数学理卷·2018届福建省福州市八县一中（福清一中、长乐一中等）高二下学期期中联考（2017-04）

数学理卷·2018届福建省福州市八县一中（福清一中、长乐一中等）高二下学期期中联考（2017-04）

密 封 装 订 线 学校： 高二年 班 号 姓名： 准考证号： ‎ ‎2016—2017学年度第二学期八县(市)一中期中联考 ‎ 高中二年数学科（理科）试卷 第Ⅰ卷 一、选择题（每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1、设为虚数单位，复数则复数的共轭复数对应的点位于（ ）。‎ A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 ‎2、下列值等于1的是（ ）。‎ A、 B、 C、 D、 ‎ ‎3、在平面上，如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，若两个相似三角形的边长比为1:2.则它们的面积之比为1:4。类似地，在空间中，如果面数相同的多面体的对应面相似，有相同的相似比且对应多面角相等，那么这两个多面体叫相似多面体；若两个相似四面体的棱长比为1:2，则它们的体积比为（ ）。‎ A、1:2 B、1:4 C、1:6 D、1:8‎ ‎4、函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极大值点个数为（　 ）。‎ A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 ‎5、已知和式,当时,S无限趋近于一个常数A,则A可用定积分表示为( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎6、用数学归纳法证明不等式，在验证（ 为起始值）时，不等式左边为(　　)。‎ A、1 B、 C、 D.‎ ‎7、一物体在力 (单位:N)的作用下,沿着与力F相同的方向,从x=0处运动到x=3处 ‎(单位:m),则力F(x)所作的功为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎8、若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎9、已知函数的图像为曲线C，若曲线C存在与直线垂直的切线，‎ 则实数m的取值范围（ ）。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎10、函数f（x）在定义域R内可导，若任意的x∈R，都有，且当时，有，设， ，，则a、b、c的大小关系为（ ）。‎ A、a＜b＜c B、c＜a＜b C、c＜b＜a D、b＜c＜a ‎11、若函数在上有最大值，则实数α的取值范围是(　　)。‎ A、 B、 C、 D、 ‎ ‎12、设函数、的定义域分别为，，且，若对于任意，都有，‎ 则称函数为在上的一个延拓函数.设，为在上的一个延拓函数，且是奇函数.给出以下命题：‎ ‎①当时，； ②函数有3个零点；‎ ‎③的解集为； ④，都有。‎ 其中正确命题的个数是（ ）。‎ A、1 B、2 C、3 D、4 ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13、若复数（为虚数单位），则||= .‎ ‎14、的值等于 .‎ ‎15、某小朋友按如下规则练习数数，1大拇指，2食指，3中指，4‎ 无名指，5小指，6无名指，7中指，8食指，9大拇指，10‎ 食指，，一直数到2017时，对应的指头是 ‎ ‎16、已知函数的图象与直线的交点为，函数的图象与直线的交点为N，恰好是点到函数图象上任意一点的线段长的最小值，则实数的值是 ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）‎ ‎17、（10分）已知复数， 为虚数单位,‎ ‎（1）当复数为纯虚数时，求m的取值 ‎（2）当实数时，复数，求复数z的实部最值。‎ ‎18、（10分）已知函数 ‎ （1）利用定义法求函数的导函数 ‎（2）求曲线过的切线方程 ‎（3）求（2）的切线与曲线及直线x=2所围成的曲边图形的面积。‎ ‎19、（12分） 设曲线：，表示导函数．已知函数在 ‎ 处有极值 ‎(1)求的解析式.‎ 高二数学试卷 第 3 页 共4页 高二数学试卷 第 4 页 共4页 ‎(2)数列满足， ．求，用不完全归纳法猜想的通项公式并用数学归纳法加以证明。‎ ‎(3)在(2)的基础上用反证法证明：数列中不存在任何不同三项成等差数列；‎ ‎20、（12分）已知f(x)=( x∈R)在区间[1,2]上是增函数.‎ ‎（1）若函数f(x)在区间[1,2]上是增函数,求实数的值组成的集合A；‎ ‎（2）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1|x1－x2|对任意∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎21、（12分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球形，按照设计要求中间圆柱体部分的容积为16π立方米，且L≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为1千元，半球形部分每平方米建造费用为千元．