上海教育高中数学三上空间直线与直线的位置关系

上海教育高中数学三上空间直线与直线的位置关系

‎14．2 （2）异面直线 ‎　一、教学内容分析 在空间两条直线的平行位置关系后，要求学生学习、掌握第三种空间直线的位置关系——异面.这是一个空间内的新概念，要求学生全面、深入了解异面直线，并与相交、平行的位置关系进行区别学习.并应用等角定理，确定异面直线所成角.应用公理四、余弦定理、直角三角形计算异面直线所成角大小.‎ 二、教学目标设计 从两个角度学习异面直线的概念：一、相交、平行、异面；二、共面、异面.设置问题，进行问题教学，引导学生思考——探索——得出结论.会判断、会画出空间内任意两条异面直线.复习反证法，学习用反证法证明两条异面直线.应用等角定理，确定异面直线所成角，利用直线平行计算异面直线所成角大小.‎ 三、教学重点及难点 重点：异面直线定义、异面直线所成角.‎ 难点：反证法、计算异面直线所成角.‎ 四、教学流程设计 学会求解异面直线所成角大小问题.‎ 异面直线概念、确定异面直线、作异面直线图 引入新课：空间中两条直线的位置新关系——异面 学习、掌握反证法，会用证明异面直线 学习异面直线所成角相关概念.‎ 课堂总结、布置作业 五、教学过程设计 ‎ 一、引入课题 提问：空间中两直线的位置关系：有平行、相交.除此以外，还有其他位置关系吗？请同学列举.（激发学生空间想象能力）‎ 二、讲授新课 （一） 异面直线 ‎1、定义：把不能置于同一平面的两条直线，称为异面直线.‎ ‎ 2、与平行直线、相交直线的区别：‎ 相交直线：在同一平面内，有且只有一个交点.‎ 平行直线：在同一平面内，没有公共点.‎ 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.‎ ‎3、异面直线的画法：‎ α a α a α a b β b b 过渡：用两张图例说明，分别在两个平面内的直线，并不一定是异面直线.‎ β a α b b β a α ‎4、异面直线的判定 ：不平行、不相交的直线.‎ ‎5、空间直线的位置关系 （二） 证明异面直线 复习：反证法：假设否定的结论，从假设出发，引出矛盾——与条件矛盾，或者与已知的公理、定理矛盾.‎ 复习例题：l上有且只有一点，求证：‎ 证明：假设l上所有的点都属于，‎ 与已知：l上有且只有一点矛盾.‎ 通过例题学习如何证明异面直线.（详见例3 ）‎ ‎ （三）异面直线所成角 ‎1、异面直线a与b所成的角：在空间内任取一点P，过P 分别作a和b的平行线,则所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角.‎ 问题1: 理论依据—等角定理.‎ 问题2：为什么规定异面直线所成角只是锐角或直角？‎ 答：因为两条相交直线交出四个角，只要知道其中一个，就可以知道其他所有的角，因此我们只研究其中较简单的锐角或直角.‎ ‎2、异面直线所成角范围 ‎ ‎（四）例题分析 例1 两条异面直线指的是（ D ）‎ ‎（A）空间不相交的两条直线 ‎（B）分别位于两个不同平面上的两条直线 ‎（C）某平面上的一条直线和这个平面外的一条直线 ‎（D）不能同在一个平面上的直线 ‎[例题解析]：异面直线概念掌握 例2 若a、b是两条异面直线，且分别在平面内，若，则直线l必定（ B ）‎ A．分别与a、b相交； B. 至少与a、b之一相交； ‎ C. 与a、b都不相交； D. 至多与a、b之一相交.‎ ‎[例题解析]：异面直线的概念掌握.‎ 例3 书第10页例2：直线l与平面相交于点A，直线m在平面上，且不经过点A，求证：直线l与m是异面直线.‎ 证明：书第10页 ‎[例题解析]学习用反证法证明异面直线.‎ 例4（1）正方体中，哪些棱所在直线与直线成异面直线？‎ 答：共有6条棱.‎ ‎（2）如图所示，空间四边形ABCD 中，H、F 是AD边上的点，G、E是BC边上的点.‎ A B C D E H G F 与AB 成异面直线的线段有：HG、EF、CD ‎ 与CD 成异面直线的线段有：AB、HG、EF 与EF 成异面直线的线段有：HG、AB、EF、CD ‎[例题解析]：在空间中能确定异面直线.‎ 例5 书第11页例3（详见书第11页）‎ ‎[例题解析]求异面直线所成角大小和解题规范格式.