数学卷·2018届黑龙江省双鸭山一中高二上学期9月月考数学试卷（文科）（解析版）

数学卷·2018届黑龙江省双鸭山一中高二上学期9月月考数学试卷（文科）（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年黑龙江省双鸭山一中高二（上）9月月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：‎ ‎1．若直线l经过点，且倾斜角为30°，则直线l的方程是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．如果A（3，1）、B（﹣2，k）、C（8，11）三点在同一条直线上，那么k的值是（　　）‎ A．﹣6 B．﹣7 C．﹣8 D．﹣9‎ ‎3．下列四个结论：‎ ‎（1）两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；‎ ‎（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行；‎ ‎（3）两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；‎ ‎（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．‎ 其中正确的个数为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎4．知直线l、m、n及平面α，下列命题中的假命题是（　　）‎ A．若l∥m，m∥n，则l∥n B．若l⊥α，n∥α，则l⊥n C．若l⊥m，m∥n，则l⊥n D．若l∥α，n∥α，则l∥n ‎5．设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．9‎ ‎6．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AD的中点，则异面直线C1E与BC所成的角的余弦值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．点P（m﹣n，﹣m）到直线+=1的距离等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知两条平行直线l1：3x+4y+2=0，l2：6x+by+c=0间的距离为2，则b+c=（　　）‎ A．12或﹣48 B．32或﹣8 C．﹣32或8 D．﹣12或48‎ ‎9．变量x，y满足约束条件，且有无穷多个点（x，y）使目标函数z=x+my取得最小值，则m=（　　）‎ A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．4‎ ‎10．已知正方体的外接球的体积是，则这个正方体的棱长是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：‎ ‎13．若圆锥的母线长为2cm，底面圆的周长为2πcm，则圆锥的表面积为　　．‎ ‎14．设实数x，y满足，则的最大值是　　．‎ ‎15．直二面角α﹣l﹣β的棱l上有一点A，在平面α，β内各有一条射线AB，AC与l成45°，AB⊂α，AC⊂β，则∠BAC=　　．‎ ‎16．若动点P与定点F（1，1）的距离和动点P与直线l：3x+y﹣4=0的距离相等，则动点P的轨迹方程是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．已知直线l1：x+my+6=0和直线l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，m为何值时，直线l1与l2为 ‎（1）相交；‎ ‎（2）平行；‎ ‎（3）重合；‎ ‎（4）垂直．‎ ‎18．①求平行于直线3x+4y﹣12=0，且与它的距离是7的直线的方程；‎ ‎②求垂直于直线x+3y﹣5=0，且与点P（﹣1，0）的距离是的直线的方程．‎ ‎19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，∠BAD=60°，E、E分别为BC、PA的中点．‎ ‎（1）求证：ED⊥平面PAD；‎ ‎（2）求三棱锥P﹣DEF的体积．‎ ‎20．已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．‎ ‎（1）证明：直线恒过定点；‎ ‎（2）m为何值时，点Q（3，4）到直线的距离最大，最大值为多少？‎ ‎（3）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A、B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．‎ ‎21．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：EF∥平面A1CD；‎ ‎（Ⅱ）证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1；‎ ‎（Ⅲ）求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．‎ ‎22．某家具公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数据如下：‎ 产品 时间 工艺要求 甲 乙 生产能力台时/天 制白坯时间 ‎6‎ ‎12‎ ‎120‎ 油漆时间 ‎8‎ ‎4‎ ‎64‎ 单位利润 ‎200‎ ‎240‎ 问该公司如何安排这两种产品的生产，才能获得最大的利润．