【数学】2018届一轮复习人教A版第十一章第3讲合情推理与演绎推理学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第十一章第3讲合情推理与演绎推理学案

第3讲　合情推理与演绎推理 ‎,　　　　　　 　　[学生用书P208])‎ ‎1．推理 ‎(1)定义：是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程．‎ ‎(2)分类：推理 ‎2．合情推理 归纳推理 类比推理 定义 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理 特点 由部分到整体、由个别到一般的推理 由特殊到特殊的推理 ‎3.演绎推理 ‎(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．‎ ‎(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．‎ ‎(3)模式：‎ 三段论 ‎1．辨明两个易误点 ‎(1)演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．‎ ‎(2)合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据．‎ ‎2．把握合情推理与演绎推理的三个特点 ‎(1)合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的．‎ ‎(2)在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．‎ ‎(3)应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．‎ ‎1．数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于(　　)‎ A．28　　　　　　　　　　　 B．32‎ C．33 D．27‎ ‎　B　[解析] 由5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9，则x－20＝12，因此x＝32.‎ ‎2．推理“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③三角形不是矩形”中的小前提是(　　)‎ A．① B．②‎ C．③ D．①和②‎ ‎　B　[解析] 由演绎推理三段论可知，①是大前提，②是小前提，③是结论．‎ ‎3. 观察下列不等式：‎ ‎1＋＜，‎ ‎1＋＋＜，‎ ‎1＋＋＋＜，‎ ‎…‎ 照此规律，第五个不等式为________________．‎ ‎[解析] 左边的式子的通项是1＋＋＋…＋，右边的分母依次增加1，分子依次增加2，还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系，所以第五个不等式为1＋＋＋＋＋<.‎ ‎[答案] 1＋＋＋＋＋< ‎4. 凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系如下表．‎ 凸多面体 面数(F)‎ 顶点数(V)‎ 棱数(E)‎ 三棱柱 ‎5‎ ‎6‎ ‎9‎ 长方体 ‎6‎ ‎8‎ ‎12‎ 五棱柱 ‎7‎ ‎10‎ ‎15‎ 三棱锥 ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ 四棱锥 ‎5‎ ‎5‎ ‎8‎ 猜想一般结论F＋V－E＝________．‎ ‎[解析] 从表中可猜想F＋V－E＝2.‎ ‎[答案] 2‎ ‎5．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．‎ ‎[解析] ＝＝·＝×＝.‎ ‎[答案] 1∶8‎ ‎　归纳推理(高频考点)[学生用书P209]‎ 归纳推理是每年高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，属中高档题．‎ 高考对归纳推理的考查主要有以下三个命题角度：‎ ‎(1)数值的归纳；‎ ‎(2)代数式的归纳；‎ ‎(3)图形的归纳．‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(1)(2016·高考山东卷)观察下列等式：‎ ＋＝×1×2；‎ ＋＋＋＝×2×3；‎ ＋＋＋…＋＝×3×4；‎ ＋＋＋…＋＝×4×5；‎ ‎……‎ 照此规律，‎ ＋＋＋…＋＝__________．‎ ‎(2)(2016·高考全国卷甲)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．‎ ‎(3)某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度相等，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n级分形图．‎ n级分形图中共有________条线段．‎ ‎【解析】　(1)根据已知，归纳可得结果为n(n＋1)．‎ ‎(2)由丙所言可能有两种情况．一种是丙持有“1和2”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和3”，符合甲所言情况；另一种是丙持有“1和3”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和2”，不符合甲所言情况．故甲持有“1和3”．‎ ‎(3)分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3＝(3×2－3)条线段，二级分形图有9＝(3×22－3)条线段，三级分形图中有21＝(3×23－3)条线段，按此规律n级分形图中的线段条数an＝3×2n－3(n∈N*)．‎ ‎【答案】　(1)n(n＋1)　(2)1和3　(3)3×2n－3(n∈N*)‎ 常见的归纳推理及求解策略 ‎(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．‎ ‎(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．解决的关键是抓住相邻图形之间的关系．　 ‎ ‎[题点通关]‎ ‎ 角度一　数值的归纳 ‎1．有一个奇数组成的数阵排列如下：‎ ‎1　 3　 7　 13　21　…‎ ‎5　 9　 15　23　…　…‎ ‎11　17　25　…　…　…‎ ‎19　27　…　…　…　…‎ ‎29　…　…　…　…　…‎ ‎…　…　…　…　…　…‎ 则第30行从左到右第3个数是________．‎ ‎[解析] 先求第30行的第1个数，再求第30行的第3个数．观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第30行的第1个数是1＋4＋6＋8＋10＋…＋60＝－1＝929.又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n，第3个数比第2个数大2n＋2，所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60，第3个数比第2个数大62，故第30行从左到右第3个数是929＋60＋62＝1 051.‎ ‎[答案] 1 051‎ ‎ 角度二　代数式的归纳 ‎2．