山西省大同四中联盟体2020届高三3月模拟考试数学(文)试题

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山西省大同四中联盟体2020届高三3月模拟考试数学(文)试题

大同四中联盟校2019—2020学年第二学期 高三年级高考模拟试题 文科数学 命题人: 审题人:‎ 本试卷共6 页 满分:150分 考试用时:120分钟 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.若复数满足,则在复平面内对应的点位于( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.已知圆,直线,若圆上总存在到直线的距离为的点,则实数的取值范围为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎4.《张丘建算经》是早于《九章算术》的我国另一部数学著作,在《算经》中有一题:某女子善于织布,一天比一天织的快,而且每天增加的数量相同,已知第一天织布尺,天共织布尺,‎ 则该女子织布每天增加( )‎ A.尺 B.尺 C.尺 D.尺 ‎5.已知直线与双曲线无公共点,则双曲线离心率的取值范围 为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.某兴趣小组合作制作了一个手工制品,并将其绘制成如图所示的三视图,其中侧视图中的圆的 半径为,则制作该手工表面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.在中,,,,则( )‎ A. B. C.或 D.或 ‎8.从某中学抽取名学生进行阅读调查,发现每年读短篇文章量都在篇至篇之间,频率 分布直方图如图所示,则对这名学生的阅读量判断正确的为( )‎ A.的值为 B.平均数约为 C.中位数大约为 D.众数约为 ‎9.已知椭圆左、右焦点分别为、,为椭圆上一点,且 ‎,若的最小值为,则椭圆的离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知,则取得最小值时的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知函数的图象在处的切线与直线垂直.执行如图所示的程序框图,若输出的的值为,则判断框中的值可以为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知函数为上的奇函数,且满足,,则( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题,考生根据要求作答。‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.设,满足约束条件,若目标函数的最大值与最小值分别为,,则 .‎ ‎14.,,,的夹角为,则与的夹角为 .‎ ‎15.在三棱锥中,平面,,,则三棱锥外接球的表面积为 .‎ ‎16.已知点到直线的最大距离为,则 .‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(12分)在正项等比数列中,已知,.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)令,求数列的前项和.‎ ‎18.(12分)新高考最大的特点就是取消文理科,除语文、数学、外语之外,从物理、化学、生物、政治、历史、地理这科中自由选择三门科目作为选考科目.某研究机构为了了解学生对全理(选择物理、化学、生物)的选择是否与性别有关,觉得从某学校高一年级的名学生中随机抽取男生,女生各人进行模拟选科.经统计,选择全理的人数比不选全理的人数多人.‎ ‎(1)请完成下面的列联表;‎ ‎(2)估计有多大把握认为选择全理与性别有关,并说明理由;‎ ‎(3)现从这名学生中已经选取了男生名,女生名进行座谈,从中抽取名代表作问卷调查,求至少抽到一名女生的概率.‎ 附:,其中.‎ ‎19.(12分)如图,已知四棱锥中,平面,为等边三角形,,是的中点.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)若,求点到平面的距离.‎ ‎20.(12分)已知抛物线,其焦点为,直线过点与交于、两点,当的斜率为时,.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)在轴上是否存在一点满足(点为坐标原点)?若存在,求点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎21.(12分)已知函数,.‎ ‎(1)设函数,若是函数的唯一极值点,求实数的取值范围;‎ ‎(2)若函数有两个零点,,证明:.‎ 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎【选修4-4:坐标系与参数方程】‎ ‎22.(10分)在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线的普通方程;‎ ‎(2)已知,直线与曲线交于,两点,求的最大值.‎ ‎【选修4-5:不等式选讲】‎ ‎23.(10分)已知函数.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)设函数,若存在使成立,求实数的取值范围.‎ 大同四中联盟校2019—2020学年第二学期 高三年级高考模拟试题 文科数学参考答案及评分标准 一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 【答案】A ‎【解析】由,得,即,‎ 由,得,所以,所以.‎ ‎2. 【答案】A ‎【解析】由,得,所以在复平面内对应的点位于第一象限.‎ ‎3. 【答案】B ‎【解析】若圆上只有一点到直线的距离为时,圆心到直线的距离为,故要使圆上总存在到直线的距离为的点,则圆心到直线的距离,即,即.‎ ‎4. 【答案】B ‎【解析】本题可以转为等差数列问题:已知首项,前项的和,求公差,‎ 由等差数列的前项公式可得,,解得.‎ ‎5. 【答案】B ‎【解析】双曲线的一条渐近线为,因为直线与双曲线无公共点,故有,即,,所以,所以.‎ ‎6. 【答案】D ‎【解析】由三视图可知,该手工制品是由两部分构成,每一部分都是相同圆锥的四分之一,‎ 且圆锥的底面半径为,高为,故母线长为,‎ 故每部分的表面积为,‎ 故两部分表面积为.‎ ‎7. 【答案】D ‎【解析】,‎ 所以,所以或,‎ 当时,由余弦定理可得,,‎ 同理,时,.‎ ‎8.