最大利润是多少？‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年黑龙江省双鸭山一中高二（上）9月月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：‎ ‎1．若直线l经过点，且倾斜角为30°，则直线l的方程是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线的点斜式方程．‎ ‎【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系求出直线的斜率，用点斜式求得直线l的方程．‎ ‎【解答】解：直线l的斜率等于tan30°=，‎ 由点斜式求得直线l的方程为y+3=（x﹣），‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．如果A（3，1）、B（﹣2，k）、C（8，11）三点在同一条直线上，那么k的值是（　　）‎ A．﹣6 B．﹣7 C．﹣8 D．﹣9‎ ‎【考点】三点共线．‎ ‎【分析】由题意可得直线AB和直线AC的斜率相等，即=，解方程求得k 的值．‎ ‎【解答】解：∵A（3，1）、B（﹣2，k）、C（8，11）三点在同一条直线上，‎ ‎∴直线AB和直线AC的斜率相等，‎ ‎∴=，解得 k=﹣9．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．下列四个结论：‎ ‎（1）两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；‎ ‎（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行；‎ ‎（3）两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；‎ ‎（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．‎ 其中正确的个数为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】根据线线平行、线面平行的判定和性质．即可得出正确结论．‎ ‎【解答】解：：（1）两条直线都和同一个平面平行，那么这两条直线可能平行、相交、异面．故（1）不正确．‎ ‎（2）两条直线没有公共点，那么这两条直线可能平行、异面．故（2）不正确．‎ ‎（3）两条直线都和第三条直线垂，则这两条直线可能平行、相交、异面．故（3）不正确．‎ ‎（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面可能平行、可能相交、可能在平面内．‎ 故选A ‎　‎ ‎4．知直线l、m、n及平面α，下列命题中的假命题是（　　）‎ A．若l∥m，m∥n，则l∥n B．若l⊥α，n∥α，则l⊥n C．若l⊥m，m∥n，则l⊥n D．若l∥α，n∥α，则l∥n ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】由平行公理、平行和垂直相互转化的常用结论，利用长方体举反例说明来判断．‎ ‎【解答】解：A正确，线线平行的传递性；‎ B、C正确，平行和垂直相互转化的常用结论；‎ D不正确，举反例：长方体上底面的两条相交棱，都平行于下底面，但这两条棱不平行．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．9‎ ‎【考点】简单线性规划的应用．‎ ‎【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=2x+y的最小值．‎ ‎【解答】解：设变量x、y满足约束条件，‎ 在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，0），B（1，1），C（3，3），‎ 则目标函数z=2x+y的最小值为3，‎ 故选B ‎　‎ ‎6．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AD的中点，则异面直线C1E与BC所成的角的余弦值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离；异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴和z轴，建立如图空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，可得C1、E、B、C各点的坐标，从而得出、的坐标，利用空间向量的夹角公式算出、的夹角余弦之值，即可得到异面直线C1E与BC所成的角的余弦值．‎ ‎【解答】解：分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系如图 设正方体的棱长为2，得 C1（0，2，2），E（1，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）‎ ‎∴=（1，﹣2，﹣2），=（﹣2，0，0）‎ 因此，得到||==3，‎ ‎||=2，且•=1×（﹣2）+（﹣2）×0+（﹣2）×0=﹣2‎ ‎∴cos＜，＞==﹣‎ ‎∵异面直线C1E与BC所成的角是锐角或直角 ‎∴面直线C1E与BC所成的角的余弦值是 故选：C ‎　‎ ‎7．