‎ ‎（四）、问题拓展 ‎1、空间内两直线所成角范围 ‎ 当空间两直线所成角为直角时，‎ 当空间两直线所成角为零角时，若，则 若，则 ‎2、异面垂直 ‎(1)定义:如果两条异面直线所成的角是直角,则这两条异面直线互相垂直 ‎(2)记法:异面直线a,b互相垂直,记为a⊥b C ‎(3)分类:‎ ‎ ‎ ‎3、异面直线所成角例题 例6在长方体中，AB=5，BC=4，=3.‎ 高高·考￥资%源~网考资源网高考资源网 C ‎（1）所成角大小.‎ C C ‎ （2）所成角大小；‎ D C ‎ （3）所成角大小.‎ B A 解：（1）‎ ‎ 为异面直线所成角，‎ ‎ 在中，，‎ ‎ ，‎ 异面直线所成角大小为.‎ ‎（2），为异面直线所成角，‎ 在中，，‎ ‎,‎ ‎ ，‎ 异面直线所成角大小为 ‎（3），设 相交于O，‎ 为异面直线所成角（或其补角）‎ 在中，‎ 利用余弦定理，‎ 异面直线所成角大小为 例7 在空间四边形ABCD中，AB=CD=6，M、N分别是对角线AC、BD的中点且MN=5，求异面直线AB、CD所成角大小.‎ 解：取AD中点，‎ 在中，‎ 在中，‎ 为异面直线AB、CD所成角（或其补角）‎ 在中，，‎ 利用余弦定理，‎ 异面直线所成角大小为 ‎[说明]在空间四边形中，求解异面直线所成角是一种典型问题.‎ 三、巩固练习 练习14.2（2）：1、2、3‎ 四、课堂小结 ‎1．异面直线定义.‎ ‎2．空间直线与直线的位置关系 ‎3．异面直线所成角定义、范围 ‎4．求解异面直线所成角大小 ‎(1)平移作角 ‎(2)证(说)角 ‎(3)平面图形中求角 五、课后作业 练习册相关习题 补充作业：‎ ‎1．如果a,b是异面直线，b,c也是异面直线，则a,c的位置关系是（ ）.‎ A．异面； B.相交或平行； C.异面或平行； D.相交，平行，异面都有可能.‎ ‎2．若直线a,b都垂直于直线c，则a,b的位置关系是（ ）‎ A．平行； B.相交或平行； C.异面或平行； D.相交，平行，异面都有可能.‎ ‎3．长方体中，AB=2AD=3.求异面直线所成角大小.‎ A B B D C B A ‎4．长方体中，AB=4，AD=3，，求异面直线所成角大小.‎ A B B D C B A ‎5． 在四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点.AB=CD=2， ，求AB 与CD 所成角的大小.‎ A B C D E F E C P B A ‎6．如图，三棱锥P-ABC三条棱PC、AC、BC两两垂直，E为线段AB的中点，，，当t变化时，‎ 求异面直线PB与CE所成角的取值范围.‎ 六、教学设计说明 ‎1、对教材的研究认识：‎ 异面直线所成角是第一个立体几何中涉及计算方面的问题，对于学生的计算能力和空间求解能力，都提出了相当高的要求.首先要让学生从平面几何的角度向立体几何的内容有一个飞跃——空间两条直线存在异面这种位置关系.不同于相交和平行，要让学生十分熟悉这种位置.从图形、概念理解上都对此有深层次掌握.其次要让学生明确本小结的内容关键——空间中两条直线的位置关系：平行、相交、异面.对于垂直——这种特殊的情况，进行特殊讲解.但强调、重视.最后对于异面直线所成角的内容和求解过程进行全面、完善的教授.让学生认清、区分有关角的概念.‎ ‎2、课堂教学模式的设置：‎ 主动探究仍然是教学的辅助方法.这节课中讲授法是主要方法，因为求解过程、解题步骤都应传授到位.当然在这个过程，可以设置问题情境，让学生发现问题，积极解决问题.比如：所求角是钝角与异面直线所成角不能是钝角时的矛盾.发挥同学空间想象能力，猜测新的位置关系，但是最后清晰的结论，要一致地推导，而且要明白无误地告知同学.所以讲授法委主要方法.‎ ‎3、课堂练习题的说明：‎ 首先通过选择题，让学生全面、多角度了解异面直线的概念.然后在基本图形中，确定成异面位置关系的直线，加深对概念的把握和理解.主要题型还是求解异面直线，通过正方体——长方体——空间四边形的图形改变.还有一般棱——对角线——中点等层层递进，加大这种类型题目的难度.让学生对层次思考，多种方法的应用.巩固、加强自己的数学知识掌握能力和应用分解能力.‎