数学理卷·2018届河北省石家庄市一中高二上学期期末考试（2017-01）

数学理卷·2018届河北省石家庄市一中高二上学期期末考试（2017-01）

石家庄市第一中学 ‎2016—2017学年度第一学期期末考试高二年级数学理试题 命题人：马焕新 审核人：高宏 第I卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．在实数集中，已知集合和集合,则 ‎．　．　．　．　‎ ‎2．是的※※※条件．‎ ‎．充分必要 　　．充分不必要　　．必要不充分　　．既不充分也不必要 ‎3．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如下图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是，则9117用算筹可表示为 ‎ A． B．C． D．‎ ‎4．已知为等差数列，为其前项和，若，，则 ‎．　　．　　．　　．‎ ‎5． 函数的图像可由函数的图像至少向右平移※※※个单位长度得到．‎ ‎．　　．　　．　　．‎ ‎6．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的 体积等于 ‎．　　．　　．　　．‎ ‎7．设过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，若以为直径的圆过点，且与轴交于两点，则 ‎．　　． 　　．　　．‎ ‎8．已知点为所在平面内一点，，若，且，则与的夹角为 ‎．　　　．　　　．　　　． ‎ ‎9．已知，则二项式的展开式中的一次项系数为 ‎．　　．　　．　　．‎ ‎10．设正三棱锥(底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)的所有顶点都在球的球面上，，分别是的中点，，则球的表面积为　　　．　　．　　．　　．‎ ‎11．如图，为双曲线的左右焦点，且，若双曲线右支上存在点，使得，设直线与轴交于点，且的内切圆半径为，则双曲线的离心率为 ‎．4　　　．　　　．　　　．‎ ‎12．函数在上存在导函数,对于任意的实数，都有，当时，，若，则实数的取值范围是 ‎．　　　．　　　．　　　．‎ 第II卷（非选择题，共90分）‎ 二、非选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13．某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为 ‎※※※ ．‎ ‎14．已知正实数满足，则 的最小值为 ※※※ ．‎ ‎15．在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的取值范围是※※※ ．‎ ‎16．若曲线 与曲线 存在唯一一条公共切线，则a的取值范围为※※※ ． ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 在△中,角,,对应的边分别是,,． 已知．‎ ‎(Ⅰ)求角A的大小; (Ⅱ)若△的面积,,求的值．‎ ‎18．(本小题满分12分) ‎ 已知数列{}的前项和为，=1，，．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）证明： ‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 为了解适龄公务员对开放生育二胎政策的态度，某部门随机调查了90位三十岁到四十岁的公务员，得到如下列联表，因不慎丢失部分数据。‎ ‎（1））完成表格数据，判断是否有99%以上的把握认为“生二胎意愿与性别有关”并说明理由；‎ ‎（2）已知15位有意愿生二胎的女性公务员中有两位来自省妇联，该部门打算从这15位有意愿生二胎的女性公务员中随机邀请两位来参加座谈，设邀请的2人中来自省妇联的人数为，求的分布列及数学期望．‎ ‎0．050‎ ‎0．010‎ ‎0．001‎ ‎3．841‎ ‎6．635‎ ‎10．828‎ 附：；‎ ‎20．（本小题满分12分）如图,在四棱锥中,平面,,且,点在上．‎ ‎（Ⅰ）求证:;‎ ‎（Ⅱ）若二面角的大小为,求与平面所成角的正弦值． ‎ ‎21．椭圆： 的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点作斜率为的直线,使与椭圆有且只有一个公共点，设直线的斜率分别为．若，试判断是否为定值，若是求出这个定值，若不是，请说明理由．‎ ‎22．(本小题满分12分)‎ 已知函数）在其定义域内有两个不同的极值点．‎ ‎（Ⅰ）求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设两个极值点分别为，证明:．