点P（m﹣n，﹣m）到直线+=1的距离等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】把直线方程化为一般式方程后，利用点到直线的距离公式表示出P到已知直线的距离，化简后即可得到正确答案．‎ ‎【解答】解：因为直线+=1可化为nx+my﹣mn=0，‎ 则由点到直线的距离公式，得d==．‎ 故选A ‎　‎ ‎8．已知两条平行直线l1：3x+4y+2=0，l2：6x+by+c=0间的距离为2，则b+c=（　　）‎ A．12或﹣48 B．32或﹣8 C．﹣32或8 D．﹣12或48‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】将l1：3x+4y+2=0改写为6x+8y+4=0，利用两条直线平行及距离为2，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：将l1：3x+4y+2=0改写为6x+8y+4=0，‎ 因为两条直线平行，所以b=8．‎ 由=2，解得c=﹣16或c=24．‎ 所以b+c=﹣8或32‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．变量x，y满足约束条件，且有无穷多个点（x，y）使目标函数z=x+my取得最小值，则m=（　　）‎ A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．4‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】先画出可行域，再研究目标函数，由于目标函数中含有参数m，故需讨论m的正负，再结合可行域，将目标函数赋予几何意义，数形结合确定满足题意的m的值 ‎【解答】解：画出可行域如图阴影区域：‎ 若m=0，则z=x，目标函数z=x+my取得最小值的最优解只有一个，不合题意 若m≠0，目标函数z=x+my可看做斜率为﹣的动直线y=﹣x+‎ 若m＜0，则﹣＞0，数形结合知使目标函数z=x+my取得最小值的最优解不可能有无穷多个，‎ 若m＞0，则﹣＜0，数形结合可知，当动直线与直线AB平行时有无穷多个点（x，y）在线段AB上，使目标函数z=x+my取得最小值，‎ 即﹣=﹣1，m=1‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．已知正方体的外接球的体积是，则这个正方体的棱长是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．‎ ‎【分析】先求球的半径，直径就是正方体的对角线，然后求出正方体的棱长．‎ ‎【解答】解：正方体外接球的体积是，‎ 则外接球的半径R=1，正方体的对角线的长为2，棱长等于，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎11．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】设A1C1∩B1D1=O1，根据线面垂直的判定定理可知B1D1⊥平面AA1O1，再根据面面垂直的判定定理可知故平面AA1O1⊥面AB1D1，交线为AO1，在面AA1O1内过A1作A1H⊥AO1于H，则A1H的长即是点A1到截面AB1D1的距离，在Rt△A1O1A中，利用等面积法求出A1H即可．‎ ‎【解答】解：如图，设A1C1∩B1D1=O1，∵B1D1⊥A1O1，B1D1⊥AA1，∴B1D1⊥平面AA1O1，‎ 故平面AA1O1⊥面AB1D1，交线为AO1，在面AA1O1内过B1作B1H⊥AO1于H，‎ 则易知A1H的长即是点A1到截面AB1D1的距离，在Rt△A1O1A中，A1O1=，‎ AO1=3，由A1O1•A1A=h•AO1，可得A1H=，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】由题意确定正三棱锥的顶点到底面的距离为1，求出正三棱柱的棱长，求出底面面积，然后可得体积．‎ ‎【解答】解：由题意易知正三棱锥的顶点到底面的距离为1．‎ ‎∵底面是正三角形且球半径为1．‎ ‎∴底面边长为，‎ ‎∴底面积为，‎ ‎∴V=××1=．‎ 故选C．‎ ‎　‎ 二、填空题：‎ ‎13．若圆锥的母线长为2cm，底面圆的周长为2πcm，则圆锥的表面积为　3πcm2　．‎ ‎【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．‎ ‎【分析】根据已知求出圆锥的底面半径，代入圆锥表面积公式，可得答案．‎ ‎【解答】解：设圆锥的底面半径为r，‎ ‎∵圆锥的底面圆的周长为2πcm，‎ ‎∴2πr=2πcm，‎ ‎∴r=1cm，‎ 又∵圆锥的母线长为2cm，‎ ‎∴圆锥的表面积S=πr（r+l）=3πcm2，‎ 故答案为：3πcm2‎ ‎　‎ ‎14．设实数x，y满足，则的最大值是　　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】先画出不等式组所表示的平面区域，然后根据的几何意义是区域内一点与坐标原点连线的斜率，从而可求出的最大值．‎ ‎【解答】解：根据实数x，y满足，画出约束条件，如右图中阴影部分而的几何意义是区域内一点与坐标原点连线的斜率 当过点A（1，）时斜率最大，最大值为 故答案为：‎ ‎　‎ ‎15．