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文档介绍
湖北省十堰市2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题
十堰市2018~2019学年度下学期期末调研考试 高二理科数学(2019年7月) 本试题共4页,23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、考号填写在答题卡与试卷上,并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区城内。答在试题卷、草稿纸上无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,只交答题卡。 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.复数的共扼复数为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先根据虚数单位的性质化简复数z,然后再求它的共轭复数. 【详解】,.故选A. 【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数,侧重考查数学运算的核心素养. 2.某篮球运动员每次投篮未投中的概率为0.3,投中2分球的概率为0.4,投中3分球的概率为0.3,则该运动员投篮一次得分的数学期望为() A. 1.5 B. 1.6 C. 1.7 D. 1.8 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用期望的公式求解. 【详解】由已知得. 故选:C 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望的计算,意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 3.如图所示,阴影部分的面积为() A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用定积分的几何意义写出阴影部分的面积的表达式得解. 【详解】由定积分的几何意义及数形结合可知阴影部分的面积为. 故选:D 【点睛】本题主要考查定积分的几何意义,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和数形结合分析能力. 4.下列曲线中,在处切线的倾斜角为的是 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在x=1处切线的倾斜角为,即有切线的斜率为tan=−1. 对于A,的导数为,可得在x=1处切线的斜率为5; 对于B,y=xlnx的导数为y′=1+lnx,可得在x=1处切线的斜率为1; 对于C,的导数为,可得在x=1处切线的斜率为; 对于D,y=x3−2x2的导数为y′=3x2−4x,可得在x=1处切线的斜率为3−4=−1. 本题选择D选项. 5.将A,B,C,D,E,F这6个宇母随机排成一排组成一个信息码,则所得信息码恰好满足A,B,C三个字母连在一起,且B在A与C之间的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 将A,B,C三个字捆在一起,利用捆绑法得到答案. 【详解】由捆绑法可得所求概率为. 故答案为C 【点睛】本题考查了概率的计算,利用捆绑法可以简化运算. 6.某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为,,,,只有通过前一关才能进入下一关,其中,第三关有两次闯关机会,且通过每关相互独立.一选手参加该节目,则该选手能进入第四关的概率为() A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】 分两种情况讨论得到该选手能进入第四关的概率. 【详解】第一种情况:该选手通过前三关,进入第四关,所以, 第二种情况:该选手通过前两关,第三关没有通过,再来一次通过,进入第四关, 所以. 所以该选手能进入第四关的概率为. 故选:D 【点睛】本题主要考查独立事件的概率和互斥事件的概率和公式,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 7.的计算结果精确到个位的近似值为() A. 106 B. 107 C. 108 D. 109 【答案】B 【解析】 【分析】 由题得,再利用二项式定理求解即可. 【详解】∵, ∴. 故选:B 【点睛】本题主要考查利用二项式定理求近似值,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 8.若,则,.设一批白炽灯的寿命(单位:小时)服从均值为1000,方差为400的正态分布,随机从这批白炽灯中选取一只,则() A. 这只白炽灯的寿命在980小时到1040小时之间的概率为0.8186 B. 这只白炽灯的寿命在600小时到1800小时之间的概率为0.8186 C. 这只白炽灯的寿命在980小时到1040小时之间的概率为0.9545 D. 这只白炽灯的寿命在600小时到1800小时之间的概率为0.9545 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出,,再求出和,即得这只白炽灯的寿命在980小时到1040小时之间的概率. 【详解】∵,,∴,, 所以, , ∴. 故选:A 【点睛】本题主要考查正态分布的图像和性质,考查指定区间的概率的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 9.函数的最小值为() A. -1 B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】 利用换元法,令,可得函数,求导研究其最小值。 【详解】令,,,当时,;当时,,故. 故选:B. 【点睛】本题考查复合函数的最值问题,可以通过换元法,将复合函数简单化,注意换元后要关注新元的范围。 10.设为椭圆的左焦点,为椭圆的右顶点,为椭圆短轴上的一个顶点,当时,该椭圆的离心率为,将此结论类比到双曲线,得到的正确结论为() A. 