2017-2018学年宁夏石嘴山市第三中学高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年宁夏石嘴山市第三中学高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年宁夏石嘴山市第三中学高二下学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．幂函数过点，则的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析:先根据幂函数定义得到k=1,再代点（4,2）求出，即得的值.‎ 详解：由幂函数的定义得k=1.所以，‎ 因为幂函数经过点（4,2），所以 所以故答案为：B.‎ 点睛：（1）本题主要考查幂函数的定义，考查求幂函数的解析式，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 形如的函数叫幂函数，其特征是以幂的底为自变量，指数为常数，其定义域随着常数取值的不同而不同。函数不是幂函数，是复合函数.‎ ‎2．设集合A＝{x|x2－3x＜0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则A∩B＝(　　)‎ A． {x|2≤x＜3} B． {x|－2≤x＜0}‎ C． {x|0＜x≤2} D． {x|－2≤x＜3}‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出集合A中不等式的解集，结合集合B，得到两个集合的交集．‎ ‎【详解】‎ A={x|x2﹣3x＜0}={x|0＜x＜3}，‎ ‎∵B={x|﹣2≤x≤2}，‎ ‎∴A∩B={x|0＜x≤2}，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．‎ ‎3．命题“， ”的否定是（ ）‎ A． ， B． ， ‎ C． ， D． ， ‎ ‎【答案】D ‎【解析】命题“， ”的否定是， ‎ 选D.‎ ‎4．函数的零点个数为（ ）‎ A． 0 B． 1 C． 2 D． 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】，如图，‎ 由图可知，两个图象有2个交点，所以原函数的零点个数为2个，故选C。‎ ‎5．函数的图象大致是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的奇偶性、特殊值判断函数图象形状与位置即可．‎ ‎【详解】‎ 函数y=是奇函数，所以选项A，B不正确；‎ 当x=10时，y=＞0，图象的对应点在第一象限，‎ D正确；C错误．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的图象的判断，一般利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性、特殊值等方法判断．‎ ‎6．若函数的定义域为，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题得恒成立，再解这个恒成立问题即得解.‎ 详解：由题得恒成立，‎ a=0时，不等式恒成立.‎ a≠0时，由题得 综合得故答案为：C.‎ 点睛：（1）本题主要考查函数的定义域和二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化能力数形结合思想方法.（2）解答本题恒成立时，一定要讨论a=0的情况,因为不一定时一元二次不等式.‎ ‎7．方程至少有一个负实根的充要条件是（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． 或 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：①时，显然方程没有等于零的根．若方程有两异号实根，则；‎ 若方程有两个负的实根，则必有．‎ ‎②若时，可得也适合题意．‎ 综上知，若方程至少有一个负实根，则．反之，若，则方程至少有一个负的实根，‎ 因此，关于的方程至少有一负的实根的充要条件是．‎ 故答案为：C ‎【考点】充要条件，一元二次方程根的分布 ‎8．设，则的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：，，即，，‎ ‎．‎ ‎【考点】函数的比较大小．‎ ‎9．已知函数 ，的值域是，则实数的取值范围是(　　)‎ A． （1,2） B． C． （1,3） D． （1,4）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出当x≤2时，f（x）≥4，则根据条件得到当x＞2时，f（x）=3+logax≥4恒成立，利用对数函数的单调性进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 当x≤2时，f（x）=﹣x+6≥4，‎ 要使f（x）的值域是[4，+∞），‎ 则当x＞2时，f（x）=3+logax≥4恒成立，‎ 即logax≥1，‎ 若0＜a＜1，则不等式logax≥1不成立，‎ 当a＞1时，则由logax≥1=logaa，‎ 则a≤x，‎ ‎∵x＞2，∴a≤2，‎ 即1＜a≤2，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数值域的应用，利用分段函数的表达式先求出当x≤2时的函数的值域是解决本题的关键．‎ ‎10．下列命题正确的是(　　)‎ A． 若p∨q为真命题，则p∧q为真命题 B． “a＞0，b＞0”是“≥2”的充要条件 C． 命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2－3x＋2≠0”‎ D． 命题p：∃x∈R，x2＋x－1＜0，则﹁p：∀x∈R，x2＋x－1≥0‎ ‎【答案】D ‎【解析】若p∨q为真命题，则p，q中至少有一个为真，那么p∧q可能为真，也可能为假，故A错；若a＞0，b＞0，则＋≥2，又当a＜0，b＜0时，也有＋≥2，所以“a＞0，b＞0”是“＋≥2”的充分不必要条件，故B错；命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2－3x＋2≠0”，故C错；易知D正确．‎ ‎11．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－1，则f(2 017)＋f(2 018)的值为(　　)‎ A． －2 B． －1 C． 0 D． 