数学理卷·2018届河北省石家庄市一中高二上学期期末考试(2017-01)

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数学理卷·2018届河北省石家庄市一中高二上学期期末考试(2017-01)

石家庄市第一中学 ‎2016—2017学年度第一学期期末考试高二年级数学理试题 命题人:马焕新 审核人:高宏 第I卷(选择题,共60分)‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.在实数集中,已知集合和集合,则 ‎. . . . ‎ ‎2.是的※※※条件.‎ ‎.充分必要   .充分不必要  .必要不充分  .既不充分也不必要 ‎3.中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放形式有纵横两种形式(如下图所示),表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位数用纵式表示,十位,千位,十万位用横式表示,以此类推.例如6613用算筹表示就是,则9117用算筹可表示为 ‎ A. B.C. D.‎ ‎4.已知为等差数列,为其前项和,若,,则 ‎.  .  .  .‎ ‎5. 函数的图像可由函数的图像至少向右平移※※※个单位长度得到.‎ ‎.  .  .  .‎ ‎6.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的 体积等于 ‎.  .  .  .‎ ‎7.设过抛物线的焦点的直线交抛物线于点,若以为直径的圆过点,且与轴交于两点,则 ‎.  .   .  .‎ ‎8.已知点为所在平面内一点,,若,且,则与的夹角为 ‎.   .   .   . ‎ ‎9.已知,则二项式的展开式中的一次项系数为 ‎.  .  .  .‎ ‎10.设正三棱锥(底面是正三角形,顶点在底面的射影为底面中心)的所有顶点都在球的球面上,,分别是的中点,,则球的表面积为   .  .  .  .‎ ‎11.如图,为双曲线的左右焦点,且,若双曲线右支上存在点,使得,设直线与轴交于点,且的内切圆半径为,则双曲线的离心率为 ‎.4   .   .   .‎ ‎12.函数在上存在导函数,对于任意的实数,都有,当时,,若,则实数的取值范围是 ‎.   .   .   .‎ 第II卷(非选择题,共90分)‎ 二、非选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分 ‎13.某校为了解1000名高一新生的身体生长状况,用系统抽样法(按等距的规则)抽取40名同学进行检查,将学生从进行编号,现已知第18组抽取的号码为443,则第一组用简单随机抽样抽取的号码为 ‎※※※ .‎ ‎14.已知正实数满足,则 的最小值为 ※※※ .‎ ‎15.在如图所示的程序框图中,若输出的值是3,则输入的取值范围是※※※ .‎ ‎16.若曲线 与曲线 存在唯一一条公共切线,则a的取值范围为※※※ . ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.请将解答过程书写在答题纸上,并写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 在△中,角,,对应的边分别是,,. 已知.‎ ‎(Ⅰ)求角A的大小; (Ⅱ)若△的面积,,求的值.‎ ‎18.(本小题满分12分) ‎ 已知数列{}的前项和为,=1,,.‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式;(Ⅱ)证明: ‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 为了解适龄公务员对开放生育二胎政策的态度,某部门随机调查了90位三十岁到四十岁的公务员,得到如下列联表,因不慎丢失部分数据。‎ ‎(1))完成表格数据,判断是否有99%以上的把握认为“生二胎意愿与性别有关”并说明理由;‎ ‎(2)已知15位有意愿生二胎的女性公务员中有两位来自省妇联,该部门打算从这15位有意愿生二胎的女性公务员中随机邀请两位来参加座谈,设邀请的2人中来自省妇联的人数为,求的分布列及数学期望.‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 附:;‎ ‎20.(本小题满分12分)如图,在四棱锥中,平面,,且,点在上.‎ ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)若二面角的大小为,求与平面所成角的正弦值. ‎ ‎21.椭圆: 的左、右焦点分别是,离心率为,过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)点是椭圆上除长轴端点外的任一点,连接,设的角平分线交的长轴于点,求的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点作斜率为的直线,使与椭圆有且只有一个公共点,设直线的斜率分别为.若,试判断是否为定值,若是求出这个定值,若不是,请说明理由.‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 已知函数)在其定义域内有两个不同的极值点.‎ ‎(Ⅰ)求的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)设两个极值点分别为,证明:.‎ 石家庄市第一中学 ‎2015级高二级部第一学期期末数学理科试题答案 一、选择题 二、填空题 ‎13.18 14.3 15. __16.或.‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎ ‎ ‎【17】(Ⅰ)由,得, ‎ 即,解得 或(舍去).‎ 因为,所以. ‎ ‎(Ⅱ)由得. 又,知.‎ 由余弦定理得故. ‎ 又由正弦定理得. ‎ ‎18.解:(I)由题设,‎ 两式相减得 由于,所以 由题设,,,可得 故可得是首项为1,公差为4的等差数列,;‎ 是首项为3,公差为4的等差数列,. ‎ 所以. ………………6分 ‎(Ⅱ), ‎ 当时. ‎ ‎………………12分 ‎19.(本小题满分12分) 解析:(1)‎ ‎ ‎ 男性公务员 女性公务员 总计 有意愿生二胎 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 无意愿生二胎 ‎20‎ ‎25‎ ‎45‎ 总计 ‎50‎ ‎40‎ ‎90‎ ‎ ‎ 由于 故没有99%以上的把握认为“生二胎意愿与性别有关”. ...................... ............ ............ ...............4分 ‎(2)由题意可得,一名男公务员要生二胎意愿的概率为,无意愿的概率为,记事件:这三人中至少有一人要生二胎,且各人意愿相互独立 则 答:这三人中至少有一人有意愿生二胎的概率为.............. ............ ............ ...............8分 ‎(3)可能的取值为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎................................................. ...............12分 ‎20.解:(Ⅰ)如图,设为的中点,连结,‎ 则,所以四边形为平行四边形,‎ 故,又,‎ 所以,故,‎ 又因为平面,所以,‎ 且,所以平面,故有 ‎(Ⅱ)如图,以为原点,分别以射线为轴的正半轴,建立空间直角坐标系.‎ 则,‎ 设,‎ 易得,‎ 设平面的一个法向量为,‎ 则,‎ 令得,即.‎ 又平面的一个法向量为,‎ 由题知,解得,‎ 即,而是平面的一个法向量,‎ 设平面与平面所成的角为,则.‎ 故直线与平面所成的角的正弦值为. ‎ ‎ ‎ ‎21【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).(Ⅲ)为定值.‎ ‎【解析】(Ⅰ)设,过且垂直于轴的直线与椭圆相交,则其中的一个交点坐标为,由题意可得解得,‎ 所以椭圆的方程为 ‎ ‎ ‎(Ⅲ)因为与椭圆有且只有一个公共点,则点为切点,设 ‎.‎ 设与联立得,‎ 由得,‎ 所以 另解:由题意可知,为椭圆的在点处的切线,由导数法可求得,切线方程,‎ 所以,而,代入中得 为定值.‎ ‎ ‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 解:(Ⅰ)依题,函数的定义域为,‎ 所以方程在有两个不同根.‎ 即,方程在有两个不同根.………………1分 ‎(解法一)转化为,函数与函数 的图像在上有两个不同交点,如图. ………………3分 可见,若令过原点且切于函数图像的直线斜率为,‎ 只须. ………………4分 令切点,所以,又,所以,‎ 解得,,于是, ………………5分 所以. ………………6分 ‎(解法二)转化为,函数与函数的图像在上有两个不同交点.‎ 又,即时,,时,,………………2分 所以在上单调增,在上单调减.从而……………3分 又有且只有一个零点是1,且在时,,在在时,,‎ 所以的草图如下, ………………5分 可见,要想函数与函数的 图像在上有两个不同交点,‎ 只须. ………………6分 ‎(解法三)令,从而转化为函数有两个不同零点,‎ 而() ………………2分 若,可见在上恒成立,所以在单调增,‎ 此时不可能有两个不同零点. ………………3分 若,在时,,在时,,‎ 所以在上单调增,在上单调减,‎ 从而………………4分 又因为在时,,在在时,,于是只须:‎ ‎,即,所以. ………………5分 综上所述,………………6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可知分别是方程的两个根,‎ 即,,‎ 设,作差得,即.………………7分 原不等式等价于 ‎………………8分 令,则,………………9分 设,,‎ ‎∴函数在上单调递增,………………10分 ‎∴,‎ 即不等式成立,………………11分 故所证不等式成立.………………12分 ‎ ‎ ‎ ‎
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