设为双曲线的左焦点,为双曲线的右顶点,为双曲线虚轴上的一个顶点,当时,该双曲线的离心率为2 B. 设为双曲线的左焦点,为双曲线的右顶点,为双曲线虚轴上的一个顶点,当时,该双曲线的离心率为4 C. 设为双曲线的左焦点,为双曲线的右顶点,为双曲线虚轴上的一个顶点,当时,该双曲线的离心率为2 D. 设为双曲线的左焦点,为双曲线的右顶点,为双曲线虚轴上的一个顶点,当时,该双曲线的离心率为4 【答案】C 【解析】 【分析】 先排除A,B,再根据求出双曲线的离心率得解. 【详解】对于双曲线而言,,排除A,B. 由,得, 故选:C. 【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质和双曲线离心率的计算,考查类比推理,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 11.观察下列各式,,,,,…,则的十位数是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 通过观察十位数的数字特征可知周期为,根据周期计算可得结果. 【详解】记的十位数为 经观察易知,,,,,,…… 可知的周期为 则的十位数为: 本题正确选项: 【点睛】本题考查利用数列的周期性求解数列中的项,关键是能够通过数字变化规律发现数列的周期性. 12.已知函数,函数有3个不同的零点,,,且,则的取值范围是() A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先作出函数的图像,由图可知,且,再求出,构造函数(1≤x< e),利用导数求函数的值域得解. 【详解】当时,的最大值为1,则,. 由图可知, 且,, 则. 令,, 令,得, 在上单调递增,在上单调递减, 则,又,, 所以. 故选:A 【点睛】本题主要考查函数的图像和性质的综合应用,考查利用导数研究函数的单调性和值域,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。 13.已知随机变量,则______. 【答案】9 【解析】 【分析】 直接利用二项分布的方差公式求解即可. 【详解】. 故答案:9 【点睛】本题主要考查二项分布方差的计算,意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 14.的展开式中的二项式系数最大的项的系数为______. 【答案】-160 【解析】 【分析】 利用二项式定理的展开式二项式系数的性质求解即可. 【详解】因为的展开式有7项, 所以第4项的二项式系数最大, 所以的展开式中的二项式系数最大的项为. 故答案为:-160 【点睛】本题主要考查二项式展开式的二项式系数和系数的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力. 15.某幼儿园的老师要给甲、乙、丙、丁4个小朋友分发5本不同的课外书,则每个小朋友至少分得1本书的不同分法数为______. 【答案】240 【解析】 【分析】 先给其中一个小朋友2本,再均分剩余3本,列出式子求解即可. 【详解】先给其中一个小朋友2本,再均分剩余3本, 故所求分法数为. 故答案为:240 【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 16.定义域为的函数满足,且对恒成立,则 的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】 构造函数,判断函数的单调性,再利用函数的单调性解不等式得解. 【详解】构造函数, 则有,且. 由,可知, 则为增函数, 故. 故答案为: 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查函数单调性的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共60分。 17.已知函数. (1)讨论的单调性; (2)当时,求在上的值域. 【答案】(1)时,在上单调递减,在上单调递增;时,在上单调递增,在上单调递减. (2) 【解析】 【分析】 (1)求导得到导函数后,分别在和两种情况下讨论导函数的符号,从而得到的单调性;(2)由(1)知在上单调递减,在上单调递增,可知,,求得最小值和最大值后即可得到函数值域. 【详解】(1)由题意得: ①当时,时,;时, 在上单调递减,在上单调递增 ②当时,时,;时, 在上单调递增,在上单调递减 综上所述:时,在上单调递减,在上单调递增;时,在上单调递增,在上单调递减 (2)当时, 由(1)知,在上单调递减,在上单调递增 当时,, 又, 在上的值域为: 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用,涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、求解函数在一段区间内的值域的问题;关键是能够通过对参数的讨论,得到导函数在不同情况下的符号,从而得到函数的单调性. 18.《最强大脑》是江苏卫视引进德国节目《SuperBrain 》而推出的大型科学竞技真人秀节目.节目筹备组透露挑选选手的方式:不但要对空间感知、照相式记忆进行考核,而且要让选手经过名校最权威的脑力测试,120分以上才有机会入围.某重点高校准备调查脑力测试成绩是否与性别有关,在该高校随机抽取男、女学生各100名,然后对这200名学生进行脑力测试.规定:分数不小于120分为“入围学生”,分数小于120分为“未入围学生”.已知男生入围24人,女生未入围80人. (1)根据题意,填写下面的列联表,并根据列联表判断是否有以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关; 性别 入围人数 未入围人数 总计 男生 24 女生 80 总计 (2)用分层抽样的方法从“入围学生”中随机抽取11名学生,然后再从这11名学生中抽取3名参加某期《最强大脑》,设抽到的3名学生中女生的人数为,求的分布列及数学期望. 附:,其中. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)填表见解析,没有以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关.