(2017·湖北七市教科研协作体联考)观察下列等式 ‎1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)；‎ ‎1＋3＋6＋…＋n(n＋1)＝n(n＋1)(n＋2)；‎ ‎1＋4＋10＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋2)·(n＋3)；‎ 可以推测，1＋5＋15＋…＋n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＝________．‎ ‎[解析] 根据式子中的规律可知，等式右侧为n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)．‎ ‎[答案] n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)‎ ‎ 角度三　图形的归纳 ‎3．某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝数为(　　)‎ A．21　　　　　　　　　　 B．34‎ C．52 D．55‎ ‎　D　[解析] 因为2＝1＋1，3＝2＋1，5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.‎ ‎　类比推理[学生用书P210]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝a，CD＝b(a>b)．若EF∥AB，EF到CD与AB的距离之比为m∶n，则可推算出：EF＝，用类比的方法，推想出下面问题的结果．在上面的梯形ABCD中，分别延长梯形的两腰AD和BC交于O点，设△OAB，△ODC的面积分别为S1，S2，则△OEF的面积S0与S1，S2的关系是(　　)‎ A．S0＝　　　　　 B．S0＝ C．＝ D．＝ ‎【解析】　在平面几何中类比几何性质时，一般是由平面几何点的性质类比推理线的性质；由平面几何中线段的性质类比推理面积的性质．故由EF＝类比到关于△OEF的面积S0与S1，S2的关系是＝，故选C.‎ ‎【答案】　C 解决类比推理问题的方法步骤 ‎(1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为：‎ ‎①找出两类事物之间的相似性或一致性；‎ ‎②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．‎ ‎(2)类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，‎ 则＝，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体PABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝(　　)‎ A．　　　　　　　　　　 B． C． D． ‎　D　[解析] 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故＝.‎ ‎2．(2017·西安模拟)设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知四面体PABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为R，四面体PABC的体积为V，则R等于(　　)‎ A．　　　 B． C． D． ‎　C　[解析] 设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．所以四面体的体积为V＝(S1＋S2＋S3＋S4)R，‎ 所以R＝，故选C.‎ ‎　演绎推理[学生用书P211]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)．证明：‎ ‎(1)数列是等比数列；‎ ‎(2)Sn＋1＝4an.‎ ‎【证明】　(1)因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，‎ 所以(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，‎ 即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.‎ 故＝2·，(小前提)‎ 故是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)‎ ‎(大前提是等比数列的定义)‎ ‎(2)由(1)可知＝4·(n≥2)，‎ 所以Sn＋1＝4(n＋1)· ‎＝4··Sn－1‎ ‎＝4an(n≥2)．(大前提)‎ 又因为a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)‎ 所以对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)‎ 演绎推理的推证规则 ‎(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果大前提是显然的，则可以省略，本题中，等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写；‎ ‎(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．‎ ‎　已知函数f(x)＝－(a＞0，且a≠1)．‎ ‎(1)证明：函数y＝f(x)的图象关于点对称；‎ ‎(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．‎ ‎[解] (1)证明：函数f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x，y)，它关于点对称的点的坐标为(1－x，－1－y)．‎ 由已知y＝－，‎ 则－1－y＝－1＋＝－，‎ f(1－x)＝－＝－＝－＝－，‎ 所以－1－y＝f(1－x)，即函数y＝f(x)的图象关于点对称．‎ ‎(2)由(1)知－1－f(x)＝f(1－x)，‎ 即f(x)＋f(1－x)＝－1.‎ 所以f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，f(0)＋f(1)＝－1.‎ 故f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.‎ ‎,　　　　　　 　　[学生用书P211])‎ ‎——例析归纳推理中的创新问题 ‎　设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1，2，‎ ‎3，….若b1>c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，则(　　)‎ A．{Sn}为递减数列 B．{Sn}为递增数列 C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 ‎【解析】　在△A1B1C1中，b1>c1，b1＋c1＝2a1，‎ 所以b1>a1>c1.‎ 在△A2B2C2中，a2＝a1，b2＝，c2＝，b2＋c2＝2a1，‎ 所以c1

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