广东省华南师范大学附属中学2020届高三上学期月考（二）数学（理）试题

广东省华南师范大学附属中学2020届高三上学期月考（二）数学（理）试题

华南师大附中2020届高三年级月考（二）‎ 数 学（理科）‎ 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号等填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。‎ ‎2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。‎ ‎3．回答第Ⅱ卷时，用黑色钢笔或签字笔将答案写在答卷上。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。‎ ‎1．设为虚数单位，已知，则复数在复平面内对应的点的坐标是（***）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2．已知，，则的值是（***）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎3．在△中，角，，所对的边分别为，，，若，，°，则边（***）‎ ‎（A）1 （B）2 （C）4 （D）6‎ ‎4．已知是等差数列的前项和，，则（***）‎ ‎（A）66 （B）55 （C）44 （D）33‎ ‎5．已知集合，，且，则实数的取值范围是（***）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎6．在△中，为边上的中线，为的中点，则（***）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎7．若存在正数使成立，则的取值范围是（***）‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎8．已知函数的定义域为．当时，；当时，；当时，．则（***）‎ ‎（A） （B） （C）0 （D）2 ‎ ‎9．设，，且，则（***）‎ ‎（A）有最小值 （B）有最大值 ‎（C）有最大值 （D）有最小值 ‎ ‎10．已知，，是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（***）‎ ‎（A） （B） （C）2 （D）‎ ‎11．已知函数，且在内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是（***）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎12．已知函数（）与有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数的最大值为（***）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题5分，满分20分）‎ ‎13．若，满足不等式组，则的最大值是__________．‎ ‎14．已知函数，，则__________．‎ ‎15．已知函数（），若方程在上有且只有四个实数根，则实数的取值范围为__________． ‎ ‎16．已知数列中，，（），则其前项和 ‎__________．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．已知数列的前项和为，且满足（）．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，为数列的前项和，求证：． ‎ ‎18．已知直三棱柱中，°，，，是的中点，是上一点，且．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求二面角余弦值的大小．‎ ‎19．如图，椭圆（）的离心率，且椭圆的短轴长为2．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线过点，且与椭圆相交于，两点，又点是椭圆的上顶点，求△面积的最大值．‎ ‎20．某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：类（不参加课外阅读），类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时）．调查结果如下表：‎ 类 类 类 男生 ‎5‎ ‎3‎ 女生 ‎3‎ ‎3‎ ‎（1）求出表中，的值；‎ ‎（2）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加课外阅读与否”与性别有关；‎ 男生 女生 总计 不参加课外阅读 参加课外阅读 总计 ‎（3）从抽出的女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记为抽取的这3名女生中类人数和类人数差的绝对值，求的数学期望．‎ 附：，‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎21．已知函数，，其中，．‎ ‎（1）求在点处的切线方程；‎ ‎（2）若对任意，有恒成立，求的取值范围；‎ ‎（3）若存在唯一的整数，使得，求的取值范围．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线与曲线两交点所在直线的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线的极坐标方程为，直线与轴的交点为，与曲线相交于，两点，求的值．‎ ‎23．已知函数（）．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若对于任意的，，恒成立，求实数的取值范围.‎ 数学（理科）参考答案 一、选择题：‎ ‎1—4：AACD 5—8：CADD 9—12：AAAA 二、填空题 ‎13．2． 14．．‎ ‎15．． 16．．‎ 三、解答题：‎ ‎17．【解答】：（1）当时，，‎ 当时，，，两式相减得，‎ 故是以3为公比的等比数列，且，‎ 所以．‎ ‎（2）由（1）得，由错位相减法 ‎，①‎ ‎，②‎ 两式相减得，‎ 所以，‎ 所以．‎ ‎18．【解答】：（1）连接，，在△中，‎ ‎，‎ 故；‎ 由于三棱柱是直三棱柱，故平面，‎ 所以，‎ 在直角三角形中，因为，，‎ 所以，所以，‎ 又因，所以为直角，故，‎ 再由为中点并且△为等腰三角形可知，‎ 结合，得平面，所以，‎ 综合，，，得到平面，‎ ‎（2）由于，如图，以点为坐标原点，，，（为的中点）所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，‎ ‎，故，，，，‎ 则，，，‎ 设面法向量为，面法向量为，‎ 所以，得，‎ 取，得，‎ 同理可得，‎ 所以，，‎ 则二面角的余弦值为．‎ ‎19．【解答】：（1）由已知得 ，解得，‎ 所以椭圆的方程是；‎ ‎（2）由已知可知直线的斜率定存在，设直线的方程为，，，‎ 由，得，所以，，‎ 所以，‎ 又，所以，‎ 令，，‎ 所以，‎ 令（），则，‎ 所以在上单调递增，所以当时，此时，有最小值，此时有最大值．‎ ‎20．【解答】：（1）设抽取的20人中，男，女生人数分别为，，则，，‎ 所以，；‎ ‎（2）列联表如下：‎ 男生 女生 总计 不参加课外阅读 ‎4‎ ‎2‎ ‎6‎ 参加课外阅读 ‎8‎ ‎6‎ ‎14‎ 总计 ‎12‎ ‎8‎ ‎20‎ 的观测值，‎ 所以没有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关；‎ ‎（3）的可能取值为0，1，2，3，‎ 且，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 从而的数学期望为．‎ ‎21．【解答】：（1）依题意，得，所以，‎ 所以在点处的切线方程为，即；‎ ‎（2）由题意，对任意有恒成立，‎ ‎① 当时，有恒成立，故，‎ 令，则，令得，‎ 且时，时，故在上单调递增，在上单调递减，从而在处取得极大值，也即最大值，故此时有；‎ ‎② 当时，恒成立，故此时；‎ ‎③ 当时，有恒成立，故，‎ 令，则，令得，‎ 且时，时，故在上单调递减，在上单调递增，从而在处取得极小值，也即最小值，故此时有；‎ 综上可得，；‎ ‎（3）因为，即，‎ 由（2）知，‎ 令，则，于是有如下表：‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递增 极大 单调递减 单调递减 极大 单调递增 当，存在唯一的整数使得，等价于 存在唯一的整数成立，‎ 因为最大，，，所以当时，至少有两个整数成立，所以；‎ 当，存在唯一的整数使得，等价于存在唯一的整数成立，‎ 因为最小，且，，所以当时，至少有两个整数成立，所以当时，没有整数成立，所有；‎ 综上可得，．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．【解答】：(1) 曲线的普通方程为；‎ 曲线的普通方程为，即，‎ 由两圆心的距离，所以两圆相交，‎ 所以两方程相减可得交线方程为，即，‎ 所以直线的极坐标方程为；‎ ‎（2）直线的直角坐标方程，则与轴的交点为，‎ 直线的参数方程为（为参数），‎ 代入曲线得，‎ 设，两点对应的参数分别为，，‎ 则，，所以，同号，‎ 故．‎ ‎23．【解答】：（1）当时，，‎ 若，则，于是由，解得，综合得；‎ 若，则，显然不成立；‎ 若，则，于是由，解得，综合得；‎ 所以不等式的解集为．‎ ‎（2）等价于，令，‎ 当时，，显然，‎ 当时，，此时，‎ 当时，，，‎ 综上可知，当时，，‎ 又因为，有，‎ 所以，从而有，‎ 综上，的取值范围是.‎