‎ 石家庄市第一中学 ‎2015级高二级部第一学期期末数学理科试题答案 一、选择题 二、填空题 ‎13．18 14．3 15． __16．或.‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎ ‎ ‎【17】(Ⅰ)由,得, ‎ 即,解得 或(舍去).‎ 因为,所以. ‎ ‎(Ⅱ)由得. 又,知.‎ 由余弦定理得故. ‎ 又由正弦定理得. ‎ ‎18.解:（I）由题设,‎ 两式相减得 由于,所以 由题设,,,可得 故可得是首项为1,公差为4的等差数列,；‎ 是首项为3,公差为4的等差数列,. ‎ 所以. ………………6分 ‎（Ⅱ）， ‎ 当时. ‎ ‎………………12分 ‎19.（本小题满分12分） 解析：（1）‎ ‎ ‎ 男性公务员 女性公务员 总计 有意愿生二胎 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 无意愿生二胎 ‎20‎ ‎25‎ ‎45‎ 总计 ‎50‎ ‎40‎ ‎90‎ ‎ ‎ 由于 故没有99%以上的把握认为“生二胎意愿与性别有关”． ...................... ............ ............ ...............4分 ‎（2）由题意可得，一名男公务员要生二胎意愿的概率为,无意愿的概率为,记事件:这三人中至少有一人要生二胎,且各人意愿相互独立 则 答：这三人中至少有一人有意愿生二胎的概率为．............. ............ ............ ...............8分 ‎（3）可能的取值为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎................................................. ...............12分 ‎20.解：(Ⅰ)如图,设为的中点,连结,‎ 则,所以四边形为平行四边形,‎ 故,又,‎ 所以,故,‎ 又因为平面,所以,‎ 且,所以平面,故有 ‎(Ⅱ)如图,以为原点,分别以射线为轴的正半轴,建立空间直角坐标系.‎ 则,‎ 设,‎ 易得,‎ 设平面的一个法向量为,‎ 则,‎ 令得,即.‎ 又平面的一个法向量为,‎ 由题知,解得,‎ 即,而是平面的一个法向量,‎ 设平面与平面所成的角为,则.‎ 故直线与平面所成的角的正弦值为. ‎ ‎ ‎ ‎21【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.（Ⅲ）为定值.‎ ‎【解析】（Ⅰ）设，过且垂直于轴的直线与椭圆相交，则其中的一个交点坐标为，由题意可得解得，‎ 所以椭圆的方程为 ‎ ‎ ‎（Ⅲ）因为与椭圆有且只有一个公共点，则点为切点，设 ‎.‎ 设与联立得，‎ 由得，‎ 所以 另解：由题意可知，为椭圆的在点处的切线，由导数法可求得，切线方程，‎ 所以，而，代入中得 为定值.‎ ‎ ‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 解：(Ⅰ)依题，函数的定义域为，‎ 所以方程在有两个不同根.‎ 即，方程在有两个不同根.………………1分 ‎（解法一）转化为，函数与函数 的图像在上有两个不同交点，如图. ………………3分 可见，若令过原点且切于函数图像的直线斜率为，‎ 只须. ………………4分 令切点，所以，又，所以，‎ 解得，，于是， ………………5分 所以. ………………6分 ‎（解法二）转化为，函数与函数的图像在上有两个不同交点.‎ 又，即时，，时，，………………2分 所以在上单调增，在上单调减.从而……………3分 又有且只有一个零点是1，且在时，，在在时，，‎ 所以的草图如下， ………………5分 可见，要想函数与函数的 图像在上有两个不同交点，‎ 只须. ………………6分 ‎（解法三）令，从而转化为函数有两个不同零点，‎ 而（） ………………2分 若，可见在上恒成立，所以在单调增，‎ 此时不可能有两个不同零点. ………………3分 若，在时，，在时，，‎ 所以在上单调增，在上单调减，‎ 从而………………4分 又因为在时，，在在时，，于是只须：‎ ‎，即，所以. ………………5分 综上所述，………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知分别是方程的两个根，‎ 即，，‎ 设，作差得，即.………………7分 原不等式等价于 ‎………………8分 令，则，………………9分 设，，‎ ‎∴函数在上单调递增，………………10分 ‎∴，‎ 即不等式成立，………………11分 故所证不等式成立．………………12分 ‎ ‎ ‎ ‎