直二面角α﹣l﹣β的棱l上有一点A，在平面α，β内各有一条射线AB，AC与l成45°，AB⊂α，AC⊂β，则∠BAC=　60°或120°　．‎ ‎【考点】与二面角有关的立体几何综合题．‎ ‎【分析】根据题意作出图形，分类讨论，即可求得结论．‎ ‎【解答】 解：如图，在l上取D，设DB⊥AD，DC⊥AD，则 ‎∵二面角是直二面角，‎ ‎∴CD⊥DB，‎ 设AD=1，则DC=DB=1，AB=AC=BC=，‎ ‎∴△ABC是等边三角形 ‎∴∠BAC=60°，‎ 如果在B′位置，则∠B′AC=180°﹣60°=120°，‎ 故答案为：60°或120°‎ ‎　‎ ‎16．若动点P与定点F（1，1）的距离和动点P与直线l：3x+y﹣4=0的距离相等，则动点P的轨迹方程是　x﹣3y+2=0　．‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】判断定点F与直线的位置关系，然后判断动点的轨迹，即可求出方程．‎ ‎【解答】解：因为定点F（1，1）在直线l：3x+y﹣4=0上，‎ 所以到定点F的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹是直线，‎ 就是经过定点F与直线l：3x+y﹣4=0垂直的直线．‎ 所以动点P的轨迹方程是y﹣1=（x﹣1），即x﹣3y+2=0．‎ 故答案为：x﹣3y+2=0．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．已知直线l1：x+my+6=0和直线l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，m为何值时，直线l1与l2为 ‎（1）相交；‎ ‎（2）平行；‎ ‎（3）重合；‎ ‎（4）垂直．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】m=0时，l1化为：x=﹣6，l2：﹣2x+3y=0，l1与l2相交．m≠0时，两直线的斜截式方程为：l1：，l2：．再利用两条直线的相交、平行、重合、垂直的条件即可得出．‎ ‎【解答】解：m=0时，l1化为：x=﹣6，l2：﹣2x+3y=0，l1与l2相交．‎ m≠0时，两直线的斜截式方程为：‎ l1：，l2：．‎ ‎（1）当，即m≠3且m≠﹣1时，两直线相交．‎ ‎（2）当，且，即m=﹣1时，两直线平行．‎ ‎（3）当，且，即m=3时，两直线重合．‎ ‎（4）当=﹣1，即m=时，两直线垂直．‎ 综上：当m≠3，﹣1时两直线相交；‎ 当m=﹣1时两直线平行；‎ 当m=3时两直线重合；‎ 当m=时两直线垂直．‎ ‎　‎ ‎18．①求平行于直线3x+4y﹣12=0，且与它的距离是7的直线的方程；‎ ‎②求垂直于直线x+3y﹣5=0，且与点P（﹣1，0）的距离是的直线的方程．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】①由所求的直线与直线l平行设出所求直线的方程为3x+4y+m=0，根据平行线间的距离公式列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，写出所求的直线方程即可．‎ ‎②根据两直线垂直，设所求的直线方程为 x﹣2y+k=0，再根据点P（2，1）到它的距离列方程求出k的值，即得所求的直线方程．‎ ‎【解答】解：①由题意设所求直线的方程为3x+4y+m=0，‎ 则直线的距离d==7，‎ 化简得|12+m|=35，即12+m=35，12+m=﹣35，‎ 解得m=23，m=﹣47；‎ 则所求直线的方程为3x+4y+23=0或3x+4y﹣47=0；‎ ‎②由所求的直线与直线x+3y﹣5=0垂直，可设所求的直线方程为 3x﹣y+k=0，‎ 再由点P（﹣1，0）到它的距离为=⇒|k﹣3|=6；‎ 解得k=9，﹣3；‎ 故所求的直线方程为 3x﹣y+9=0或3x﹣y﹣3=0．‎ ‎　‎ ‎19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，∠BAD=60°，E、E分别为BC、PA的中点．‎ ‎（1）求证：ED⊥平面PAD；‎ ‎（2）求三棱锥P﹣DEF的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）连结BD，证明DE⊥BC，DE⊥AD，然后证明DE⊥平面PAD．‎ ‎（2）求解棱锥的底面面积与高，即可求解几何体的体积．‎ ‎【解答】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分，第2小题满分．‎ ‎（1）连结BD，由已知得△ABD与△BCD都是正三角形，‎ 所以，BD=2，DE⊥BC，…‎ 因为AD∥BC，所以DE⊥AD，…‎ 又PD⊥平面ABCD，所以PD⊥DE，…‎ 因为AD∩PD=D，所以DE⊥平面PAD．…‎ ‎（2）因为，…‎ 且，…‎ 所以，． …‎ ‎　‎ ‎20．已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．‎ ‎（1）证明：直线恒过定点；‎ ‎（2）m为何值时，点Q（3，4）到直线的距离最大，最大值为多少？‎ ‎（3）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A、B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．