设该容器的建造费用为y千元．（圆柱体体积公式为，球的体积公式为，圆柱侧面积公式为，球的表面积公式为）‎ ‎(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；‎ ‎(2)求该容器的建造费用最小时的r.‎ ‎22、（14分）已知函数，x∈R ‎（1）若k=e，求函数f（x）的极值；‎ ‎（2）若对于任意恒成立，试求实数k的取值范围；‎ ‎（3）设函数，求证：（）‎ ‎2016---2017学年度第二学期八县（市）一中期中联考 高中 二 年 数学科（理科）参考答案 一、选择题：1.B 2.C 3.D 4.B 5.A 6.C 7.B 8.C 9.D 10.A 11.B 12.B 二、填空题：13.1 14. 15. 大拇指 16. 2‎ 三、解答题：‎ ‎17.解：依题意得：‎ ‎ ‎ ‎ 3分 ‎（2）‎ ‎ 4分 设，可得 6分 所以，当时，，所以g(m)在此区间单调递增；‎ 当时，，所以g(m)在此区间单调递减； 8分 ‎ ‎ 所以，实部最大值为，最小值为8. 10分 ‎18.解（1） 1分 ‎ 2分 ‎ 3分 ‎（2）设切点，因为 4分 ‎，切线方程 则 5分 所以切线方程 6分 ‎（3） 7分 ‎10分 ‎ ‎ ‎19. 解：（1）函数定义域为 ---------1‎ 依题意得：‎ 即： -----------3‎ ‎ ------------4‎ ‎（2）由（1）得：‎ ‎∵‎ 猜想： ---------------5‎ 证明：①当n=1时，成立；‎ ‎②假设当n=k时，成立 ---------------6‎ 当n=k+1时，‎ 所以，当n=k+1时，结论也成立 综上所述，时成立。 -----------------8‎ ‎（3）假设存在不同的三项成等差数列， ‎ 因为为偶数，为奇数，产生矛盾 所以假设错误，原命题成立。 ----------------------12‎ ‎20.解：（Ⅰ）f＇(x)== ， --------------------1‎ ‎∵f(x)在[1，2]上是增函数，‎ ‎∴f＇(x)≥0对x∈[1，2]恒成立，‎ 即x2－ax－2≤0对x∈[1，2]恒成立. ① ------------------------3‎ 设(x)=x2－ax－2，‎ 方法一：由①得 令则在上为增函数 ‎ -------------------------6‎ 方法二：设(x)=x2－ax－2，‎ 由①得，‎ ‎∵对x∈[1，2]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(2)=0‎ ‎∴A={a|}. ‎ ‎（Ⅱ）由=，得x2－ax－2=0， ∵△=a2+8>0 ----------------------7‎ ‎∴x1，x2是方程x2－ax－2=0的两非零实根，x1+x2=a，x1x2=－2，‎ 从而|x1－x2|==.‎ ‎∵a≥1，∴|x1-x2|=≥3. -----------------9‎ 要使不等式m2+tm+1≤|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，‎ 当且仅当m2+tm+1≤3对任意t∈[－1，1]恒成立，‎ 即m2+tm－2≤0对任意t∈[－1，1]恒成立. --------------10 ‎ 设g(t)=m2+tm－2=mt+(m2－2)，‎ ‎∴ 解得 -1≤m≤1.‎ 所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≤|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|-1≤m≤1}. --------------12 ‎ ‎21. ----------1‎ ① 当时，即时， ---------------8‎ ‎ --------------9‎ ② 当时，即时，‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ ----------------11‎ 综上所述，①当，时，取最小值，②当，时，取最小值。---12‎ ‎22． 解：‎ ‎（Ⅰ）由k=e得，所以． 1分 令，所以=0，所以x=1。 2分 由得，故的单调递增区间是， ‎ 由得，故的单调递减区间是． 3分 所以存在极小值，无极大值。 4分 ‎（Ⅱ）由可知是偶函数．‎ 于是对任意成立，等价于对任意成立． 5分 ‎ 由得 ① 若，则恒成立，所以在为单调递增。‎ 所以，的最小值为。。 6分 ② 若，令得．‎ ‎(i)当时，．‎ 此时在上单调递增．‎ 故，符合题意． 7分 ‎(ii)当时，．‎ 当变化时的变化情况如下表：‎ 单调递减 极小值 单调递增 由此可得，在上，．‎ 依题意，，又． 9分 综上所述，实数的取值范围是． 10分 ‎（Ⅲ）依题意得，‎ 又因为 11分 ‎， 12分 ‎，‎ ‎ ‎ 由此得，‎ ‎ ‎ 故。 ‎ 所以原不等式得证。 14分