的等量关系(并且还是其次),可以通过比值代换法将双变量变为单变量函数,从双变量到单变量,达到划归的思想.从而得证.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为,在以原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;‎ ‎(2)设点,直线和曲线交于两点,求的值.‎ ‎【答案】(1)曲线的普通方程为,直线的直角坐标方程为;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)考察参数方程、极坐标方程、直角坐标方程互化,常规化考题 ‎(2)该类型考题多注意恰好在直线上,从而将直线直角坐标方程化为过P的参数方程,利用参数方程及参数几何意义就可以完成本题。‎ ‎【详解】(1)因为曲线的参数方程为(为参数),‎ 所以曲线C的普通方程为.‎ 因为,所以.‎ 所以直线的直角坐标方程为.‎ ‎(2)由题得点在直线l上,直线的参数方程为,‎ 代入椭圆的方程得,所以,‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】属于常规考题,考察了参数方程、极坐标方程、直角坐标方程互化。属于简单题,多注重直线的参数方程及其几何意义的运用,常见的问题有求,, ‎ 等值.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎(I)求不等式;‎ ‎(II)若不等式的解集包含,求实数的取值范围..‎ ‎【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(Ⅰ)利用零点分类讨论法解不等式;(Ⅱ)即在恒成立,‎ 即,即,再化为在恒成立解答即可.‎ ‎【详解】解:(Ⅰ).‎ 当时,,即,解得;‎ 当时,,即,解得;‎ 当时,,即,解得.‎ 综上,不等式的解集为.‎ ‎(Ⅱ)对,恒成立,‎ 即在恒成立,‎ 即,‎ ‎,‎ 在恒成立,‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法,考查绝对值不等式的恒成立问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于中档题.‎ ‎ ‎
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