(2)详见解析 【解析】 【分析】 (1)根据题意填充列联表,再利用独立性检验判断是否有以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关;(2)先求出的可能取值为0,1,2,3,再求出对应的概率,即得的分布列及数学期望. 【详解】解:(1)填写列联表如下: 性别 入围人数 未入围人数 总计 男生 24 76 100 女生 20 80 100 总计 44 156 200 因为的观测值, 所以没有以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关. (2)这11名学生中,被抽到的男生人数为,被抽到的女生人数为, 的可能取值为0,1,2,3, , , , . 所以的分布列为 0 1 2 3 故. 【点睛】本题主要考查2×2列联表和独立性检验,考查随机变量的分布列和数学期望的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 19.已知函数. (1)若在是单调函数,求的取值范围; (2)当时,恒成立,求的取值范围(提示:). 【答案】(1)(2) 【解析】 【分析】 (1)先利用导数求出函数的单调区间,再根据已知得到实数的取值范围;(2)由(1)知在上单调递增,在上单调递减,求出,再解不等式即得k的取值范围. 【详解】解:(1)的定义域为, , 由,得;由,得. 因为在上是单调函数,所以的取值范围为, (2)由(1)知在上单调递增,在上单调递减. 因为,, 所以, 所以. 因为当时,恒成立,所以, 解得,即的取值范围为. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性问题和恒成立问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 20.手机是人们必不可少的工具,极大地方便了人们的生活、工作、学习,现代社会的衣食住行都离不开它.某调查机构调查了某地区各品牌手机的线下销售情况,将数据整理得如下表格: 品牌 其他 销售比 每台利润(元) 100 80 85 1000 70 200 该地区某商场岀售各种品牌手机,以各品牌手机的销售比作为各品牌手机的售出概率. (1)此商场有一个优惠活动,每天抽取一个数字(,且),规定若当天卖出的第台手机恰好是当天卖出的第一台手机时,则此手机可以打5折.为保证每天该活动的中奖概率小于0.05,求的最小值;(,) (2)此商场中一个手机专卖店只出售和两种品牌的手机,,品牌手机的售出概率之比为,若此专卖店一天中卖出3台手机,其中手机台,求的分布列及此专卖店当天所获利润的期望值. 【答案】(1)8(2)详见解析 【解析】 【分析】 (1)解不等式即得的最小值;(2)由题得,再求出其对应的概率,即得的分布列及此专卖店当天所获利润的期望值. 【详解】解:(1)卖出一台手机的概率,卖出一台其他手机的概率, 可得,即 所以,故,即的最小值为8. (2)依题意可知手机售出的概率,手机售出的概率, 由题得, 所以,, ,, 故的分布列为 0 1 2 3 所以利润的期望值为(元). 【点睛】本题主要考查独立性检验,考查离散型随机变量的分布列和期望的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 21.已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程. (2)当时,证明: (i); (ii)若,则. 【答案】(1)(2)(ⅰ)详见解析(ⅱ)详见解析 【解析】 【分析】 (1)利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程;(2)(i)设函数,再利用导数求=0,不等式即得证;(ii)设函数 ,再证明,不等式即得证. 【详解】(1)解:,则, 故所求切线方程为,即. (2)证明:(i)设函数, 则. 当时,;当时, 从而, 则,即. (ii)设函数, . 设函数,, 因为,所以, 所以对恒成立,则在上单调递增, 从而. 因为,且的两根为, 所以,则. 从而对恒成立,则在上单调递增, 所以,从而. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义,考查利用导数证明不等式,考查函数的最值、单调性的综合应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. (二)选考题:共10分。请考生从第22、23两题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 22.在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为. (1)求直线的普通方程与圆的直角坐标方程; (2)若与相交于,两点,,求. 【答案】(1)直线的普通方程为,圆的直角坐标方程为(2) 【解析】 【分析】 (1)线的参数方程为(为参数)消去参数t可得普通方程.曲线C的极坐标方程为,利用互化公式即可得出直角坐标方程. (2)直线的参数方程为(为参数)代入方程可得:.,即可求出答案. 【详解】解:(1)将直线的参数方程消去参数, 得直线的普通方程为. 由,得,则圆的直角坐标方程为. (2)将代入,得, 则, 故. 【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与抛物线相交弦长问题,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 23.设函数. (1)当时,求不等式的解集; (2)若恒成立,求的取值范围. 【答案】(1);(2). 【解析】 【分析】 (1)把代入,利用零点分段讨论法去掉绝对值可求; (2)利用绝对值的三角不等式求出的最小值,然后求解关于的不等式即可. 【详解】(1)当时,, 当时,,无解;当时,可得;当时,可得;故不等式的解集为. (2), . 当或时,不等式显然成立; 当时,,则. 故的取值范围为. 【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法及恒成立问题,零点分段讨论法是常用解此类不等式的方法. 查看更多