‎ ‎【考点】待定系数法求直线方程；点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】（1）直线方程按m集项，方程恒成立，得到方程组，求出点的坐标，即可证明：直线恒过定点M；‎ ‎（2）可得定点Q（3，4）在直线上，由平面几何性质可得PQ⊥直线时点P到直线距离最大，由此利用垂直直线的斜率关系列式，即可解出实数m的值；‎ ‎（3）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，说明直线的斜率小于0，设出斜率根据直线过的定点，写出直线方程，求出△AOB面积的表达式，利用基本不等式求出面积的最小值，即可得到面积最小值的直线的方程．‎ ‎【解答】（1）证明：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0化为（x﹣2y﹣3）m=﹣2x﹣y﹣4．‎ 由，得 ‎∴直线必过定点（﹣1，﹣2）．‎ ‎（2）解：设直线必过定点P（﹣1，﹣2）．‎ 可知点Q与定点（3，4）的连线的距离就是所求最大值，此时直线PQ与直线（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0垂直，‎ ‎∵kPQ==，‎ ‎∴=﹣，‎ 解得m=﹣，‎ 此时，点Q（3，4）到直线的最大距离是=2．‎ 综上所述，m=﹣时，点Q（3，4）到直线的距离最大，最大值为2．‎ ‎（3）解：设直线的斜率为k（k＜0），则其方程为y+2=k（x+1），‎ ‎∴OA=|﹣1|，OB=|k﹣2|，‎ S△AOB=•OA•OB=|（﹣1）（k﹣2）|=|﹣|．‎ ‎∵k＜0，‎ ‎∴﹣k＞0，‎ ‎∴S△AOB= [﹣]= [4+（﹣）+（﹣k）]≥4．‎ 当且仅当﹣=﹣k，即k=﹣2时取等号．‎ ‎∴△AOB的面积最小值是4，‎ 直线的方程为y+2=﹣2（x+1），即y+2x+4=0．‎ ‎　‎ ‎21．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：EF∥平面A1CD；‎ ‎（Ⅱ）证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1；‎ ‎（Ⅲ）求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】（I）连接ED，要证明EF∥平面平面A1CD，只需证明EF∥DA1即可；‎ ‎（II）欲证平面平面A1CD⊥平面A1ABB1，即证平面内一直线与另一平面垂直，根据直线与平面垂直的判定定理证得CD⊥面A1ABB1，再根据面面垂直的判定定理得证；‎ ‎（III）先过B作BG⊥AD交A1D于G，利用（II）中结论得出BG⊥面A1CD，从而∠BCG为所求的角，最后在直角△BGC中，求出sin∠BCG即可得出直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．‎ ‎【解答】证明：（I）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC∥A1C1，AC=A1C1，连接ED，‎ 可得DE∥AC，DE=AC，又F为棱A1C1的中点．∴A1F=DE，A1F∥DE，‎ 所以A1DEF是平行四边形，所以EF∥DA1，‎ DA1⊂平面A1CD，EF⊄平面A1CD，∴EF∥平面A1CD ‎（II）∵D是AB的中点，∴CD⊥AB，‎ 又AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，‎ ‎∴AA1⊥CD，又AA1∩AB=A，‎ ‎∴CD⊥面A1ABB1，又CD⊂面A1CD，‎ ‎∴平面A1CD⊥平面A1ABB1；‎ ‎（III）过B作BG⊥A1D交A1D于G，‎ ‎∵平面A1CD⊥平面A1ABB1，且平面A1CD∩平面A1ABB1=A1D，‎ BG⊥A1D，‎ ‎∴BG⊥面A1CD，‎ 则∠BCG为所求的角，‎ 设棱长为a，可得A1D=，由△A1AD∽△BGD，得BG=，‎ 在直角△BGC中，sin∠BCG==，‎ ‎∴直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．‎ ‎　‎ ‎22．某家具公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数据如下：‎ 产品 时间 工艺要求 甲 乙 生产能力台时/天 制白坯时间 ‎6‎ ‎12‎ ‎120‎ 油漆时间 ‎8‎ ‎4‎ ‎64‎ 单位利润 ‎200‎ ‎240‎ 问该公司如何安排这两种产品的生产，才能获得最大的利润．最大利润是多少？‎ ‎【考点】简单线性规划的应用．‎ ‎【分析】设生产甲、乙两种型号的组合柜分别为x个、y个，利润为Z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值，从而求出所求．‎ ‎【解答】解：设生产甲、乙两种型号的组合柜分别为x个、y个，利润为Z元，‎ 那么①…‎ 目标函数为 z=200x+240y…‎ 作出二元一次不等式①所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．把z=200x+240y变形为，得到斜率为，在轴上的截距为，随z变化的一族平行直线．如图可以看出，当直线经过可行域上 A时，截距最大，即z最大． …‎ 解方程组 得A的坐标为x=4，y=8 …‎ 所以zmax=200x+240y=2720．‎ 答：该公司每天生产生产甲、乙两种型号的组合柜分别为4个、8个，能够产生最大的利润，最大的利润是2720元．‎