假期培优解决方案+寒假专题突破练+高二文科数学（选修1-1必修5）（通用版）专题13+双曲线x

假期培优解决方案+寒假专题突破练+高二文科数学（选修1-1必修5）（通用版）专题13+双曲线x

专题13　双曲线 ‎　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．双曲线定义 ‎2．双曲线标准方程 ‎3．双曲线的简单几何性质 ‎(1)范围；(2)对称性；(3)顶点；(4)渐近线；(5)离心率．‎ 例1　设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．‎ ‎(1)求C的圆心轨迹L的方程；‎ ‎ (2)已知点M(，)，F(－，0)，且P为L上动点．求|MP|＋|FP|的最小值．‎ 变式1　设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a且△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率为________．‎ 例2　已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 变式2　双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于(　　)‎ A. B. C. D. 例3　已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是双曲线右支上一点，当取得最小值时，该双曲线离心率的最大值为________．‎ 变式3　已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________．‎ A级 ‎1．已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a等于(　　)‎ A．2 B. C. D．1‎ ‎2．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则C的方程是(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎3．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为(　　)‎ A．－ B．－4‎ C．4 D. ‎4．已知中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P(1,3)，离心率为的双曲线的标准方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎5．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为(　　)‎ A．2 B．2 C. D．1‎ ‎6．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是________．‎ ‎7．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝________；b＝______________.‎ B级 ‎8．已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)‎ A．(－1,3) B．(－1，)‎ C．(0,3) D．(0，)‎ ‎9．双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是(　　)‎ A．m> B．m≥1‎ C．m>1 D．m>2‎ ‎10．已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为(　　)‎ A. B. C. D．2‎ ‎11．已知椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则实数a＝________.‎ ‎12．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点．若在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．‎ ‎13.‎ 如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，求C2的离心率．‎ 详解答案 典型例题 例1　解　(1)两圆的圆心分别为A(－，0)，B(，0)，半径为2，设圆C的半径为r.‎ 由题意得|CA|＝r－2，|CB|＝r＋2或|CA|＝r＋2，|CB|＝r－2，‎ 两式相减得|CA|－|CB|＝－4或|CA|－|CB|＝4，即||CA|－|CB||＝4.‎ 则C的轨迹为双曲线，其中2a＝4，c＝，b2＝1，‎ ‎∴圆C的圆心轨迹L的方程为－y2＝1.‎ ‎(2)由(1)知F为双曲线L的左焦点，则F′(，0)为右焦点．‎ 若P在L右支上，由于|FP|＝|PF′|＋4，‎ ‎|MP|＋|FP|＝|MP|＋|PF′|＋4≥|MF′|＋4＝6；若P在L左支上，|MP|＋|FP|≥|MF|＝4；所以，|MP|＋|FP|的最小值为4.‎ 变式1　‎ 解析　不妨设|PF1|>|PF2|，‎ 则|PF1|－|PF2|＝2a，‎ 又∵|PF1|＋|PF2|＝6a，‎ ‎∴|PF1|＝4a，‎ ‎|PF2|＝2a.‎ 又在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，‎ 由正弦定理得，∠PF2F1＝90°，‎ ‎∴|F1F2|＝2a，‎ ‎∴双曲线C的离心率e＝＝.‎ 例2　C 变式2　C 例3　3‎ 解析　＝＝ ‎＝|PF2|＋≥4a，当且仅当|PF2|＝2a时等号成立．显然，|PF1|≥c＋a，‎ 又|PF1|＝|PF2|＋2a，‎ 则|PF2|≥c－a，‎ 所以2a≥c－a，即3a≥c，故e≤3，即离心率的最大值为3.‎ 变式3　[2，＋∞)‎ 解析　双曲线的渐近线方程为y＝±x，由题意知≥，则b≥a，b2≥3a2，c2－a2≥3a2，c2≥4a2，故e≥2.‎ 强化提高 ‎1．D　[由题意得e＝＝2，‎ ‎∴＝2a，‎ ‎∴a2＋3＝4a2，‎ ‎∴a2＝1，∴a＝1.]‎ ‎2．B　[由题意知：c＝3，e＝＝，∴a＝2.b2＝c2－a2＝9－4＝5，故所求双曲线方程为－＝1.]‎ ‎3．A　[由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，则双曲线方程可化为y2－＝1，则a2＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2，∴－＝b2＝4，∴m＝－，故选A.]‎ ‎4．D　[由于离心率为，∴e2＝＝＝1＋＝2，即a＝b，∴双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，又点P(1,3)，在双曲线上，则λ＝1－9＝－8，∴所求双曲线的标准方程为－＝1.故选D.]‎ ‎5．A　6.(－12,0)‎ ‎7．1　2‎ 解析　由2x＋y＝0得y＝－2x，‎ 所以＝2.‎ 又c＝，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2.‎ ‎8．A　[∵方程－＝1表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2，得1＋m>2，∴m>1.]‎ ‎10．A　[‎ 如图，因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝.又sin∠MF2F1＝，所以＝，即|MF2|＝3|MF1|.由双曲线的定义得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以离心率e＝＝.]‎ ‎11．1‎ 解析　由双曲线－＝1可知a>0，且焦点在x轴上．根据题意知4－a2＝a＋2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)，故实数a＝1.‎ ‎12.＋1‎ 解析　在Rt△PF1F2中，设|PF2|＝m，‎ 则|PF1|＝m，|F1F2|＝2m，‎ ‎∴2a＝(－1)m,2c＝2m，‎ ‎∴e＝＝＝＋1.‎ ‎13．解　|F1F2|＝2.‎ 设双曲线的方程为－＝1.‎ ‎∵|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a，‎ ‎∴|AF2|＝2＋a，|AF1|＝2－a.‎ 在Rt△F1AF2中，∠F1AF2＝90°，‎ ‎∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，‎ 即(2－a)2＋(2＋a)2＝(2)2，‎ ‎∴a＝，‎ ‎∴e＝＝＝.‎