【答案】C ‎【解析】由,解得,故A错;‎ 由A可知,,所以平均数为,故B错误;‎ 居民月用电量在的频率为,‎ 居民月用电量在的频率为:,‎ ‎∴这户居民月用电量的中位数大约为,故C正确;‎ 由频率分布直方图可知,众数大约为,故D错误.‎ ‎9. 【答案】C ‎【解析】由,得,当最小且最大时,取得最小值,‎ 所以,所以,所以离心率.‎ ‎10. 【答案】C ‎【解析】,当且仅当,即 时等号成立,所以=.‎ ‎11. 【答案】B ‎【解析】,则的图象在处的切线斜率,‎ 由于切线与直线垂直,则有,则,‎ 所以,所以,‎ 所以,由于输出的的值为,故总共循环了次,‎ 此时,故的值可以为.‎ ‎12. 【答案】C ‎【解析】由为上的奇函数,且,得,‎ 故函数的周期为,所以,所以.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.【答案】‎ ‎【解析】,满足约束条件的可行域如下图,‎ 由,得;由,得,‎ 将目标函数化为,由图可知,当直线经过点时目标函数取得最小值,‎ 所以;‎ 当直线经过点时目标函数取得最大值,所以,‎ 所以有.‎ ‎14. 【答案】‎ ‎【解析】,所以,设与的夹角为,‎ 则,又因为,所以.‎ ‎15.【答案】‎ ‎【解析】设外接圆的半径为,则,∴,‎ 设三棱锥外接球的半径为,则,‎ 故外接球的表面积.‎ ‎16.【答案】或 ‎【解析】点到直线的距离,‎ 当时,,所以;‎ 当时,,所以.‎ 综上,或.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(12分)在正项等比数列中,已知,.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)令,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)见解析.‎ ‎【解析】(1)设公比为,则由题意可知:,‎ 又,所以,所以=.‎ ‎(2),∴‎ ‎.‎ ‎18.(12分)新高考最大的特点就是取消文理科,除语文、数学、外语之外,从物理、化学、生物、政治、历史、地理这科中自由选择三门科目作为选考科目.某研究机构为了了解学生对全理(选择物理、化学、生物)的选择是否与性别有关,觉得从某学校高一年级的名学生中随机抽取男生,女生各人进行模拟选科.经统计,选择全理的人数比不选全理的人数多人.‎ ‎(1)请完成下面的列联表;‎ ‎(2)估计有多大把握认为选择全理与性别有关,并说明理由;‎ ‎(3)现从这名学生中已经选取了男生名,女生名进行座谈,从中抽取名代表作问卷调查,求至少抽到一名女生的概率.‎ 附:,其中.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.‎ ‎【解析】(1)依题意可得列联表:‎ ‎(2),‎ ‎∴的把握认为选择全理与性别有关.‎ ‎(3)设名男生分别为,,,两名女生分别为,.‎ 从名学生中抽取名所有的可能为,,,共种,‎ 不包含女生的基本事件有,共种,故所求概率.‎ ‎19.(12分)如图,已知四棱锥中,平面,为等边三角形,,是的中点.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)若,求点到平面的距离.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)见解析.‎ ‎【解析】(1)∵平面,平面,∴,‎ ‎∵,是的中点,∴,‎ 又,∴平面.‎ ‎(2)∵,平面,∴平面,‎ ‎∴,∴.‎ 同理在中,,在梯形中,易得.‎ 所以等腰底边上的高为,所以,‎ 又,∵,平面,∴平面,‎ ‎∴点到平面的距离等于点到平面的距离,‎ ‎∵,∴.‎ 设点到平面的距离为,则由,得,‎ 所以.‎ ‎∵点为的中点,∴点到平面的距离为.‎ ‎20.(12分)已知抛物线,其焦点为,直线过点与交于、两点,当的斜率为时,.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)在轴上是否存在一点满足(点为坐标原点)?若存在,求点的 坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)见解析.‎ ‎【解析】(1),当直线的斜率为时,其方程为,‎ 设,,由,得,‎ 把代入抛物线方程得,‎ 所以,所以,所以.‎ ‎(2)由(1)可知,抛物线,,由题意可知,直线的斜率存在,‎ 设其方程为,将其代入抛物线方程为,‎ 则,,‎ 假设在轴上存在一点满足,‎ 则,即,即,‎ 所以,即,‎ 由于,所以,即,即在轴上存在点满足.‎ ‎21.(12分)已知函数,.‎ ‎(1)设函数,若是函数的唯一极值点,求实数的取值范围;‎ ‎(2)若函数有两个零点,,证明:.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)见解析.‎ ‎【解析】由,可得,‎ ‎∵函数有唯一极值点,∴,即恒成立,‎ 设,则,‎ 当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增,‎ 所以,所以,即实数的取值范围是.‎ ‎(2),∵,是函数的两个零点,‎ ‎∴,,∴,‎ ‎∴.‎ 要证,即证.‎ 设,则等价于,‎ 即证,‎ 令,且,即证,则,‎ 则,令,则,‎ 故在上单调递增,故,‎ 所以函数在上单调递增,所以.‎ 即对任意恒成立,所以.‎ 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎【选修4-4:坐标系与参数方程】‎ ‎22.(10分)在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线的普通方程;‎ ‎(2)已知,直线与曲线交于,两点,求的最大值.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)见解析.‎ ‎【解析】(1)∵,∴,‎ ‎∴,即.‎ ‎(2)将直线的参数方程(为参数)代入的普通方程,得,则,,‎ 所以,‎ 所以,即的最大值为.‎ ‎【选修4-5:不等式选讲】‎ ‎23.(10分)已知函数.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)设函数,若存在使成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)见解析.‎ ‎【解析】(1)当时,原不等式可化为,无解;‎ 当时,原不等式可化为,从而;‎ 当时,原不等式可化为,从而.‎ 综上,原不等式的解集为.‎ ‎(2)由得,又,‎ 所以,即,解得,所以的取值范围为.‎
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