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 推导出f（﹣x）=﹣f（x），f（x）=f（2﹣x）=﹣f（﹣x），f（4﹣x）=﹣f（2﹣x）=f（﹣x），周期是T=4，再由当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，能求出f（2017）+f（2018）的值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，且f（x）的图象关于x=1对称，‎ ‎∴f（﹣x）=﹣f（x），由图象关于x=1对称，得f（1+x）=f（1﹣x），‎ 即f（x）=f（2﹣x）=﹣f（﹣x）‎ ‎∴f（4﹣x）=﹣f（2﹣x）=f（﹣x），∴周期是T=4‎ ‎∵当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1．‎ ‎∴f（2017）+f（2018）=f（1）+f（2）‎ ‎=f（1）﹣f（0）‎ ‎=2﹣1﹣1+1‎ ‎=1．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查运用函数的周期性和对称性求值的方法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用.‎ 求抽象函数周期常用方法：‎ ‎（1）递推法：若，则，所以周期.‎ ‎（2）换元法：若，令，，则，所以周期．‎ ‎12．对于实数和，定义运算“”： 设，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根、、，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：当时，即当时，，‎ 当时，即当时，，‎ 所以，如下图所示，当时，，‎ 当时，，当直线与曲线有三个公共点时，，设，‎ 则且，，且，所以，因此，所以，，‎ 故选A.‎ ‎【考点】1.新定义；2.分段函数；3.函数的图象与零点 二、填空题 ‎13．函数=的定义域为____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】要使函数=有意义,则,解得,即函数=的定义域为.‎ 故填．‎ ‎14．设函数，若，则b＝_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用分段函数以及函数的零点，求解即可．‎ ‎【详解】‎ 函数f（x）=，若f（f（））=4，‎ 可得f（）=4，‎ 若，即b≤，可得，解得b=．‎ 若，即b＞，可得，解得b=＜（舍去）．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．‎ ‎(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．‎ ‎15．函数的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析： ‎ 所以，当，即时， 取得最小值.‎ 所以答案应填： .‎ ‎【考点】1、对数的运算；2、二次函数的最值.‎ ‎16．已知在区间[2，＋∞)上为减函数，则实数的取值范围是___________.‎ ‎【答案】﹣4＜a≤4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令t=x2﹣ax+3a，则由题意可得函数t在区间[2，+∞）上为增函数且t（2）＞0，故有，由此解得实数a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 令t=x2﹣ax+3a，则由函数f（x）=g（t）= 在区间[2，+∞）上为减函数，‎ 可得函数t在区间[2，+∞）上为增函数且t（2）＞0，‎ 故有，解得﹣4＜a≤4，‎ 故答案为：﹣4＜a≤4．‎ ‎【点睛】‎ 复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．‎ 三、解答题 ‎17．已知p：函数f(x)＝x2－2mx＋4在[2，＋∞)上单调递增；q：关于x的不等式mx2＋4(m－2)x＋4>0的解集为R.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数的单调性，以及一元二次不等式的解的情况和判别式△的关系即可求出命题p，q为真命题时m的取值范围．根据p∨q为真命题，p∧q为假命题得到p真q假或p假q真，求出这两种情况下m的范围并求并集即可．‎ ‎【详解】‎ 若命题p为真，因为函数f(x)的图象的对称轴为x＝m，则m≤2；若命题q为真，当m＝0时，原不等式为－8x＋4>0，显然不成立．‎ 当m≠0时，则有解得10. ‎ ‎∴ ②③a=2,b=1,c=-3‎ ‎∴‎ ‎（2） 其对称轴方程为 ‎①若即m<-3时，由 得不符合 ‎②若即时，得：符合 ‎③若即m>9时，=由 得不符合题意 ‎∴ ‎ 点睛：（1）本题主要考查二次函数解析式的求法和二次函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力数形结合的思想方法.(2)求函数在区间上的最值，由于对称轴与区间位置关系不确定，所以要分类讨论.‎ ‎22．已知函数 (a∈R)，将y＝f(x)的图象向右平移两个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象．‎ ‎(1)求函数y＝g(x)的解析式；‎ ‎(2)若方程f(x)＝a在[0,1]上有且仅有一个实根，求a的取值范围；‎ ‎(3)若函数y＝h(x)与y＝g(x)的图象关于直线y＝1对称，设F(x)＝f(x)＋h(x)，已知F(x)>2＋3a对任意的x∈(1，＋∞)恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）借助平移的知识可直接求得函数解析式；‎ ‎（2）先换元设2x=t将问题进行等价转化为t2﹣at﹣a=0有且只有一个根，再构造二次函数k（t）=t2﹣at﹣a运用函数方程思想建立不等式组分析求解；‎ ‎（3）先依据题设条件求出函数的解析式y=h（x），再运用不等式恒成立求出函数的最小值：‎ ‎【详解】‎ ‎(1)g(x)＝2x－2－.‎ ‎(2)设2x＝t，则t∈[1,2]，原方程可化为t2－at－a＝0.‎ 于是只需t2－at－a＝0在[1,2]上有且仅有一个实根，‎ 设k(t)＝t2－at－a，对称轴为t＝，则k(1)·k(2)≤0，①‎ 或②‎ 由①得(1－2a)(4－3a)≤0，即(2a－1)(3a－4)≤0，‎ 解得≤a≤.‎ 由②得无解，则≤a≤.‎ ‎(3)设y＝h(x)的图象上一点P(x，y)，点P(x，y)关于y＝1的对称点为Q(x,2－y)，由点Q在y＝g(x)的图象上，‎ 所以2－y＝2x－2－，‎ 于是y＝2－2x－2＋，即h(x)＝2－2x－2＋.‎ F(x)＝f(x)＋h(x)＝×2x＋＋2.‎ 由F(x)>3a＋2，化简得×2x＋>a，‎ 设t＝2x，t∈(2，＋∞)，F(x)>2＋3a对任意的x∈(1，＋∞)恒成立，即t2－4at＋4a>0在(2，＋∞)上恒成立．‎ 设m(t)＝t2－4at＋4a，t∈(2，＋∞)，对称轴为t＝2a，‎ 则Δ＝16a2－16a<0，③‎ 或④‎ 由③得0

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