高考数学 17-18版 第9章 热点探究训练6

高考数学 17-18版 第9章 热点探究训练6

热点探究训练(六)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ ‎1．(2017·扬州模拟)如图3，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，O为坐标原点，M在PF1上，＝λ(λ∈R)，PO⊥F‎2M.‎ 图3‎ ‎(1)若椭圆方程为＋＝1，P(2，)，求点M的横坐标；‎ ‎(2)若λ＝2，求椭圆离心率e的取值范围. 【导学号：62172281】‎ ‎[解]　(1)∵＋＝1，∴F1(－2,0)，F2(2,0)，‎ ‎∴kOP＝，kF2M＝－，kF1M＝.‎ ‎∴直线F2M的方程为y＝－(x－2)，直线F1M的方程为：y＝(x＋2)．‎ 由 解得x＝，‎ ‎∴点M的横坐标为.6分 ‎(2)设P(x0，y0)，M(xM，yM)，‎ ‎∵＝2，∴＝(x0＋c，y0)＝(xM＋c，yM)，∴M，＝.‎ ‎∵PO⊥F2M，＝(x0，y0)，∴x0＋y＝0，‎ 即x＋y＝2cx0.‎ 联立方程得，消去y0得：c2x－2a2cx0＋a2(a2－c2)＝0.‎ 解得x0＝或x0＝.‎ ‎∵－a.‎ 综上，椭圆离心率e的取值范围为.14分 ‎2．(2017·无锡期末)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，一个焦点到相应的准线的距离为3，圆N的方程为(x－c)2＋y2＝a2＋c2(c为半焦距)，直线l ：y＝kx＋m(k>0)与椭圆M和圆N均只有一个公共点，分别设为A，B.‎ ‎(1)求椭圆方程和直线方程；‎ ‎(2)试在圆N上求一点P，使＝2.‎ ‎[解]　(1)由题意知解得a＝2，c＝1，所以b＝，‎ 所以椭圆M的方程为：＋＝1.‎ 圆N的方程为(x－1)2＋y2＝5.‎ 由直线l：y＝kx＋m与椭圆M只有一个公共点，所以由得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，①‎ 所以Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0得m2＝3＋4k2.②‎ 由直线l：y＝kx＋m与N只有一个公共点，得＝，‎ 即k2＋2km＋m2＝5＋5k2，③‎ 将②代入③得km＝1，④‎ 由②，④且k>0，得：k＝，m＝2.‎ 所以直线方程为：y＝x＋2.6分 ‎(2)将k＝，m＝2代入①可得A，‎ 又过切点B的半径所在的直线l′为：y＝－2x＋2，所以得交点B(0,2)，设P(x，y)，因为＝2，‎ 则＝8，化简得：7x＋7y＋16x0－20y0＋22＝0，⑤‎ 又P(x，y)满足x＋y－2x0＝4，⑥‎ 将⑤－7×⑥得：3x0－2y0＋5＝0，即y0＝.⑦‎ 将⑦代入⑥得：13x＋22x0＋9＝0，解得x0＝－1或x0＝－，‎ 所以P(－1,1)或P.14分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2017·泰州中学高三摸底考试)已知椭圆Γ：＋y2＝1.‎ ‎(1)椭圆Γ的短轴端点分别为A，B(如图4)，直线AM，BM分别与椭圆Γ交于E，F两点，其中点M满足m≠0，且m≠±.‎ ‎①证明直线EF与y轴交点的位置与m无关；‎ ‎②若△BME面积是△AMF面积的5倍，求m的值．‎ ‎(2)若圆O：x2＋y2＝4.l1，l2是过点P(0，－1)的两条互相垂直的直线，其中l1交圆O于T，R两点，l2交椭圆Γ于另一点Q.求△TRQ面积取最大值时直线l1的方程. 【导学号：62172282】‎ 图4‎ ‎[解]　(1)①因为A(0,1)，B(0，－1)，M，且m≠0，∴直线AM的斜率为k1＝－，直线BM的斜率为k2＝，‎ ‎∴直线AM的方程为y＝－x＋1，直线BM的方程为y＝x－1，‎ 由得(m2＋1)x2－4mx＝0，‎ ‎∴x＝0，x＝，∴E，‎ 由得(m2＋9)x2－12mx＝0，‎ ‎∴x＝0或x＝，∴F；‎ 据已知m≠0，m2≠3，‎ ‎∴直线EF的斜率 k＝＝＝－，‎ ‎∴直线EF的方程为y－＝－，‎ 令x＝0，得y＝2，‎ ‎∴EF与y轴交点的位置与m无关．‎ ‎②S△AMF＝MA·MFsin ∠AMF，‎ S△BME＝MB·MEsin ∠BME，∠AMF＝∠BME，‎ ‎5S△AMF＝S△BME，∴5MA·MF＝MB·ME，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝.‎ ‎∵m≠0，‎ ‎∴整理方程得＝－1，即(m2－3)(m2－1)＝0，‎ 又有m≠±，∴m2－3≠0，∴m2＝1，∴m＝±1为所求.8分 ‎(2)因为直线l1⊥l2，且都过点P(0，－1)，所以设直线l1：y＝kx－1，即kx－y－1＝0，‎ 直线l2：y＝－x－1，即x＋ky＋k＝0，‎ 所以圆心(0,0)到直线l1：y＝kx－1，即kx－y－1＝0的距离d＝，‎ 所以直线l1被圆x2＋y2＝4所截的弦 TR＝2＝；‎ 由得k2x2＋4x2＋8kx＝0，‎ 所以xQ＋xp＝－，所以QP＝＝，‎ 所以S△TRQ＝QP·TR＝＝≤＝，‎ 当＝，即k2＝，解得k＝±时等号成立，‎ 此时直线l1：y＝±x－1.16分 ‎2．(2017·苏北四市期末)如图5，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，左顶点为A(－4,0)，过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E.‎ 图5‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)已知点P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k(k≠0)都有OP⊥‎ EQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎(3)若过点O作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值．‎ ‎[解]　(1)因为左顶点为A(－4,0)，所以a＝4，‎ 又e＝，所以c＝2，b2＝a2－c2＝12，‎ 所以椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)直线l的方程为y＝k(x＋4)，由消元得，＋＝1.‎ 化简得(x＋4)[(4k2＋3)x＋16k2－12]＝0，所以x1＝－4，x2＝.8分 当x＝时，y＝k＝，所以D.‎ 因为P为AD的中点，‎ 所以P的坐标为，kOP＝－(k≠0)，‎ 直线l的方程为y＝k(x＋4)，令x＝0得E点坐标为(0,4k)，‎ 假设存在定点Q(m，n)(m≠0)，使得OP⊥EQ，则kOP·kEQ＝－1，即－·＝－1恒成立，‎ 所以(4m＋12)k－3n＝0恒成立，所以即 所以存在定点Q，对于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ，且定点Q的坐标为(－3,0).12分 ‎(3)因为OM∥l，所以OM的方程可设为y＝kx，‎ 由得M点的横坐标为x＝±，‎ 由OM∥l，得＝＝ ‎＝＝· ‎＝≥2，‎ 当且仅当＝即k＝±时取等号，‎ 所以当k＝±时，的最小值为2.16分